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福建省福州市某校2026-2027学年高一上学期尖子生暑期自学质量检测数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填（涂）写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。
4.考试结束后，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、单选题（每题 5 分，共 50 分）
1．图中的直线，，的斜率分别为，，，则有( )
A. B. C. D.
2．设甲：，乙：，则( )
A.甲能推出乙，但乙推不出甲 B.甲推不出乙，但乙能推出甲
C.甲与乙能互推 D.甲推不出乙，且乙也推不出甲
3．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为( )
A.（） B.（）
C.（） D.（）
4．方程的解集是( )
A. B.
C. D.
5．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为( )
A. B. C. D.
6．已知角α第二象限角，且，则角是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
7．若多项式，则( )
A.9 B.10 C.-9 D.-10
8．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成).已知米，米，线段、线段 弧 弧的长度之和为30米，圆心角为θ弧度，则θ关于x的函数解析式是答( )
A.
B.
C.
D.
9．有一四边形，对于其四边、、、，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去.最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为( ).
A. B. C. D.
10．已知长方形的四个顶点、、、，一质点从的中点沿与的夹角θ的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）.若与重合，则( )
A.
B.
C.
D.1
二、填空题（每题 5 分，共 50 分）
11．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为________.
12．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有______________种.
13．求直线与直线的夹角为________.
14．直线与椭圆有两个不同的交点，则m的取值范围为________.
15．如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，…，七个点，F是椭圆的左焦点，则_____________.
16．已知，则的值等于_______________.
17．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为________.（结果用分数表示）
18．已知点P为椭圆上的一个动点，点A的坐标为，则的最大值为__________.
19．如图，平面中两条直线和相交于点O.对于平面上任意一点M，若p q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是____________.
20．在中，，，.已知点A，B，C分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率________.
参考答案
1．答案：C
解析：由图象可得，，
故选：C
2．答案：B
解析：当时，例如，但，即推不出；
当时，，即能推出.
3．答案：A
解析：设点，则，，
因为M为的中点，所以，即，
又P在圆上，
所以，即，
即点M的轨迹方程为.
故选：A
4．答案：C
解析：原方程可化为，即，，.
故选：C.
5．答案：A
解析：当直线绕原点逆时针旋转时，所得直线斜率为，此时，该直线方程为，
再将该直线向右平移1个单位可得：，即.
故选：A.
6．答案：C
解析：因为角α第二象限角，所以，
所以，
当k是偶数时，设，则，
此时为第一象限角；
当k是奇数时，设，则，
此时为第三象限角.；
综上所述：为第一象限角或第三象限角，
因为，所以，所以为第三象限角.
故选：C.
7．答案：D
解析：多项式，
等号右侧只有最后一项的展开式中含有，并且的系数为，等号左侧的系数是1，
∴;
又的系数在右侧后两项中，的系数为，左侧的系数是0，
∴， ∴.
故选：D.
8．答案：A
解析：根据题意，利用弧长公式可知弧（米），弧（米），
整理得：
故选：A
9．答案：B
解析：根据题意，对于其四边、、、，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币，
共有种情况，
要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，
若保留，两条边，则，可保留也可擦去，
共有种情况；
若保留，两条边，则，可保留也可擦去，
共有种情况（其中有一种情况与上面重复），
则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有7种情况，
所以可以到达C点的概率为.
故选：B.
10．答案：C
解析：如下图所示：
由题意可知点，取点、，
则、、F三点共线，、、E三点共线，
且直线的倾斜角为，直线的倾斜角为θ，
所以，直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，即点，
因为点在直线上，所以，，解得.
故选：C.
11．答案：
解析：根据点到直线的距离公式可得.
故答案为：.
12．答案：288
解析：先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，
故有种排法.
故答案为：288
13．答案：
解析：直线的斜率不存在，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为，
故直线与直线的夹角为，
故答案为：.
14．答案：.
解析：由题意，
∵此方程有两个不相等实根，∴，
∴.
故答案为：.
15．答案：35
解析：设椭圆的右焦点为，连接、、、、、、，
根据椭圆的对称性，可知，，，
又根据椭圆的定义，得，，，，
所以，
又由椭圆，可知，
所以.
故答案为：35.
16．答案：-256
解析：令，得，
令，得，
两式相加可得，
两式相减可得，
则，
所以.
故答案为：-256
17．答案：
解析：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生的所有事件是从20人中选2个人共有种结果，
而满足条件的事件是此两人不属于同一个国家的对立事件是此两人属于同一个国家，
此两人属于同一个国家共有，
由对立事件的概率公式得到
故答案为：.
18．答案：
解析：方法一：设点P的坐标为，则，
因为点P为椭圆上一点，所以，且，
则，
因为，所以当时，；
方法二：将椭圆方程化为标准形式得，所以设点P的坐标为 ，
则，
又，故当时，取得最大值，最大值为.
19．答案：4
解析：
作直线a，b与直线平行，且与直线的距离为1，作直线c，d与直线平行，且与直线的距离为2，
由图可得，a，b，c，d有4个交点，即“距离坐标”是的点个数为4.
故答案为：4.
20．答案：
解析：因为，
根据对称性可知：点A，B，C其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点.
①当点A，B，C中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1
则或，解得或无解；
②当点A，B，C中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2，
则或，方程组均无解；
综上所述：，，，所以离心率.

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