资源简介

素养提升课三　自由落体与竖直上抛运动
【素养目标】　1.进一步加深对自由落体运动性质的理解和运动规律的应用。2.知道什么是竖直上抛运动，理解竖直上抛运动是匀变速直线运动。3.掌握竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全程法求解竖直上抛运动的有关问题。
提升点一　自由落体运动规律的应用
多物体的自由落体运动
(多选)(2024·湖北荆门高一上学期期末)如图所示，两个小球a、b通过长为l的轻绳连接，现用手拿着上端的小球a由静止释放两球，释放时小球a距离地面的高度为h，两个小球相继落地的时间间隔为Δt，两个小球落地后不再反弹，不考虑空气阻力，下列说法中正确的是(　　)
A.小球a落地速度比小球b落地速度小
B.两个小球从释放至最后都落地的过程中，轻绳的拉力一直为零
C.若增大h，则两个小球相继落地的时间间隔Δt变小
D.若增大h，则两个小球相继落地的时间间隔Δt变大
答案：BC
解析：b落地前，以a、b为整体，可知整体做自由落体运动，轻绳的拉力为0；b落地后，绳子松弛，轻绳的拉力仍为0，a继续做自由落体运动，则有vb＝，va＝，可知小球a落地速度比小球b落地速度大，故A错误，B正确。若增大h，则小球b落地时，小球a的速度v越大，则根据匀变速直线运动规律有l＝v·Δt＋g·(Δt)2，可知，两个小球相继落地的时间间隔Δt一定变小，故C正确，D错误。故选BC。
　　在研究自由落体运动的多物体问题时，首先利用自由落体运动的规律，分别计算每个物体落地的时间、速度等物理量，再对相关物理量进行分析、比较。
自由落体中的滴水问题
小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下檐，小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落与自家房子的图示，其中第2滴和第3滴之间的小矩形表示小敏正对的窗子，不计空气阻力，g取10 m/s2，请问：(尝试用多种方法求解)
(1)滴水的时间间隔是多少？
(2)此屋檐离地面多高？
答案：(1)0.2 s　(2)3.2 m
解析：法一：位移与时间关系式法
(1)设屋檐离地面高为h，滴水的时间间隔为T，由h＝gt2得
第2滴水下落的位移h2＝g(3T)2
第3滴水下落的位移h3＝g(2T)2
且h2－h3＝1 m
解得T＝0.2 s。
(2)屋檐高h＝g(4T)2＝3.2 m。
法二：比例法
(1)(2)由于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以设相邻两水滴之间的间距从上到下依次是x、3x、5x、7x，由题意知，窗高为5x，则5x＝1 m，x＝0.2 m
屋檐高h＝x＋3x＋5x＋7x＝16x＝3.2 m
设滴水的时间间隔为T，由x＝gT2，解得T＝＝0.2 s。
法三：平均速度法
(1)设滴水的时间间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为＝
其中L＝1 m
雨滴在2.5T时的速度v2.5＝2.5gT
由于v2.5＝，所以＝2.5gT，解得T＝0.2 s。
(2)屋檐高h＝g(4T)2＝3.2 m。
法四：速度与位移关系式法
(1)设滴水的时间间隔为T，则第2滴水的速度v2＝g·3T
第3滴水的速度v3＝g·2T
由v2－＝2ax，可得－＝2gL，其中L＝1 m
解得T＝0.2 s。
(2)屋檐高h＝g(4T)2＝3.2 m。
“水滴下落”类问题
　　像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间、依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点，由此可以用Δx＝aT2、初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法等进行求解。
非质点类物体的自由落体运动
如图所示，直杆长l1＝0.5 m，圆筒长l2＝3.7 m。直杆位于圆筒正上方h＝0.8 m处。直杆从静止开始做自由落体运动，并能竖直穿过圆筒，g取10 m/s2，求：
(1)直杆下端到达圆筒上端的时间；
(2)直杆穿越圆筒所用的时间。
答案：(1)0.4 s　(2)0.6 s
解析：(1)设直杆下端到达圆筒上端的时间为t1
根据自由落体运动规律有h＝g
解得t1＝＝ s＝0.4 s。
(2)设直杆上端离开圆筒下端的时间为t2
根据自由落体运动规律有l1＋h＋l2＝g
解得t2＝＝ s＝1 s
则直杆穿越圆筒所用的时间t＝t2－t1＝0.6 s。
非质点类物体的自由落体运动问题
　　由于物体有一定的长度，故物体经过某一点不是一个瞬间，而是一段时间，解决这类问题的关键是选准研究过程，找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移，解答过程中应借助运动示意图，搞清楚物体运动的过程，从而达到解决问题的目的。
提升点二　竖直上抛运动
