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第10课　课后练习
（答案版 · 教师用）
班级：____________　姓名：____________　得分：__________
一、填空（每空 3 分，共 24 分）
1．递归函数必须包含两个要素：______________ 和 ______________。
2．阶乘的递归公式是：fact(n) = n × ______________。
3．阶乘递归的出口应写成：if n == ______: return ______。
4．求 1+2+…+n 的递归写法中，出口是 n == 1 时返回 ______。
5．斐波那契数列的前两项都是 ______；从第三项起，每一项等于 ______________。
6．如果递归忘记写出口，程序会报 ______________ 错误。
二、判断对错（每题 3 分，共 12 分）
1．递归就是函数在内部调用自己。（　　）
2．递归函数可以没有出口，只要问题足够简单。（　　）
3．递归的执行过程是「先一层层往里调用，再一层层往外返回」。（　　）
4．用递归和用循环都能解决的问题，递归一定更快。（　　）
三、手算模拟题（16 分）
第 1 题　展开 fact(4) 的计算过程（fact 为阶乘函数）。
fact(4) = 4 * fact(3)
= 4 * (3 * fact(2))
= ...
请补完：
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最终 fact(4) = ______。
第 2 题　下面程序的输出是什么？
def f(n):
if n <= 1:
return 1
return n + f(n - 1)
print(f(5))
调用 展开 结果
f(1)
f(2)
f(3)
f(5)
输出结果：______
四、★ 补全代码（每空 5 分，共 20 分）
第 1 题　递归求阶乘。
def fact(n):
if n == ①______:
return 1
return n * ②______________
print(fact(5))
第 2 题　递归求 1+2+…+n。
def total(n):
if n == 1:
return ③______
return n + ④______________
print(total(10))
① ______　② ______　③ ______　④ ______
五、★★ 提高题（每题 10 分，共 30 分）
第 1 题　递归与循环的对比
用递归和用循环分别求 1×2×…×n，把两段代码都写出来，并说明在 n = 10 时两者结果是否相同。
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第 2 题　递归求各位数字之和
写一个递归函数 digit_sum(n)，求一个正整数的各位数字之和。例如 digit_sum(12345) 应返回 1+2+3+4+5 = 15。
提示：n % 10 取出个位，n // 10 去掉个位。
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第 3 题　读程序写结果
def g(n):
if n == 0:
return 0
return n % 10 + g(n // 10)
print(g(708))
输出结果：______。请写出 g(708) 的三次调用展开过程：
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六、★★★ 挑战题（每题 12 分，共 24 分）
第 1 题　斐波那契递归
用递归求第 n 项斐波那契数（前两项都为 1），输出前 15 项。
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思考题（附加 5 分）：把 n 改成 35 再运行一次，你观察到什么现象？请写下你的猜测和理由。
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第 2 题　递归求最大公约数（进阶）
辗转相除法的规则是：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)，当 b 为 0 时结果是 a。请用递归实现并测试 gcd(48, 36) 与 gcd(100, 75)。
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教师评语：
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第 10 课　参考答案（教师用）
与《教师参考答案》册同源，全部数值均已实际运行核验
一、填空
1．终止条件（出口）、递归调用　2．fact(n - 1)　3．1、1　4．1
5．1、前两项之和　6．RecursionError（递归深度超出）
二、判断对错
1．√　2．×（没有出口一定会无限递归报错）　3．√　4．×（递归通常比循环慢，且占内存）
三、手算模拟题
第 1 题：
fact(4) = 4 * fact(3)
= 4 * (3 * fact(2))
= 4 * (3 * (2 * fact(1)))
= 4 * 3 * 2 * 1 = 24
第 2 题：f(n) = n + f(n-1)，出口 f(1) = 1。
调用 展开 结果
f(1) — 1
f(2) 2 + f(1) 3
f(3) 3 + f(2) 6
f(5) 5 + 4 + 3 + 2 + 1 15
四、★ 补全代码
① 1　② fact(n - 1)　③ 1　④ total(n - 1)
五、★★ 提高题
第 1 题：递归版 n * fact(n-1)；循环版用 ans = 1; for i in range(1, n+1): ans *= i。n = 10 时两者结果都是 3628800，完全相同。
