资源简介

3.匀变速直线运动的位移与时间的关系
【素养目标】　1.理解v-t图像中图线与t轴所围“面积”即相应时间内的位移。2.了解位移与时间的关系式的推导方法，会用位移与时间的关系式解决有关问题。3.会利用匀变速直线运动的规律推导速度与位移的关系式，会用速度与位移的关系式解决一些简单的问题。
知识点一　匀变速直线运动的位移
【情境导入】　1.如图为匀速直线运动的v t图像，图中阴影部分的面积与物体在0～t1时间内的位移在数值上是否相等？
提示：相等
2．如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v t图像。试推导匀变速直线运动的位移与时间的关系。
提示：(1)可将物体的运动按时间分成若干小段，将每一小段内的运动看成是匀速直线运动，其速度用这一小段起始时刻的瞬时速度表示。这样每一小段内的匀变速直线运动就转变成了匀速直线运动。
如图甲中5个小矩形的面积之和近似代表物体在整个运动过程中的位移。
(2)为了精确一些，可以把运动过程划分成更多的小段，如图乙所示，用所有这些小段的位移之和近似代表物体在整个过程的位移，会更准确一些。
(3)如果把整个过程划分成非常多的小段，每个小段就非常小，以至难以观察到，如图丙所示，梯形的面积就能代表整个过程的位移。
v t图线与坐标轴围成的梯形的面积为
x＝(v0＋v)t
又v＝v0＋at
联立两式可得x＝v0t＋at2。
【基础梳理】
1.利用v-t图像求位移
v-t图像与时间轴所围梯形的面积表示位移，如图所示，x＝(v0＋v)t。
2.位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2。当初速度为0时，x＝at2。
【师生互动】　对于匀变速直线运动位移与时间的关系式x＝v0t＋at2。
任务1.公式中的矢量有哪些？解题时需注意什么？
任务2. 如果物体做匀减速直线运动，使用x＝分析问题时要注意什么？
提示：任务1.矢量有x、v0、a，需规定正方向。
任务2.若以初速度方向为正方向，则加速度代入数据时取负值。
【探究归纳】
1.公式x＝v0t＋at2的矢量性
公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。
(1)物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值。
(2)x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相反。
2.公式x＝v0t＋at2的特殊形式
当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移x与t2成正比。
物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为 1 m/s 2，求：
(1)物体在2 s内的位移大小；
(2)物体在第2 s内的位移大小；
(3)物体在第二个2 s内的位移大小。
答案：(1)2 m　(2)1.5 m　(3)6 m
解析：(1)物体在2 s内的位移x2＝a＝×1×22 m＝2 m。
(2)第1 s末的速度(第2 s初的速度)v1＝v0＋at1＝(0＋1×1) m/s＝1 m/s
故物体在第2 s内的位移x2'＝v1t1＋a＝ m＝1.5 m。
(3)第2 s末的速度(第二个2 s的初速度)v2＝v0＋at2＝(0＋1×2) m/s＝2 m/s
故物体在第二个2 s内的位移x2″＝v2t2'＋at2' 2＝ m＝6 m。
应用公式x＝v0t＋at2的解题步骤
1．选择做匀变速直线运动的物体为研究对象，根据题意明确研究过程。
2．分析研究对象的初速度、加速度、时间和位移，知道其中三个物理量，可计算第四个物理量。
3．选择正方向，判定各物理量的正负，代入公式计算。　　
针对练1.一物体运动的位移与时间的函数关系为x＝(6t＋4t 2) m，则(　　)
A.这个物体的初速度为8 m/s
B.这个物体的初速度为12 m/s
C.这个物体的加速度为－8 m/s 2
D.这个物体的加速度为8 m/s 2
答案：D
解析：根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式x＝v0t＋at 2，结合位移与时间的函数关系x＝(6t＋4t 2) m，可得v0＝6 m/s，a＝8 m/s 2。故选D。
针对练2.一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：
(1)物体在前3 s内的位移大小；
(2)物体在第3 s内的位移大小。
答案：(1)12.75 m　(2)3.75 m
解析：(1)取初速度方向为正方向，则v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2，物体在前3 s内的位移为x3＝v0t3＋a＝5×3 m＋×(－0.5)×32 m＝12.75 m。
(2)同理，物体在前2 s内的位移为x2＝v0t2＋a＝5×2 m＋×(－0.5)×22 m＝9 m
因此第3 s内物体的位移x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m。
知识点二　速度与位移的关系
【情境导入】　为了减少飞机跑道长度，在一航母上设计了弹射装置。若飞机在起飞过程的初速度为v0，末速度为v，加速度为a，起飞过程为匀加速直线运动。
(1)加速的时间为多少？
(2)跑道的长度为多少？
提示：(1)由速度与时间的关系式v＝v0＋at，解得t＝。
(2)跑道长度为x＝v0t＋at2＝v0·＋a·＝。
【基础梳理】
1.速度与位移的关系式：v2－＝2ax。
2.推导
速度与时间的关系式v＝v0＋at。
位移与时间的关系式x＝v0t＋at2。
由以上两个公式消去t，可得
【师生互动】　假设上述[情境导入]中的飞机完成任务飞回航母，飞回航母时速度的大小为60 m/s，要求在阻拦索的作用下滑行100 m能减速到0，该过程视为匀变速运动。
任务1.加速度的方向与速度的方向有什么关系？
任务2.此过程加速度的大小是多少？
提示：任务1.方向相反。
任务2.以初速度的方向为正方向，此过程v0＝60 m/s，x＝100 m，v＝0，由0－＝2ax，解得a＝－18 m/s2，即加速度的大小为18 m/s2。
【探究归纳】
1.速度与位移的关系式v2－＝2ax的理解
适用范围 适用于匀变速直线运动
特例 若v0＝0，则v2＝2ax
若v＝0，则－＝2ax