1.定义：将物体以某一初速度v0竖直向上抛出，物体只在重力作用下所做的运动就是竖直上抛运动。
2.实质：初速度v0＞0、加速度a＝－g的匀变速直线运动(通常规定初速度v0的方向为正方向，g为重力加速度的大小)。
3.处理方法
(1)分段法：可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理。上升阶段：v＝v0－gt ，h＝v0t－gt2 ；下落阶段：v＝gt，h＝gt2 。
(2)整体法：取整个过程分析，选竖直向上为正方向，将竖直上抛运动视为初速度为v0、加速度为－g 的匀变速直线运动。则有v＝v0－gt ，h＝v0t－gt2。v＞0 ，上升阶段；v＜0 ，下落阶段。h＞0 ，在抛出点上方；h＜0 ，在抛出点下方。
4.重要特性：作出竖直上抛运动的过程图，如图所示，可知：
(1)对称性
①时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等，tAB＝tBA ，tOC＝tCO 。
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反(最高点除外)。
(2)多解性：通过抛出点上方某一点对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。
5.典型物理量：上升的最大高度h＝＝ ；上升时间t＝＝ ；在t＝ 时刻，位移为零，即回到抛出点。
竖直上抛运动的理解
(多选)关于竖直上抛运动，下列说法正确的是(　　)
A.竖直上抛运动先后两次经过同一点时速度相同
B.竖直上抛运动的物体从某一点到最高点和从最高点回到该点的时间相等
C.以初速度v0竖直上抛的物体上升的最大高度为h＝(g为重力加速度)
D.竖直上抛运动可看成匀减速直线运动与自由落体运动两个阶段
答案：BCD
解析：竖直上抛运动先后两次经过同一点时速度大小相等、方向相反，故A错误；因竖直上抛运动的加速度不变，故从某点到最高点和从最高点回到该点的时间相等，故B正确；由速度与位移的关系式可得，以初速度v0竖直上抛的物体上升的最大高度为h＝，故C正确；根据物体做竖直上抛运动的性质可知，竖直上抛运动可看成匀减速直线运动与自由落体运动两个阶段，故D正确。故选BCD。
竖直上抛运动的有关计算
(2024·贵州毕节高一上学期期末)t＝0时，将一小球从地面以某一初速度竖直向上抛出，t＝6 s时落回地面。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A.t＝4 s时小球处于上升过程中
B.小球上升的最大高度为90 m
C.小球抛出时的初速度为60 m/s
D.t＝5 s时小球离地面的高度为25 m
答案：D
解析：小球做竖直上抛运动，由于t＝6 s时落回地面，根据对称性可知，t0＝3 s时小球运动至最高点，即在0～3 s时间内，小球处于上升过程，之后小球处于下落过程，故A错误；结合上述，利用逆向思维，可知小球上升的最大高度为h＝g＝×10×32 m＝45 m，故B错误；小球抛出时的初速度为v0＝gt0＝10×3 m/s＝30 m/s，故C错误；t＝5 s时，小球距离地面的高度h'＝v0t－gt2＝30×5 m－×10×52 m＝25 m，故D正确。故选D。
针对练1.(多选)某小物体以v0＝40 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2，抛出时刻t＝0，则下列说法正确的是(　　)
A.物体在t＝3 s时速度大小为70 m/s
B.前3 s内物体的位移大小为75 m
C.前5 s内物体的路程为85 m
D.前5 s内物体速度变化量的大小为30 m/s
答案：BC
解析：由v＝v0－gt可得物体在t＝3 s时的速度大小为v＝40 m/s－10×3 m/s＝10 m/s，A错误；由x＝v0t－gt2可求得前3 s内物体的位移大小为x＝75 m，B正确；物体到达最高点的时间t1＝＝4 s，之后物体做自由落体运动，所以前5 s内的路程为s＝g＋g(t'－t1)2＝85 m，C正确；前5 s内速度变化量的大小Δv＝gt'＝50 m/s，D错误。故选BC。
针对练2.在某次救援中，消防队员抱着被救者在悬停直升机的竖直悬绳牵引下以5 m/s的速度匀速上升。当上升到离地面30 m高处时，被救者的手机突然从口袋中掉出。则手机从掉出到落地的时间为(不计空气阻力，g＝10 m/s2 )(　　)
A. s B.3 s
C.2 s D.(2＋ ) s
答案：B
解析：手机从口袋中掉出后以5 m/s的初速度做竖直上抛运动，规定竖直向上为正方向，手机从掉出到落地这段时间，有－h＝v0t－gt2 ，代入数据解得t＝3 s (t＝－2 s舍去)。故选B。
课时测评12　自由落体与竖直上抛运动
(时间：45分钟　满分：70分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－11题，每题4分，共44分)
1.(2025·上海市向明中学高一上学期期末)甲、乙两物体都做自由落体运动，m甲＝2m乙，甲从离地H高度处落下，乙从离地2H高度处与甲同时落下。下列关于两物体运动的说法中正确的是(　　)