第 2 题：
def digit_sum(n):
if n < 10:
return n
return n % 10 + digit_sum(n // 10)
第 3 题：输出 15。展开过程：
g(708) = 8 + g(70)
g(70) = 0 + g(7)
g(7) = 7 + g(0) = 7
→ g(70) = 0 + 7 = 7
→ g(708) = 8 + 7 = 15
六、★★★ 挑战题
第 1 题：
def fib(n):
if n == 1 or n == 2:
return 1
return fib(n - 1) + fib(n - 2)
for i in range(1, 16):
print(fib(i), end=" ")
思考题：n = 35 时会非常慢（要等很久）。原因是递归会重复计算大量相同的项——fib(30) 在算 fib(35) 的过程中被重复调用了很多次，指数量级增长。
第 2 题：
def gcd(a, b):
if b == 0:
return a
return gcd(b, a % b)
print(gcd(48, 36)) # 12
print(gcd(100, 75)) # 25
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第10课　课后练习
（学生用）
班级：____________　姓名：____________　得分：__________
一、填空（每空 3 分，共 24 分）
1．递归函数必须包含两个要素：______________ 和 ______________。
2．阶乘的递归公式是：fact(n) = n × ______________。
3．阶乘递归的出口应写成：if n == ______: return ______。
4．求 1+2+…+n 的递归写法中，出口是 n == 1 时返回 ______。
5．斐波那契数列的前两项都是 ______；从第三项起，每一项等于 ______________。
6．如果递归忘记写出口，程序会报 ______________ 错误。
二、判断对错（每题 3 分，共 12 分）
1．递归就是函数在内部调用自己。（　　）
2．递归函数可以没有出口，只要问题足够简单。（　　）
3．递归的执行过程是「先一层层往里调用，再一层层往外返回」。（　　）
4．用递归和用循环都能解决的问题，递归一定更快。（　　）
三、手算模拟题（16 分）
第 1 题　展开 fact(4) 的计算过程（fact 为阶乘函数）。
fact(4) = 4 * fact(3)
= 4 * (3 * fact(2))
= ...
请补完：
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最终 fact(4) = ______。
第 2 题　下面程序的输出是什么？
def f(n):
if n <= 1:
return 1
return n + f(n - 1)
print(f(5))
调用 展开 结果
f(1)
f(2)
f(3)
f(5)
输出结果：______
四、★ 补全代码（每空 5 分，共 20 分）
第 1 题　递归求阶乘。
def fact(n):
if n == ①______:
return 1
return n * ②______________
print(fact(5))
第 2 题　递归求 1+2+…+n。
def total(n):
if n == 1:
return ③______
return n + ④______________
print(total(10))
① ______　② ______　③ ______　④ ______
五、★★ 提高题（每题 10 分，共 30 分）
第 1 题　递归与循环的对比
用递归和用循环分别求 1×2×…×n，把两段代码都写出来，并说明在 n = 10 时两者结果是否相同。
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第 2 题　递归求各位数字之和
写一个递归函数 digit_sum(n)，求一个正整数的各位数字之和。例如 digit_sum(12345) 应返回 1+2+3+4+5 = 15。
提示：n % 10 取出个位，n // 10 去掉个位。
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第 3 题　读程序写结果
def g(n):
if n == 0:
return 0
return n % 10 + g(n // 10)
print(g(708))
输出结果：______。请写出 g(708) 的三次调用展开过程：
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六、★★★ 挑战题（每题 12 分，共 24 分）
第 1 题　斐波那契递归
用递归求第 n 项斐波那契数（前两项都为 1），输出前 15 项。
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思考题（附加 5 分）：把 n 改成 35 再运行一次，你观察到什么现象？请写下你的猜测和理由。
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第 2 题　递归求最大公约数（进阶）
辗转相除法的规则是：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)，当 b 为 0 时结果是 a。请用递归实现并测试 gcd(48, 36) 与 gcd(100, 75)。
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教师评语：
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