说明 分析和解决不涉及时间的问题时，使用v2－＝2ax更简便
2.公式v2－＝2ax的矢量性
公式中v0、v、a、x都是矢量，应用该关系式解题时一定要先设定正方向，一般取v0的方向为正方向：
(1)若是加速运动，a取正值；若是减速运动，a取负值。
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同；x＜0，位移的方向与初速度方向相反。
3.注意速度的合理性
利用公式v2－＝2ax求解速度时，通常有两个解，要对两个解的含义及合理性进行讨论。
随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时则为5 m/s2)。
(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？
(2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着一辆小轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小。
答案：(1)45 m　22.5 m　(2)10 m/s
解析：(1)设货车刹车时速度为v0，加速度为a，末速度为v，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝
由题意知v0＝54 km/h＝15 m/s，v＝0，a1＝－2.5 m/s2，a2＝－5 m/s2
代入数据可得，超载时x1＝45 m
不超载时x2＝22.5 m。
(2)超载货车与轿车碰撞时，由v'2－＝2a1x'可知，相撞时货车的速度大小v'＝＝ m/s＝10 m/s。
针对练1.如图所示，小球A在斜面上匀加速由静止滑下x1后，又匀减速地在平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则小球在斜面上的加速度a1与平面上加速度a2的大小关系为(　　)
A.a1＝a2 B.a1＝2a2
C.a1＝a2 D.a1＝4a2
答案：B
解析：设小球在斜面末端时的速度为v，由速度与位移的关系式得v2－02＝2a1x1，02－v2＝2(－a2)x2，联立解得a1＝2a2。故选B。
针对练2.若某高速列车在行驶过程中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s的过程中位移为30 m，则当它的速度由15 m/s增加到25 m/s的过程中，位移是(　　)
A.60 m B.120 m
C.140 m D.160 m
答案：D
解析：列车做匀加速直线运动，由速度与位移的关系式可得－＝2ax1，又－＝2ax2，联立解得x2＝160 m。故选D。
知识点三　刹车类问题中的位移计算
　　汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可简化为单方向的匀减速直线运动，当速度减小到零后，就停止运动，在计算这类运动的位移时，应先计算出速度减小到零所用的时间t0。
1.如果t0＜t，加速度的大小为a，则不能用题目所给的时间t求解位移，此时运动的最长时间为t0＝，最大距离为x0＝。
2.如果t0＞t，说明经过时间t运动还没有停止，则应用题目所给的时间t直接求解位移。
以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m(制动3 s时汽车未停止)。求汽车的加速度及制动后5 s内发生的位移大小。
答案：4 m/s2，与初速度方向相反　40.5 m
解析：初速度v0＝18 m/s，时间t＝3 s，位移x＝36 m
有x＝v0t＋at2
解得a＝＝ m/s2＝－4 m/s2
即加速度大小为4 m/s2，方向与初速度方向相反；
根据速度与时间的关系式，可得汽车停止运动的时间t'＝＝ s＝4.5 s
故汽车在制动后5 s内的位移与4.5 s内的位移相等，大小为x'＝｜a｜t'2＝40.5 m。
刹车类问题末速度为零时，可采用逆向思维法，将汽车匀减速到零的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，从而使问题的解答更简便。
知识点四　利用v-t图像求位移
　　在v-t图像中，图线与时间轴所围成的“面积”表示位移：
1.“面积”有正负
(1)在时间轴上方“面积”为正值，表示位移沿正方向；
(2)在时间轴下方“面积”为负值，表示位移沿负方向。
2.“面积”的绝对值表示位移的大小
(1)总位移等于时间轴上、下方“面积”的代数和；
(2)总路程为时间轴上、下方“面积”的绝对值之和。
某一做直线运动的物体的v-t图像如图所示，根据图像求：
(1)物体距出发点的最远距离；
(2)前4 s内物体的位移大小；
(3)前4 s内物体通过的路程。
答案：(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m
解析：(1)当物体运动了3 s时，物体距出发点的距离最远，由v-t图像的“面积”表示物体通过的位移可得xm＝×4×3 m＝6 m。
(2)前4 s内物体的位移大小为x＝｜xm｜－｜x'｜＝6 m－×2×1 m＝5 m。
(3)前4 s内物体通过的路程为s＝｜xm｜＋｜x'｜＝6 m＋×2×1 m＝7 m。
针对练.(多选)汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，驾驶员发现正前方的斑马线上有行人，于是刹车礼让，汽车恰好停在斑马线前。假设驾驶员的反应时间为0.5 s，汽车运动的v-t图像如图所示。下列说法中正确的是(　　)
A.在驾驶员反应时间内，汽车行驶的距离为5 m
B.从驾驶员发现情况到汽车停止，共行驶的距离为15 m
C.汽车刹车时的加速度大小为10 m/s2
D.从驾驶员发现情况到汽车停止的平均速度为6 m/s　
答案：ABD
解析： 汽车在驾驶员的反应时间内做匀速直线运动，则反应时间内汽车行驶的距离x1＝vt1＝10×0.5 m＝5 m，故A正确；根据v-t图像的“面积”表示物体通过的位移可知，从驾驶员发现情况到汽车停止，共行驶的距离x＝5 m＋×10×2 m＝15 m，故B正确；汽车刹车时的加速度大小a＝＝ m/s2＝5 m/s2，故C错误；从驾驶员发现情况到汽车停止的平均速度＝＝ m/s＝6 m/s，故D正确。故选ABD。
课时测评8　匀变速直线运动的位移与时间的关系