A.甲物体的加速度大
B.若甲运动了时间t触地，则乙再过时间t触地
C.甲触地时，乙距离地面的高度为H
D.两物体下落全过程的平均速度相等
答案：C
解析：甲、乙都做自由落体运动，加速度均为重力加速度，故A错误；根据H＝g，2H＝g，可得t乙∶t甲＝∶1，若甲运动了时间t触地，则乙再过时间(－1)t触地，故B错误；甲触地时，甲、乙下落的高度均为H，则此时乙距离地面的高度为Δh＝2H－H＝H，故C正确；甲、乙两物体着地瞬间的速度分别为v甲＝，v乙＝＝2，则甲、乙两物体下落全过程的平均速度分别为＝＝，＝＝，故D错误。故选C。
2.如图所示，一同学发现水龙头损坏后不能完全关闭，有水滴从管口由静止开始不断下落，每两个水滴之间时间间隔相等，忽略空气阻力和水滴间的相互影响，则在水滴落地前(　　)
A.水滴做自由落体运动
B.相对于水滴3来说，水滴2做匀加速直线运动
C.水滴1和水滴2之间距离不变
D.在图示时刻，水滴1和水滴2之间的距离等于水滴2和水滴3之间的距离
答案：A
解析：水滴初速度为零，仅受重力作用，故水滴做自由落体运动，A正确；设水滴下落的时间间隔为T，相对于水滴3来说，水滴2的加速度为0，速度为gT，故做匀速直线运动，B错误；设水滴1下落时间为t，水滴1和水滴2之间距离为Δh＝gt2－g(t－T)2＝gtT－gT2，故水滴1和水滴2之间距离不断增大，C错误；由初速度为0的匀加速直线运动在连续相等时间间隔内的位移之比知x12≠x23，D错误。故选A。
3.(2025·陕西西安长安区高一上学期期末)某同学从一塔顶上每隔0.8 s由静止释放一个小球。当刚释放第7个小球时，第1个小球恰好落地。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
A.小球落地时的速度大小为56 m/s
B.第1个小球落地时，第6个小球下落的距离为1.6 m　
C.第1个小球落地时，第2个小球与第3个小球的间距为16 m
D.第1个小球落地前瞬间，第1个、第2个和第5个小球的速度大小之比为6∶5∶2
答案：D
解析：小球在空中的点迹如图所示，小球做自由落体运动，落地的速度为v＝g·6Δt＝48 m/s，故A错误；第1个小球落地时，第6个小球下落的距离为h＝g(Δt)2＝3.2 m，故B错误；第1个小球落地时，第2个小球距离释放点的距离为h2＝g·＝80 m，第3个小球距离释放点的距离为h3＝g·＝51.2 m，第2个小球与第3个小球的间距为Δh＝h2－h3＝ m＝28.8 m，故C错误；根据公式v＝gt，可得第1个小球落地前瞬间，第1个、第2个和第5个小球的速度大小之比为v1∶v2∶v5＝g∶g∶g＝6∶5∶2，故D正确。故选D。
4.一条悬链长8.8 m，竖直悬挂，现悬链从悬挂点处断开，自由下落，不计空气阻力，则整条悬链通过初始时悬链下端正下方20 m处的一点所需的时间是(g取10 m/s2)(　　)
A.0.3 s B.0.4 s
C.0.7 s D.1.2 s
答案：B
解析：悬链下端下落20 m时到达该点，且悬链下端下落28.8 m时完全通过该点，故该过程经历的时间为Δt＝－＝0.4 s。故选B。
5.(多选)下列关于竖直上抛运动(不计空气阻力)的一些说法中正确的是(　　)
A.竖直上抛运动可分为上抛时的匀减速直线运动和下落时的自由落体运动两个过程
B.当速度为零时，物体到达所能达到的最高点
C.当位移为零时，物体到达所能达到的最高点
D.上抛和下落两个过程中，物体加速度的大小相同、方向相反
答案：AB
解析：竖直上抛运动可分为上抛时的匀减速直线运动和下落时的自由落体运动两个过程，故A正确；当速度为零时，物体到达所能达到的最高点，故B正确；当位移为零时，物体回到了抛出点，故C错误；上抛和下落两个过程中，物体只受重力作用，加速度的大小相同、方向相同，故D错误。故选AB。
6.以某一初速度竖直向上抛出一个苹果，并落回手中，忽略空气阻力，以竖直向上为正方向，以下描述此过程的v-t图像中正确是(　　)
答案：C
解析：因不计空气阻力，加速度恒定，设其初速度为v0，根据匀变速直线运动规律，由题意有v＝v0－gt，可知其图像为直线且斜率为负。故选C。
7.(2025·河南许昌高一上学期期末)如图所示，一篮球从离地H高度处A从静止开始下落，与水平地面发生碰撞后反弹至离地h的最高处B(H＞h)。不计空气阻力。设篮球从A运动到地面的过程中，加速度大小为a1、运动时间为t1、与地面碰前瞬间的速度大小为v1；篮球再从地面反弹到B的过程中，加速度大小为a2、运动时间为t2、反弹后瞬间的速度大小为v2。则下列关系正确的是(　　)
A.a1＝a2，t1＝t2，v1＝v2
B.a1＞a2，t1＞t2，v1＞v2
C.a1＜a2，t1＜t2，v1＜v2
D.a1＝a2，t1＞t2，v1＞v2
答案：D
解析：篮球仅受重力作用，加速度保持不变，即a1＝a2，根据H＝a1，h＝a2，可得t1＞t2，根据v1＝a1t1，v2＝a2t2，可得v1＞v2。故选D。
8.以8 m/s的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为0.8 s，g取10 m/s2，则小树高约为(　　)