(时间：45分钟　满分：70分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－11题，每题4分，共44分)
1.一质点在0时刻开始做初速度为2 m/s、加速度为4 m/s2的匀加速直线运动，在0～2 s内质点的位移大小为(　　)
A.10 m B.12 m
C.14 m D.16 m
答案：B
解析：根据匀变速直线运动位移与时间的关系式得x＝v0t＋at2＝2×2 m＋×4×22 m＝12 m。故选B。
2.如图所示，假设机器人送餐时先从静止开始做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，最后做匀减速直线运动，直到恰好停在目标位置。已知机器人做匀减速直线运动的第1 s内发生的位移为1.75 m，加速度大小为0.5 m/s2，则机器人做匀减速直线运动的初速度大小为(　　)
A.1.5 m/s B.2.0 m/s
C.2.5 m/s D.3.0 m/s
答案：B
解析：在匀减速过程中，根据位移与时间的关系式，有x＝v0t－at2，代入数据可得匀减速直线运动的初速度大小v0＝2.0 m/s。故选B。
3.一物体以2 m/s的初速度做匀加速直线运动，4 s内位移为16 m，则(　　)
A.物体的加速度为2 m/s2
B.4 s内的平均速度为6 m/s
C.4 s末的瞬时速度为6 m/s
D.第2 s内的位移为6 m
答案：C
解析：根据匀加速直线运动的位移与时间的关系式，有x4＝v0t4＋a，代入数据解得a＝1 m/s2，故A错误；4 s内的平均速度为＝＝4 m/s故B错误；由速度与时间的关系式可得4 s末的瞬时速度为v4＝v0＋at4＝6 m/s，故C正确；第2 s内的位移为x2＝v0t2＋a－＝3.5 m，故D错误。故选C。
4.如图所示，一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v。则xAB∶xBC等于(　　)
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
答案：C
解析：由速度与位移的关系式得xAB＝，xBC＝＝，故xAB∶xBC＝1∶3。故选C。
5.一个物体从静止开始做匀加速直线运动。它在第1 s内与第2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2。以下说法正确的是(　　)
A.x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B.x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C.x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D.x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
答案：B
解析：根据位移与时间的关系式，可得第1 s内与第2 s内的位移之比为＝＝；根据速度与位移的关系式，可得＝＝。故选B。
6.物体从长为L的光滑斜面顶端由静止开始下滑，滑到底端时的速率为v，如果物体以v0＝的初速度从斜面底端沿斜面上滑， 上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为(　　)
A. B.
C. D.L
答案：C
解析：设加速度大小为a，下滑时v2＝2aL，上滑时0－＝－2aL'，联立以上两式可得L'＝。故选C。
7.汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机后做匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s2，则它关闭发动机后通过37.5 m所需时间为(　　)
A.3 s B.4 s
C.5 s D.6 s
答案：A
解析：根据位移与时间的关系式，有x＝v0t＋at2，将v0＝20 m/s，a＝－5 m/s2，x＝37.5 m，代入可得t1＝3 s，t2＝5 s，但汽车减速到0所用的时间t0＝＝4 s，所以t2＝5 s应舍去。故选A。
8.(2025·河南周口高一期末)某物体做直线运动，它的v-t图像如图所示，设向东为速度v正方向，根据图像下列判断正确的是(　　)
A.第1 s内物体向东运动，第2 s内物体向西运动
B.1 s末物体开始向西运动
C.第2 s内的加速度和第3 s内的加速度相同，大小均为1 m/s2
D.第3 s内的位移为0.5 m
答案：C
解析：第1 s内和第2 s内速度均为正，所以物体均向东运动，故A错误；2 s末物体开始向西运动，故B错误；v-t图像的斜率表示加速度，所以第2 s内与第3 s内的加速度相同，其大小为a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故C正确；v-t图像与t轴所围的面积表示位移，所以第3 s内的位移为x3＝－×1×1 m＝－0.5 m，故D错误。故选C。
9.一个物体在水平面上做直线运动，其速度－时间图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.物体在前2 s内做匀加速直线运动，加速度为2 m/s 2　
B.物体在6～12 s内速度一直减小
C.物体在第12 s内的位移为0.75 m
D.物体在前12 s内的路程为15 m
答案：D
解析：v-t图像的斜率表示加速度，所以物体在前2 s内做匀加速直线运动，加速度为a＝ m/s 2 ＝1 m/s 2，故A错误； 物体在6～12 s内速度先减小后增大，故B错误；物体在 6～12 s内的加速度大小为a'＝ m/s 2＝ m/s 2，则10～12 s的位移大小为x1＝a'＝××2 2 m＝1 m，10～11 s的位移大小为x2＝a'＝××1 2 m＝0.25 m，所以物体在第12 s内的位移大小为x＝x1－x2＝0.75 m，方向与正方向相反，即位移为－0.75 m，故C错误；物体在前10 s内的路程为s1＝×2 m＝14 m，在10～12 s内的路程为s2＝x1＝1 m，所以物体在前12 s内的路程为s＝s1＋s2＝15 m，故D正确。故选D。
10.列车长为L，铁路桥长为2L，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头时的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，则车尾过桥尾时的速度为(　　)