A.0.8 m B.1.6 m
C.2.4 m D.3.2 m
答案：C
解析：石子竖直上升的最大高度为H＝＝3.2 m，由题意可知，石子从最高点运动到小树顶端的时间为t1＝＝0.4 s，则最高点到小树顶端的距离为h1＝g＝0.8 m，则小树高约为h＝H－h1＝2.4 m。故选C。
9.(2025·河北邯郸高一上学期期末)将小钢球以3 m/s的速度竖直向上抛出，一段时间后落回抛出点。设竖直向上为正方向，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。小钢球运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A.前0.2 s内的平均速度为1.0 m/s
B.前0.4 s内的平均速度为2.0 m/s
C.前0.4 s内的平均速率为1.25 m/s
D.最后0.2 s内的平均速度为2.0 m/s
答案：C
解析：小钢球做竖直上抛运动，位移x＝v0t－gt2，平均速度＝，代入数据解得，前0.2 s内的平均速度为2.0 m/s，前0.4 s内的平均速度为1.0 m/s，故A、B错误；小钢球从抛出到最高点所需时间t1＝＝0.3 s，上升的最大高度h＝＝0.45 m，在0.3 s～0.4 s向下运动，位移x1＝g＝0.05 m，故前0.4 s内的路程为s＝h＋x1＝0.5 m，平均速率为'＝＝1.25 m/s，故C正确；最后0.2 s内小钢球向下运动，平均速度为负值，故D错误。故选C。
10.如图所示，鱼儿从水下一定深度由静止以大小为的加速度加速上升至水面，跃出后离水面的最大高度为h。假设鱼儿的整个运动过程为直线运动，不计空气阻力，重力加速度为g，则鱼儿开始时所在的深度为(　　)
A.2h B.h
C.h D.4h
答案：A
解析：设鱼儿出水瞬间的速度为v，鱼儿在水下时，有v2＝2·h1，鱼儿在水面上时，有v2＝2gh，解得h1＝2h，即鱼儿开始时所在的深度为2h。故选A。
11.(2025·广西来宾高一上学期期末)自O点给小球一竖直向上的初速度做竖直上抛运动，小球途经P点和A点，A点为最高点。其中小球两次经过P点的时间间隔为T1，小球从离开O点至又落回到O点的时间为T2。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则O、P间的距离为(　　)
A.g B.g
C.g D.g
答案：A
解析：小球做竖直上抛运动，根据运动的对称性可得xAO＝g＝g，xAP＝g＝g，则O、P间的距离为xOP＝xAO－xAP＝g。故选A。
12.(10分)如图所示，一个小孩在公园里玩“眼疾手快”游戏。游戏者需接住从支架顶部随机落下的圆棒。已知支架顶部距离地面2.3 m，圆棒长0.4 m，小孩站在支架旁边，手能触及所有圆棒的下落轨迹的某一段范围AB，上边界A距离地面1.1 m，下边界B距离地面0.5 m。不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)圆棒下落到上边界A所用的时间t1；
(2)圆棒通过AB所用的时间t2。
答案：(1)0.4 s　(2)0.2 s
解析：(1)圆棒底部距离上边界A的高度h1＝2.3 m－0.4 m－1.1 m＝0.8 m
圆棒做自由落体运动下落到上边界A的过程，有h1＝g
代入数据解得t1＝0.4 s。
(2)圆棒顶端到下边界B的高度h3＝2.3 m－0.5 m＝1.8 m
圆棒顶端离开下边界B的时间t'＝＝0.6 s
故圆棒通过AB所用的时间t2＝t'－t1＝0.2 s。
13.(16分)(2025·山东潍坊高一上学期期末)某校高一课外活动小组自制了一枚水火箭，水火箭发射后在竖直方向运动，水火箭向下喷水时，水火箭向上做加速度大小为5 m/s2的匀加速直线运动。水火箭经过4 s喷水结束，一段时间后水火箭落回到地面。忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)上升过程中水火箭的最大速度大小；
(2)水火箭离地面的最大高度；
(3)从喷水结束到落回地面水火箭运动的时间。
答案：(1)20 m/s　(2)60 m　(3)(2＋2) s
解析：(1)上升过程中水火箭的最大速度大小为v1＝at1＝20 m/s。
(2)水火箭向上做匀加速直线运动的位移为
x1＝a＝×5×42 m＝40 m
水火箭向上做匀减速直线运动的位移为
x2＝＝ m＝20 m
水火箭离地面的最大高度为x＝x1＋x2＝60 m。
(3)水火箭向上做匀减速直线运动的时间为
t2＝＝2 s
从最高点到落回地面运动过程中，有x＝g
解得t3＝2 s
从喷水结束到落回地面水火箭运动的时间为
t＝t2＋t3＝(2＋2) s。(共51张PPT)
素养提升课三　自由落体与竖直上抛运动
　　　　
第二章　匀变速直线运动的研究
1.进一步加深对自由落体运动性质的理解和运动规律的应用。
2.知道什么是竖直上抛运动，理解竖直上抛运动是匀变速直线运动。
3.掌握竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全程法求解竖直上抛运动的有关问题。
素养目标
提升点一　自由落体运动规律的应用
1
提升点二　竖直上抛运动
2
课时测评
3
内容索引
提升点一　自由落体运动规律的应用
角度1 多物体的自由落体运动
(多选)(2024·湖北荆门高一上学期期末)如图所示，两个小
球a、b通过长为l的轻绳连接，现用手拿着上端的小球a由静止
释放两球，释放时小球a距离地面的高度为h，两个小球相继落
地的时间间隔为Δt，两个小球落地后不再反弹，不考虑空气阻
力，下列说法中正确的是
A.小球a落地速度比小球b落地速度小
B.两个小球从释放至最后都落地的过程中，轻绳的拉力一直为零
C.若增大h，则两个小球相继落地的时间间隔Δt变小
D.若增大h，则两个小球相继落地的时间间隔Δt变大
例1
√
√
b落地前，以a、b为整体，可知整体做自由落体运动，轻绳
的拉力为0；b落地后，绳子松弛，轻绳的拉力仍为0，a继续
做自由落体运动，则有vb＝，va＝，可知小
球a落地速度比小球b落地速度大，故A错误，B正确。若增大
h，则小球b落地时，小球a的速度v越大，则根据匀变速直线
运动规律有l＝v·Δt＋g·(Δt)2，可知，两个小球相继落地的时间间隔Δt一定变小，故C正确，D错误。故选BC。
　　在研究自由落体运动的多物体问题时，首先利用自由落体运动的规律，分别计算每个物体落地的时间、速度等物理量，再对相关物理量进行分析、比较。
总结提升
角度2 自由落体中的滴水问题
小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的
雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一
滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与
第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下檐，小敏同学在自己的作
业本上画出了如图所示的雨滴下落与自家房子的图示，其中第
2滴和第3滴之间的小矩形表示小敏正对的窗子，不计空气阻力，g取
10 m/s2，请问：(尝试用多种方法求解)
(1)滴水的时间间隔是多少？
答案：0.2 s
例2
法一：位移与时间关系式法
设屋檐离地面高为h，滴水的时间间隔为T，由h＝gt2得
第2滴水下落的位移h2＝g(3T)2
第3滴水下落的位移h3＝g(2T)2
且h2－h3＝1 m
解得T＝0.2 s。
法二：比例法
由于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间
隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以设相邻两
水滴之间的间距从上到下依次是x、3x、5x、7x，由题意
知，窗高为5x，则5x＝1 m，x＝0.2 m
屋檐高h＝x＋3x＋5x＋7x＝16x＝3.2 m
设滴水的时间间隔为T，由x＝gT2，解得T＝＝0.2 s。
法三：平均速度法
设滴水的时间间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为＝
其中L＝1 m
雨滴在2.5T时的速度v2.5＝2.5gT
由于v2.5＝，所以＝2.5gT，解得T＝0.2 s。
法四：速度与位移关系式法
设滴水的时间间隔为T，则第2滴水的速度v2＝g·3T
第3滴水的速度v3＝g·2T
由v2－＝2ax，可得－＝2gL，其中L＝1 m
解得T＝0.2 s。
(2)此屋檐离地面多高？
答案：3.2 m
法一：位移与时间关系式法
屋檐高h＝g(4T)2＝3.2 m。
法二：比例法
由于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间
隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以设相邻两水
滴之间的间距从上到下依次是x、3x、5x、7x，由题意知，
窗高为5x，则5x＝1 m，x＝0.2 m
屋檐高h＝x＋3x＋5x＋7x＝16x＝3.2 m
设滴水的时间间隔为T，由x＝gT2，解得T＝＝0.2 s。
法三：平均速度法
屋檐高h＝g(4T)2＝3.2 m。
法四：速度与位移关系式法
屋檐高h＝g(4T)2＝3.2 m。
“水滴下落”类问题
　　像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间、依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点，由此可以用Δx＝aT2、初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法等进行求解。
总结提升
角度3 非质点类物体的自由落体运动
如图所示，直杆长l1＝0.5 m，圆筒长l2＝3.7 m。直杆位于
圆筒正上方h＝0.8 m处。直杆从静止开始做自由落体运动，并
能竖直穿过圆筒，g取10 m/s2，求：