A.3v2－v1 B.3v2＋v1
C. D.
答案：C
解析：由速度与位移的关系式得－＝2a·2L，－＝2aL，联立可得v3＝。故选C。
11.(多选)(2025·云南德宏州高一上学期期末)汽车在平直公路上行驶，发现险情紧急刹车，汽车立即做匀减速直线运动直至停止，已知汽车刹车过程中第1 s内的位移为14 m，最后1 s内的位移为2 m，下列说法正确的是(　　)
A.汽车刹车过程中，加速度大小为4 m/s2
B.刹车第3 s内的位移大小为4 m
C.刹车第1 s末的瞬时速度大小为14 m/s
D.刹车过程中，汽车运动的总位移大小为32 m
答案：AD
解析：汽车运动的逆过程是初速度为零的匀加速直线运动，最后1 s内由公式x＝at2，可得汽车刹车过程中，加速度大小为a＝4 m/s2，故A正确；设初速度为v0，汽车刹车过程中第1 s内的位移为x1＝v0t1－a，代入数据解得v0＝16 m/s，则刹车第3 s内的位移大小为x'＝v0t3－a－(v0t2－a)＝6 m，故B错误；刹车第1 s末的瞬时速度大小为v1＝v0－at1＝16 m/s－4×1 m/s＝12 m/s，故C错误；刹车过程中，汽车运动的总位移大小为x总＝＝ m＝32 m，故D正确。故选AD。
12.(10分)(2025·浙江精诚联盟高一10月联考)如图甲所示，一位滑雪者先沿倾斜直轨道AB从A点由静止开始匀加速下滑，经过B点前后速度大小不变，之后在足够长的水平直轨道BC上做匀减速直线运动直至停止。通过观测可得到滑雪者的v-t图像如图乙所示。求：
(1)滑雪者在倾斜直轨道上滑行的加速度大小a1；
(2)滑雪者在倾斜直轨道上滑行的距离x1；
(3)滑雪者在水平直轨道上滑行的距离x2。
答案：(1)4 m/s2　 (2)50 m　 (3)100 m
解析：(1)滑雪者在倾斜直轨道上滑行的加速度大小a1＝＝ m/s2＝4 m/s2。
(2)滑雪者在倾斜直轨道上滑行的距离x1＝a1＝50 m。
(3)滑雪者在水平直轨道上的加速度a2＝＝ m/s2＝－2 m/s2
滑雪者在水平直轨道上有0－＝2a2x2
解得x2＝100 m。
13.(16分)如图是公路上的“避险车道”，车道表面是粗糙的碎石，其作用是供下坡的汽车在刹车失灵的情况下避险。一辆货车在倾角为30°的连续长直下坡高速路上以v0＝18 m/s的速度匀速行驶，突然货车刹车失灵，开始加速运动，此时货车的加速度大小为a1＝3 m/s2，在加速前进了x1＝96 m后，货车平滑冲上了倾角为53°的碎石铺成的避险车道，已知货车在该避险车道上的加速度大小为a2＝16 m/s2。货车的整个运动过程可视为直线运动。求：
(1)货车刚冲上避险车道时速度的大小；
(2)货车在长直下坡高速路上加速运动96 m所用的时间；
(3)要使该车能安全避险，避险车道的最小长度为多少？
答案：(1)30 m/s　(2)4 s　(3)28.125 m
解析：(1)由匀变速直线运动速度与位移的关系式有v2－＝2a1x1
解得v＝30 m/s。
(2)根据匀变速直线运动速度与时间的关系式有v＝v0＋a1t1
解得t1＝4 s。
(3)货车进入避险车道，最终停止，因此末速度为v'＝0
由匀变速直线运动速度与位移的关系式有v'2－v2＝－2a2x2
解得x2＝28.125 m
即要使该车安全避险，避险车道的最小长度为28.125 m。(共60张PPT)
3.匀变速直线运动的位移与时间的关系
　　　　
第二章　匀变速直线运动的研究
1.理解v-t图像中图线与t轴所围“面积”即相应时间内的位移。
2.了解位移与时间的关系式的推导方法，会用位移与时间的关系式解决有关问题。
3.会利用匀变速直线运动的规律推导速度与位移的关系式，会用速度与位移的关系式解决一些简单的问题。
素养目标
知识点一　匀变速直线运动的位移
1
知识点二　速度与位移的关系
2
课时测评
5
内容索引
知识点三　计算刹车类问题中的位移
3
知识点四　利用-t图像求位移
4
知识点一　匀变速直线运动的位移
情境导入　1.如图为匀速直线运动的v-t图像，图中阴影部分的面积与物体在0～t1时间内的位移在数值上是否相等？
提示：相等
自主学习
2.如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v- t图像。试推导匀变速直线运动的位移与时间的关系。
提示：(1)可将物体的运动按时间分成若干小段，将每一小段内的
运动看成是匀速直线运动，其速度用这一小段起始时刻的瞬时速
度表示。这样每一小段内的匀变速直线运动就转变成了匀速直线
运动。
如图甲中5个小矩形的面积之和近似代表物体在整个运动过程中的
位移。
(2)为了精确一些，可以把运动过程划分成更多的小段，如图乙所示，用所有这些小段的位移之和近似代表物体在整个过程的位移，会更准确一些。
(3)如果把整个过程划分成非常多的小段，每个小段就非常小，以至难以观察到，如图丙所示，梯形的面积就能代表整个过程的位移。
v t图线与坐标轴围成的梯形的面积为
x＝(v0＋v)t
又v＝v0＋at
联立两式可得x＝v0t＋at2。
基础梳理
1.利用v-t图像求位移
v-t图像与时间轴所围梯形的______表示位移，如图所示，
x＝(v0＋v)t。
2.位移与时间的关系式：x＝__________。当初速度为0时，
x＝_____。
面积
v0t＋at2
at2
师生互动　对于匀变速直线运动位移与时间的关系式x＝v0t＋at2。
任务1.公式中的矢量有哪些？解题时需注意什么？
提示：矢量有x、v0、a，需规定正方向。
课堂探究
任务2.如果物体做匀减速直线运动，使用x＝分析问题时要注意什么？