(1)直杆下端到达圆筒上端的时间；
答案：0.4 s
设直杆下端到达圆筒上端的时间为t1
根据自由落体运动规律有h＝g
解得t1＝＝ s＝0.4 s。
例3
(2)直杆穿越圆筒所用的时间。
答案：0.6 s
设直杆上端离开圆筒下端的时间为t2
根据自由落体运动规律有l1＋h＋l2＝g
解得t2＝＝ s＝1 s
则直杆穿越圆筒所用的时间t＝t2－t1＝0.6 s。
非质点类物体的自由落体运动问题
　　由于物体有一定的长度，故物体经过某一点不是一个瞬间，而是一段时间，解决这类问题的关键是选准研究过程，找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移，解答过程中应借助运动示意
图，搞清楚物体运动的过程，从而达到解决问题的目的。
总结提升
返回
提升点二　竖直上抛运动
1.定义：将物体以某一初速度v0竖直向上抛出，物体只在重力作用下所做的运动就是竖直上抛运动。
2.实质：初速度v0＞0、加速度a＝－g的匀变速直线运动(通常规定初速度v0的方向为正方向，g为重力加速度的大小)。
3.处理方法
(1)分段法：可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理。上升阶段：v＝v0－gt ，h＝v0t－gt2 ；下落阶段：v＝gt，h＝gt2 。
(2)整体法：取整个过程分析，选竖直向上为正方向，将竖直上抛运动视为初速度为v0、加速度为－g 的匀变速直线运动。则有v＝v0－gt ，h＝v0t－gt2。v＞0 ，上升阶段；v＜0 ，下落阶段。h＞0 ，在抛出点上方；h＜0 ，在抛出点下方。
4.重要特性：作出竖直上抛运动的过程图，如图所示，可知：
(1)对称性
①时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程时间相
等，tAB＝tBA ，tOC＝tCO 。
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小
相等，方向相反(最高点除外)。
(2)多解性：通过抛出点上方某一点对应两个时刻，即物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段。
5.典型物理量：上升的最大高度h＝＝ ；上升时间t＝＝ ；在t＝ 时刻，位移为零，即回到抛出点。
角度1 竖直上抛运动的理解
(多选)关于竖直上抛运动，下列说法正确的是
A.竖直上抛运动先后两次经过同一点时速度相同
B.竖直上抛运动的物体从某一点到最高点和从最高点回到该点的时间相等
C.以初速度v0竖直上抛的物体上升的最大高度为h＝(g为重力加速度)
D.竖直上抛运动可看成匀减速直线运动与自由落体运动两个阶段
例4
√
√
√
竖直上抛运动先后两次经过同一点时速度大小相等、方向相反，故A错误；因竖直上抛运动的加速度不变，故从某点到最高点和从最高点回到该点的时间相等，故B正确；由速度与位移的关系式可得，以初速度v0竖直上抛的物体上升的最大高度为h＝，故C正确；根据物体做竖直上抛运动的性质可知，竖直上抛运动可看成匀减速直线运动与自由落体运动两个阶段，故D正确。故选BCD。
角度2 竖直上抛运动的有关计算
(2024·贵州毕节高一上学期期末)t＝0时，将一小球从地面以某一初速度竖直向上抛出，t＝6 s时落回地面。不计空气阻力，重力加速度g取
10 m/s2，下列说法正确的是
A.t＝4 s时小球处于上升过程中
B.小球上升的最大高度为90 m
C.小球抛出时的初速度为60 m/s
D.t＝5 s时小球离地面的高度为25 m
√
例5
小球做竖直上抛运动，由于t＝6 s时落回地面，根据对称性可知，t0＝3 s时小球运动至最高点，即在0～3 s时间内，小球处于上升过程，之后小球处于下落过程，故A错误；结合上述，利用逆向思维，可知小球上升的最大高度为h＝g＝×10×32 m＝45 m，故B错误；小球抛出时的初速度为v0＝gt0＝10×3 m/s＝30 m/s，故C错误；t＝5 s时，小球距离地面的高度h'＝v0t－gt2＝30×5 m－×10×52 m＝25 m，故D正确。故选D。
针对练1.(多选)某小物体以v0＝40 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2，抛出时刻t＝0，则下列说法正确的是
A.物体在t＝3 s时速度大小为70 m/s
B.前3 s内物体的位移大小为75 m
C.前5 s内物体的路程为85 m
D.前5 s内物体速度变化量的大小为30 m/s
√
√
由v＝v0－gt可得物体在t＝3 s时的速度大小为v＝40 m/s－10×3 m/s＝
10 m/s，A错误；由x＝v0t－gt2可求得前3 s内物体的位移大小为x＝75 m，B正确；物体到达最高点的时间t1＝＝4 s，之后物体做自由落体运动，所以前5 s内的路程为s＝g＋g(t'－t1)2＝85 m，C正确；前5 s内速度变化量的大小Δv＝gt'＝50 m/s，D错误。故选BC。
针对练2.在某次救援中，消防队员抱着被救者在悬停直升机的竖直悬绳牵引下以5 m/s的速度匀速上升。当上升到离地面30 m高处时，被救者的手机突然从口袋中掉出。则手机从掉出到落地的时间为(不计空气阻力，g＝10 m/s2 )
A. s B.3 s
C.2 s D.(2＋ ) s
√
手机从口袋中掉出后以5 m/s的初速度做竖直上抛运动，规定竖直向上为正方向，手机从掉出到落地这段时间，有－h＝v0t－gt2 ，代入数据解得t＝3 s (t＝－2 s舍去)。故选B。
返回
课堂回眸
课时测评
1.(2025·上海市向明中学高一上学期期末)甲、乙两物体都做自由落体运动，m甲＝2m乙，甲从离地H高度处落下，乙从离地2H高度处与甲同时落下。下列关于两物体运动的说法中正确的是
A.甲物体的加速度大
B.若甲运动了时间t触地，则乙再过时间t触地
C.甲触地时，乙距离地面的高度为H
D.两物体下落全过程的平均速度相等
√
甲、乙都做自由落体运动，加速度均为重力加速度，故A错误；根据H＝g，2H＝g，可得t乙∶t甲＝∶1，若甲运动了时间t触地，则乙再过时间(－1)t触地，故B错误；甲触地时，甲、乙下落的高度均为H，则此时乙距离地面的高度为Δh＝2H－H＝H，故C正确；甲、乙两物体着地瞬间的速度分别为v甲＝，v乙＝＝2，则甲、乙两物体下落全过程的平均速度分别为＝＝，＝＝，故D错误。故选C。
2.如图所示，一同学发现水龙头损坏后不能完全关闭，有水滴
从管口由静止开始不断下落，每两个水滴之间时间间隔相等，
忽略空气阻力和水滴间的相互影响，则在水滴落地前
A.水滴做自由落体运动
B.相对于水滴3来说，水滴2做匀加速直线运动
C.水滴1和水滴2之间距离不变
D.在图示时刻，水滴1和水滴2之间的距离等于水滴2和水滴3之间的距离
√
水滴初速度为零，仅受重力作用，故水滴做自由落体运动，A
正确；设水滴下落的时间间隔为T，相对于水滴3来说，水滴2
的加速度为0，速度为gT，故做匀速直线运动，B错误；设水滴
1下落时间为t，水滴1和水滴2之间距离为Δh＝gt2－g(t－T)2
＝gtT－gT2，故水滴1和水滴2之间距离不断增大，C错误；由初速度为0的匀加速直线运动在连续相等时间间隔内的位移之比知x12≠x23，D错误。故选A。
3.(2025·陕西西安长安区高一上学期期末)某同学从一塔顶上每隔0.8 s由静止释放一个小球。当刚释放第7个小球时，第1个小球恰好落地。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法中正确的是
A.小球落地时的速度大小为56 m/s
B.第1个小球落地时，第6个小球下落的距离为1.6 m　
C.第1个小球落地时，第2个小球与第3个小球的间距为16 m
D.第1个小球落地前瞬间，第1个、第2个和第5个小球的速度大小之比为6∶5∶2
√
小球在空中的点迹如图所示，小球做自由落体运动，落地的速度
为v＝g·6Δt＝48 m/s，故A错误；第1个小球落地时，第6个小球下
落的距离为h＝g(Δt)2＝3.2 m，故B错误；第1个小球落地时，第2
个小球距离释放点的距离为h2＝g·＝80 m，第3个小球距离
释放点的距离为h3＝g·＝51.2 m，第2个小球与第3个小球的
间距为Δh＝h2－h3＝ m＝28.8 m，故C错误；根据公式
v＝gt，可得第1个小球落地前瞬间，第1个、第2个和第5个小球的速度大小之比为v1∶v2∶v5＝g∶g∶g＝6∶5∶2，故D正确。故选D。
4.一条悬链长8.8 m，竖直悬挂，现悬链从悬挂点处断开，自由下落，不计空气阻力，则整条悬链通过初始时悬链下端正下方20 m处的一点所需的时间是(g取10 m/s2)
A.0.3 s B.0.4 s
C.0.7 s D.1.2 s
√
悬链下端下落20 m时到达该点，且悬链下端下落28.8 m时完全通过该点，故该过程经历的时间为Δt＝－＝0.4 s。故选B。
5.(多选)下列关于竖直上抛运动(不计空气阻力)的一些说法中正确的是
A.竖直上抛运动可分为上抛时的匀减速直线运动和下落时的自由落体运动两个过程
B.当速度为零时，物体到达所能达到的最高点
C.当位移为零时，物体到达所能达到的最高点
D.上抛和下落两个过程中，物体加速度的大小相同、方向相反
√
√
竖直上抛运动可分为上抛时的匀减速直线运动和下落时的自由落体运动两个过程，故A正确；当速度为零时，物体到达所能达到的最高点，故B正确；当位移为零时，物体回到了抛出点，故C错误；上抛和下落两个过程中，物体只受重力作用，加速度的大小相同、方向相同，故D错误。故选AB。
6.以某一初速度竖直向上抛出一个苹果，并落回手中，忽略空气阻力，以竖直向上为正方向，以下描述此过程的v-t图像中正确是
√
因不计空气阻力，加速度恒定，设其初速度为v0，根据匀变速直线运动规律，由题意有v＝v0－gt，可知其图像为直线且斜率为负。故选C。
7.(2025·河南许昌高一上学期期末)如图所示，一篮球从离地H高度
处A从静止开始下落，与水平地面发生碰撞后反弹至离地h的最高
处B(H＞h)。不计空气阻力。设篮球从A运动到地面的过程中，加
速度大小为a1、运动时间为t1、与地面碰前瞬间的速度大小为v1；
篮球再从地面反弹到B的过程中，加速度大小为a2、运动时间为t2、
反弹后瞬间的速度大小为v2。则下列关系正确的是