提示：若以初速度方向为正方向，则加速度代入数据时取负值。
1.公式x＝v0t＋at2的矢量性
公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。
(1)物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值。
(2)x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相反。
探究归纳
2.公式x＝v0t＋at2的特殊形式
当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移x与t2成正比。
探究归纳
物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为 1 m/s 2，求：
(1)物体在2 s内的位移大小；
答案：2 m
例1
物体在2 s内的位移x2＝a＝×1×22 m＝2 m。
(2)物体在第2 s内的位移大小；
答案：1.5 m
第1 s末的速度(第2 s初的速度)v1＝v0＋at1＝(0＋1×1) m/s＝1 m/s
故物体在第2 s内的位移x2'＝v1t1＋a＝ (1×1＋×1×12) m＝1.5 m。
(3)物体在第二个2 s内的位移大小。
答案：6 m
第2 s末的速度(第二个2 s的初速度)v2＝v0＋at2＝(0＋1×2) m/s＝2 m/s
故物体在第二个2 s内的位移x2″＝v2t2'＋at2' 2＝ m＝6 m。
应用公式x＝v0t＋at2的解题步骤
1．选择做匀变速直线运动的物体为研究对象，根据题意明确研究过程。
2．分析研究对象的初速度、加速度、时间和位移，知道其中三个物理量，可计算第四个物理量。
3．选择正方向，判定各物理量的正负，代入公式计算。　
方法技巧
针对练1.一物体运动的位移与时间的函数关系为x＝(6t＋4t 2) m，则
A.这个物体的初速度为8 m/s
B.这个物体的初速度为12 m/s
C.这个物体的加速度为－8 m/s 2
D.这个物体的加速度为8 m/s 2
√
根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式x＝v0t＋at 2，结合位移与时间的函数关系x＝(6t＋4t 2) m，可得v0＝6 m/s，a＝8 m/s 2。故选D。
针对练2.一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求：
(1)物体在前3 s内的位移大小；
答案：12.75 m
取初速度方向为正方向，则v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2，物体在前3 s内的位移为x3＝v0t3＋a＝5×3 m＋×(－0.5)×32 m＝12.75 m。
(2)物体在第3 s内的位移大小。
答案：3.75 m
同理，物体在前2 s内的位移为x2＝v0t2＋a＝5×2 m＋×
(－0.5)×22 m＝9 m
因此第3 s内物体的位移x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m。
返回
知识点二　速度与位移的关系
情境导入　为了减少飞机跑道长度，在一航母上设计了
弹射装置。若飞机在起飞过程的初速度为v0，末速度为
v，加速度为a，起飞过程为匀加速直线运动。
(1)加速的时间为多少？
提示：由速度与时间的关系式v＝v0＋at，解得t＝。
自主学习
(2)跑道的长度为多少？
提示：跑道长度为x＝v0t＋at2＝v0·＋a·＝。
基础梳理
1.速度与位移的关系式：v2－＝_____。
2.推导
速度与时间的关系式v＝________。
位移与时间的关系式x＝_________。
由以上两个公式消去t，可得
2ax
v0＋at
v0t＋at2
师生互动　假设上述情境导入中的飞机完成任务飞回航母，飞回航母时速度的大小为60 m/s，要求在阻拦索的作用下滑行100 m能减速到0，该过程视为匀变速运动。
任务1.加速度的方向与速度的方向有什么关系？
提示：方向相反。
课堂探究
任务2.此过程加速度的大小是多少？
提示：以初速度的方向为正方向，此过程v0＝60 m/s，x＝100 m，v＝0，由0－＝2ax，解得a＝－18 m/s2，即加速度的大小为18 m/s2。
1.速度与位移的关系式v2－＝2ax的理解
探究归纳
适用范围 适用于匀变速直线运动
特例 若v0＝0，则v2＝2ax
若v＝0，则－＝2ax
说明 分析和解决不涉及时间的问题时，使用2－＝2ax更简便
2.公式v2－＝2ax的矢量性
公式中v0、v、a、x都是矢量，应用该关系式解题时一定要先设定正方向，一般取v0的方向为正方向：
(1)若是加速运动，a取正值；若是减速运动，a取负值。
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同；x＜0，位移的方向与初速度方向相反。
3.注意速度的合理性
利用公式v2－＝2ax求解速度时，通常有两个解，要对两个解的含义及合理性进行讨论。
探究归纳
随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时则为5 m/s2)。
(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进
多远？
答案：45 m　22.5 m
例2