A.a1＝a2，t1＝t2，v1＝v2 B.a1＞a2，t1＞t2，v1＞v2
C.a1＜a2，t1＜t2，v1＜v2 D.a1＝a2，t1＞t2，v1＞v2
√
篮球仅受重力作用，加速度保持不变，即a1＝a2，根据H＝a1，h＝a2，可得t1＞t2，根据v1＝a1t1，v2＝a2t2，可得v1＞v2。故选D。
8.以8 m/s的初速度从地面竖直上抛一石子，该石子两次经过小树顶端的时间间隔为0.8 s，g取10 m/s2，则小树高约为
A.0.8 m B.1.6 m
C.2.4 m D.3.2 m
√
石子竖直上升的最大高度为H＝＝3.2 m，由题意可知，石子从最高点运动到小树顶端的时间为t1＝＝0.4 s，则最高点到小树顶端的距离为h1＝g＝0.8 m，则小树高约为h＝H－h1＝2.4 m。故选C。
9.(2025·河北邯郸高一上学期期末)将小钢球以3 m/s的速度竖直向上抛出，一段时间后落回抛出点。设竖直向上为正方向，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。小钢球运动过程中，下列说法正确的是
A.前0.2 s内的平均速度为1.0 m/s
B.前0.4 s内的平均速度为2.0 m/s
C.前0.4 s内的平均速率为1.25 m/s
D.最后0.2 s内的平均速度为2.0 m/s
√
小钢球做竖直上抛运动，位移x＝v0t－gt2，平均速度＝，代入数据解得，前0.2 s内的平均速度为2.0 m/s，前0.4 s内的平均速度为
1.0 m/s，故A、B错误；小钢球从抛出到最高点所需时间t1＝＝0.3 s，上升的最大高度h＝＝0.45 m，在0.3 s～0.4 s向下运动，位移x1＝g＝0.05 m，故前0.4 s内的路程为s＝h＋x1＝0.5 m，平均速率为'＝＝1.25 m/s，故C正确；最后0.2 s内小钢球向下运动，平均速度为负值，故D错误。故选C。
10.如图所示，鱼儿从水下一定深度由静止以大小为的加速度加速上升至水面，跃出后离水面的最大高度为h。假设鱼儿的整个运动过程为直线运动，不计空气阻力，重力加速度为g，则鱼儿开始时所在的深度为
A.2h B.h
C.h D.4h
√
设鱼儿出水瞬间的速度为v，鱼儿在水下时，有v2＝2·h1，鱼儿在水面上时，有v2＝2gh，解得h1＝2h，即鱼儿开始时所在的深度为2h。故
选A。
11.(2025·广西来宾高一上学期期末)自O点给小球一竖直向上的初速度做竖直上抛运动，小球途经P点和A点，A点为最高点。其中小球两次经过P点的时间间隔为T1，小球从离开O点至又落回到O点的时间为T2。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则O、P间的距离为
A.g B.g
C.g D.g
√
小球做竖直上抛运动，根据运动的对称性可得xAO＝g＝g，xAP＝g＝g，则O、P间的距离为xOP＝xAO－xAP＝g。故选A。
12.(10分)如图所示，一个小孩在公园里玩“眼疾手快”游戏。游戏者需接住从支架顶部随机落下的圆棒。已知支架顶部距离地面2.3 m，圆棒长0.4 m，小孩站在支架旁边，手能触及所有圆棒的下落轨迹的某一段范围AB，上边界A距离地面1.1 m，下边界B距离地面0.5 m。不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)圆棒下落到上边界A所用的时间t1；
答案：0.4 s
圆棒底部距离上边界A的高度h1＝2.3 m－0.4 m－1.1 m＝0.8 m
圆棒做自由落体运动下落到上边界A的过程，有h1＝g
代入数据解得t1＝0.4 s。
(2)圆棒通过AB所用的时间t2。
答案：0.2 s
圆棒顶端到下边界B的高度h3＝2.3 m－0.5 m＝1.8 m
圆棒顶端离开下边界B的时间t'＝＝0.6 s
故圆棒通过AB所用的时间t2＝t'－t1＝0.2 s。
13.(16分)(2025·山东潍坊高一上学期期末)某校高一课外活动小组自制了一枚水火箭，水火箭发射后在竖直方向运动，水火箭向下喷水时，水火箭向上做加速度大小为5 m/s2的匀加速直线运动。水火箭经过4 s喷水结束，一段时间后水火箭落回到地面。忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)上升过程中水火箭的最大速度大小；
答案：20 m/s
上升过程中水火箭的最大速度大小为v1＝at1＝20 m/s。
(2)水火箭离地面的最大高度；
答案：60 m
水火箭向上做匀加速直线运动的位移为
x1＝a＝×5×42 m＝40 m
水火箭向上做匀减速直线运动的位移为
x2＝＝ m＝20 m
水火箭离地面的最大高度为x＝x1＋x2＝60 m。
(3)从喷水结束到落回地面水火箭运动的时间。
答案： (2＋2) s
水火箭向上做匀减速直线运动的时间为
t2＝＝2 s
从最高点到落回地面运动过程中，有x＝g
解得t3＝2 s
从喷水结束到落回地面水火箭运动的时间为
t＝t2＋t3＝(2＋2) s。
返回
谢 谢 观 看
素养提升课三　
自由落体与竖直上抛运动

展开更多......

收起↑