设货车刹车时速度为v0，加速度为a，末速度为v，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝
由题意知v0＝54 km/h＝15 m/s，v＝0，a1＝－2.5 m/s2，a2＝－5 m/s2
代入数据可得，超载时x1＝45 m
不超载时x2＝22.5 m。
(2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着一辆小轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小。
答案：10 m/s
超载货车与轿车碰撞时，由v'2－＝2a1x'可知，相撞时货车的速度大小v'＝＝ m/s＝10 m/s。
针对练1.如图所示，小球A在斜面上匀加速由静止滑下x1后，又匀减速地在平面上滑过x2后停下，测得x2＝2x1，则小球在斜面上的加速度a1与平面上加速度a2的大小关系为
A.a1＝a2
B.a1＝2a2
C.a1＝a2
D.a1＝4a2
√
设小球在斜面末端时的速度为v，由速度与位移的关系式得v2－02＝2a1x1，02－v2＝2(－a2)x2，联立解得a1＝2a2。故选B。
针对练2.若某高速列车在行驶过程中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s的过程中位移为30 m，则当它的速度由15 m/s增加到25 m/s的过程中，位移是
A.60 m B.120 m
C.140 m D.160 m
√
列车做匀加速直线运动，由速度与位移的关系式可得－＝2ax1，又－＝2ax2，联立解得x2＝160 m。故选D。
返回
知识点三　刹车类问题中的位移计算
　　汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可简化为单方向的匀减速直线运动，当速度减小到零后，就停止运动，在计算这类运动的位移时，应先计算出速度减小到零所用的时间t0。
1.如果t0＜t，加速度的大小为a，则不能用题目所给的时间t求解位移，此时运动的最长时间为t0＝，最大距离为x0＝。
2.如果t0＞t，说明经过时间t运动还没有停止，则应用题目所给的时间t直接求解位移。
以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进
36 m(制动3 s时汽车未停止)。求汽车的加速度及制动后5 s内发生的位移大小。
答案：4 m/s2，与初速度方向相反　40.5 m
例3
初速度v0＝18 m/s，时间t＝3 s，位移x＝36 m
有x＝v0t＋at2
解得a＝＝ m/s2＝－4 m/s2
即加速度大小为4 m/s2，方向与初速度方向相反；
根据速度与时间的关系式，可得汽车停止运动的时间t'＝＝ s＝4.5 s
故汽车在制动后5 s内的位移与4.5 s内的位移相等，大小为x'＝｜a｜t'2＝
40.5 m。
刹车类问题末速度为零时，可采用逆向思维法，将汽车匀减速到零的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，从而使问题的解答更简便。
特别提醒
返回
知识点四　利用-t图像求位移
　　在v-t图像中，图线与时间轴所围成的“面积”表示位移：
1.“面积”有正负
(1)在时间轴上方“面积”为正值，表示位移沿正方向；
(2)在时间轴下方“面积”为负值，表示位移沿负方向。
2.“面积”的绝对值表示位移的大小
(1)总位移等于时间轴上、下方“面积”的代数和；
(2)总路程为时间轴上、下方“面积”的绝对值之和。
某一做直线运动的物体的v-t图像如图所示，根据图像求：
(1)物体距出发点的最远距离；
答案：6 m
例4
当物体运动了3 s时，物体距出发点的距离最远，由v-t图像的“面积”表示物体通过的位移可得xm＝×4×3 m＝6 m。
(2)前4 s内物体的位移大小；
答案：6 m
前4 s内物体的位移大小为x＝｜xm｜－｜x'｜＝6 m－×2×1 m＝5 m。
(3)前4 s内物体通过的路程。
答案：7 m
前4 s内物体通过的路程为s＝｜xm｜＋｜x'｜＝6 m＋×2×1 m＝7 m。
针对练.(多选)汽车以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，驾驶员发现正前方的斑马线上有行人，于是刹车礼让，汽车恰好停在斑马线前。假设驾驶员的反应时间为0.5 s，汽车运动的v-t图像如图所示。下列说法中正确的是
A.在驾驶员反应时间内，汽车行驶的距离为5 m
B.从驾驶员发现情况到汽车停止，共行驶的距离为15 m
C.汽车刹车时的加速度大小为10 m/s2
D.从驾驶员发现情况到汽车停止的平均速度为6 m/s
√
√
√
汽车在驾驶员的反应时间内做匀速直线运动，则反应
时间内汽车行驶的距离x1＝vt1＝10×0.5 m＝5 m，故
A正确；根据v-t图像的“面积”表示物体通过的位移
可知，从驾驶员发现情况到汽车停止，共行驶的距离
x＝5 m＋×10×2 m＝15 m，故B正确；汽车刹车时的加速度大小a＝＝ m/s2＝5 m/s2，故C错误；从驾驶员发现情况到汽车停止的平均速度＝＝ m/s＝6 m/s，故D正确。故选ABD。
返回
课堂回眸
课时测评
1.一质点在0时刻开始做初速度为2 m/s、加速度为4 m/s2的匀加速直线运动，在0～2 s内质点的位移大小为
A.10 m B.12 m
C.14 m D.16 m
√
根据匀变速直线运动位移与时间的关系式得x＝v0t＋at2＝2×2 m＋×4×22 m＝12 m。故选B。
2.如图所示，假设机器人送餐时先从静止开始做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，最后做匀减速直线运动，直到恰好停在目标位置。已知机器人做匀减速直线运动的第1 s内发生的位移为1.75 m，加速度大小为0.5 m/s2，则机器人做匀减速直线运动的初速度大小为
A.1.5 m/s B.2.0 m/s
C.2.5 m/s D.3.0 m/s
√
在匀减速过程中，根据位移与时间的关系式，有x＝v0t－at2，代入数据可得匀减速直线运动的初速度大小v0＝2.0 m/s。故选B。
3.一物体以2 m/s的初速度做匀加速直线运动，4 s内位移为16 m，则
A.物体的加速度为2 m/s2 B.4 s内的平均速度为6 m/s
C.4 s末的瞬时速度为6 m/s D.第2 s内的位移为6 m
√
根据匀加速直线运动的位移与时间的关系式，有x4＝v0t4＋a，代入数据解得a＝1 m/s2，故A错误；4 s内的平均速度为＝＝4 m/s故B错误；由速度与时间的关系式可得4 s末的瞬时速度为v4＝v0＋at4＝
6 m/s，故C正确；第2 s内的位移为x2＝v0t2＋a－＝3.5 m，故D错误。故选C。
4.如图所示，一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B点时速度为v，到达C点时速度为2v。则xAB∶xBC等于
A.1∶1
B.1∶2
C.1∶3
D.1∶4
√
由速度与位移的关系式得xAB＝，xBC＝＝，故xAB∶xBC＝1∶3。故选C。
5.一个物体从静止开始做匀加速直线运动。它在第1 s内与第2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2。以下说法正确的是
A.x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2 B.x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C.x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2 D.x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
√
根据位移与时间的关系式，可得第1 s内与第2 s内的位移之比为＝＝；根据速度与位移的关系式，可得＝＝。故选B。
6.物体从长为L的光滑斜面顶端由静止开始下滑，滑到底端时的速率为v，如果物体以v0＝的初速度从斜面底端沿斜面上滑， 上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为
A. B.
C. D.L
√
设加速度大小为a，下滑时v2＝2aL，上滑时0－＝－2aL'，联立以上两式可得L'＝。故选C。
7.汽车以20 m/s的速度做匀速直线运动，某时刻关闭发动机后做匀减速直线运动，加速度大小为5 m/s2，则它关闭发动机后通过37.5 m所需时间为
A.3 s B.4 s
C.5 s D.6 s
√
根据位移与时间的关系式，有x＝v0t＋at2，将v0＝20 m/s，a＝
－5 m/s2，x＝37.5 m，代入可得t1＝3 s，t2＝5 s，但汽车减速到0所用的时间t0＝＝4 s，所以t2＝5 s应舍去。故选A。
8.(2025·河南周口高一期末)某物体做直线运动，它
的v-t图像如图所示，设向东为速度v正方向，根据
图像下列判断正确的是
A.第1 s内物体向东运动，第2 s内物体向西运动
B.1 s末物体开始向西运动
C.第2 s内的加速度和第3 s内的加速度相同，大小均为1 m/s2
D.第3 s内的位移为0.5 m
√
第1 s内和第2 s内速度均为正，所以物体均向东运
动，故A错误；2 s末物体开始向西运动，故B错误；
v-t图像的斜率表示加速度，所以第2 s内与第3 s内
的加速度相同，其大小为a＝＝ m/s2＝
1 m/s2，故C正确；v-t图像与t轴所围的面积表示位移，所以第3 s内的位移为x3＝－×1×1 m＝－0.5 m，故D错误。故选C。
9.一个物体在水平面上做直线运动，其速度－时间图
像如图所示，下列说法正确的是
A.物体在前2 s内做匀加速直线运动，加速度为2 m/s 2
B.物体在6～12 s内速度一直减小
C.物体在第12 s内的位移为0.75 m
D.物体在前12 s内的路程为15 m
√
v-t图像的斜率表示加速度，所以物体在前2 s内做匀加速
直线运动，加速度为a＝ m/s 2 ＝1 m/s 2，故A错误； 物
体在6～12 s内速度先减小后增大，故B错误；物体在 6～
12 s内的加速度大小为a'＝ m/s 2＝ m/s 2，则10～12 s的
位移大小为x1＝a'＝××2 2 m＝1 m，10～11 s的位移大小为x2＝a'＝××1 2 m＝0.25 m，所以物体在第12 s内的位移大小为x＝x1－x2＝0.75 m，方向与正方向相反，即位移为－0.75 m，故C错误；物体在前10 s内的路程为s1＝×2 m＝14 m，在10～12 s内的路程为s2＝x1＝1 m，所以物体在前12 s内的路程为s＝s1＋s2＝15 m，故D正确。故选D。
10.列车长为L，铁路桥长为2L，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头时的速度为v1，车头过桥尾时的速度为v2，则车尾过桥尾时的速度为
A.3v2－v1 B.3v2＋v1
C. D.
√
由速度与位移的关系式得－＝2a·2L，－＝2aL，联立可得v3＝。故选C。
11.(多选)(2025·云南德宏州高一上学期期末)汽车在平直公路上行驶，发现险情紧急刹车，汽车立即做匀减速直线运动直至停止，已知汽车刹车过程中第1 s内的位移为14 m，最后1 s内的位移为2 m，下列说法正确的是
A.汽车刹车过程中，加速度大小为4 m/s2
B.刹车第3 s内的位移大小为4 m
C.刹车第1 s末的瞬时速度大小为14 m/s
D.刹车过程中，汽车运动的总位移大小为32 m
√
√
汽车运动的逆过程是初速度为零的匀加速直线运动，最后1 s内由公式x＝at2，可得汽车刹车过程中，加速度大小为a＝4 m/s2，故A正确；设初速度为v0，汽车刹车过程中第1 s内的位移为x1＝v0t1－a，代入数据解得v0＝16 m/s，则刹车第3 s内的位移大小为x'＝v0t3－a－(v0t2－a)＝6 m，故B错误；刹车第1 s末的瞬时速度大小为v1＝v0－at1＝16 m/s－4×1 m/s＝12 m/s，故C错误；刹车过程中，汽车运动的总位移大小为x总＝＝ m＝32 m，故D正确。故选AD。
12.(10分)(2025·浙江精诚联盟高一10月联考)如图甲所示，一位滑雪者先沿倾斜直轨道AB从A点由静止开始匀加速下滑，经过B点前后速度大小不变，之后在足够长的水平直轨道BC上做匀减速直线运动直至停止。通过观测可得到滑雪者的v-t图像如图乙所示。求：
(1)滑雪者在倾斜直轨道上滑行的加速度大小a1；
答案：4 m/s2
滑雪者在倾斜直轨道上滑行的加速度大小a1＝＝ m/s2＝4 m/s2。
(2)滑雪者在倾斜直轨道上滑行的距离x1；
答案：50 m
滑雪者在倾斜直轨道上滑行的距离x1＝a1＝50 m。
(3)滑雪者在水平直轨道上滑行的距离x2。
答案：100 m
滑雪者在水平直轨道上的加速度a2＝＝ m/s2＝－2 m/s2
滑雪者在水平直轨道上有0－＝2a2x2
解得x2＝100 m。
13.(16分)如图是公路上的“避险车道”，车道表面是粗
糙的碎石，其作用是供下坡的汽车在刹车失灵的情况下
避险。一辆货车在倾角为30°的连续长直下坡高速路上
以v0＝18 m/s的速度匀速行驶，突然货车刹车失灵，开始加速运动，此时货车的加速度大小为a1＝3 m/s2，在加速前进了x1＝96 m后，货车平滑冲上了倾角为53°的碎石铺成的避险车道，已知货车在该避险车道上的加速度大小为a2＝16 m/s2。货车的整个运动过程可视为直线运动。求：
(1)货车刚冲上避险车道时速度的大小；
答案：30 m/s
由匀变速直线运动速度与位移的关系式有v2－＝2a1x1
解得v＝30 m/s。
(2)货车在长直下坡高速路上加速运动96 m所用的时间；
答案：4 s
根据匀变速直线运动速度与时间的关系式有v＝v0＋a1t1
解得t1＝4 s。
(3)要使该车能安全避险，避险车道的最小长度为多少？
答案：28.125 m
货车进入避险车道，最终停止，因此末速度为v'＝0
由匀变速直线运动速度与位移的关系式有v'2－v2＝－2a2x2
解得x2＝28.125 m
即要使该车安全避险，避险车道的最小长度为28.125 m。
返回
谢 谢 观 看
3. 匀变速直线运动的位移与时间的关系

展开更多......

收起↑