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5. 共点力的平衡
【素养目标】　1.了解生活中的平衡现象，知道什么是平衡状态。2.理解共点力的概念及共点力的平衡条件。3.学会用共点力的平衡条件分析生活和生产中的实际问题。
知识点一　共点力的平衡条件
【情境导入】　如图所示，飞来石独自静止于悬崖之上。
(1)飞来石受哪些力的作用？
(2)这些力的大小、方向有何关系？它们的合力有何特点？
提示：(1)受重力和悬崖对它的作用力。
(2)重力方向竖直向下、悬崖对它的作用力方向竖直向上，二力等大、反向，合力为零。
【基础梳理】
1.平衡状态：物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。
2.共点力平衡的条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。
【师生互动】　一灯泡吊在天花板下，现用另一水平细绳将灯泡拉到图示位置，灯泡静止。
任务1.此时灯泡受几个力的作用？
任务2.试根据二力平衡条件，推导说明：若一个物体受三个力作用而处于平衡状态，则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系？
任务3.上面探究的结论是否可以推广到多个力的平衡？
提示：任务1.受重力和两根细绳的拉力共三个力的作用。
任务2.如图所示，灯泡受三个力的作用，将F1和F2合成，可以发现F1和F2的合力与重力G满足二力平衡，所以三个力平衡，则其中一个力与另外两个力的合力必定大小相等、方向相反。
任务3.可以。若物体受多个力的作用而处于平衡状态，则这些力中的某一个力一定与其余力的合力大小相等、方向相反。
【探究归纳】
1.共点力平衡条件的理解
合力等于0，即F合＝0→正交分解法表示，其中分别表示物体在x轴方向和y轴方向所受的合力。
2.共点力平衡条件的推论
注意：在分析问题时，“静止”和“v＝0”不是一回事。
v＝0
物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小。
答案：(1)10 N　水平向左　(2)10 N
解析：(1)五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左。
(2)若将F1转过90°得到F1′，则F1′与其余四个力的合力F垂直，F合＝ N＝10 N。
针对练. (2026·河南郑州高一期中)下列物体处于平衡状态的是(　　)
A．上抛的小球在最高点
B．漂浮在水中的杯子
C．做自由落体运动的石块
D．沿斜面加速下滑的木块
答案：B
解析：上抛的小球在最高点，小球的加速度为重力加速度，不是处于平衡状态，故A错误；漂浮在水中的杯子受到的重力与浮力平衡，处于平衡状态，故B正确；做自由落体运动的石块，石块的加速度为重力加速度，不是处于平衡状态，故C错误；沿斜面加速下滑的木块的加速度沿斜面向下，不是处于平衡状态，故D错误。
知识点二　解决共点力平衡问题的几种方法
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡时，将其中的任意两个力合成，其合力一定与第三个力平衡，从而把三力平衡问题转化为二力平衡问题
分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，则每个方向上的一对力大小相等、方向相反，从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题
正交 分解法 物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡时，将物体所受的各个力均沿两个互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列平衡方程。此时平衡条件可表示为：Fx合＝0，Fy合＝0
生活在河北的张老师带孩子去哈尔滨冰雪大世界游玩，在这里共享亲子时光。如图所示，小孩坐在雪橇上，小孩和雪橇总质量为30 kg，大人用与水平方向成37°斜向上大小为100 N的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速直线运动，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)雪橇与水平地面间的摩擦力大小；
(2)雪橇与水平地面间的动摩擦因数。
答案：(1)80 N　(2)
解析：(1)对小孩和雪橇组成的整体受力分析如图所示
水平方向上，雪橇与水平地面间摩擦力的大小为Ff＝F cos 37°＝100×0.8 N＝80 N
(2)竖直方向有FN＝Mg－F sin 37°＝30×10 N－100×0.6 N＝240 N
又Ff＝μFN
则雪橇与水平地面间的动摩擦因数
μ＝。
变式拓展1　若把【例2】中的小孩和雪橇换成质量为500 kg的箱子，在平行于斜面的拉力F作用下，沿倾角为30°的固定斜面匀速上滑。已知箱子与斜面间的动摩擦因数为0.3，重力加速度g取10 m/s2，则拉力F是多少？
答案：3 799 N
解析：对箱子受力分析，建立如图所示的直角坐标系
x轴方向有F－mg sin 30°－Ff＝0
y轴方向有FN－mg cos 30°＝0
又Ff＝μFN
联立以上三式得F≈3 799 N。
变式拓展2　若把【例2】中的小孩和雪橇换成质量为m的木块，木块恰好能沿倾角为θ的斜面匀速下滑。如果要将木块沿斜面匀速向上推，必须加多大的水平推力？(重力加速度为g)
答案：
解析：未施加水平推力F时，木块沿斜面匀速下滑，受力分析如图甲所示
沿斜面方向有mg sin θ＝Ff
垂直于斜面方向有FN＝mg cos θ
又Ff＝μFN
可得μ＝tan θ
对木块施加水平推力F后，木块沿斜面匀速向上运动，受力分析如图乙所示
沿斜面方向有mg sin θ＋Ff′＝F cos θ
垂直于斜面方向有
FN′＝mg cos θ＋F sin θ
又Ff′＝μFN′
联立解得F＝
知识点三　“活结”与“死结”、“定杆”与“动杆”模型
“活结”与“死结”模型
1.“活结”：可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上的弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。
2.“死结”：可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
(多选)将沙桶P用细绳系在C点，如图所示，在两沙桶中装上一定质量的沙子，沙桶(含沙子)P、Q的总质量分别为m1、m2，系统平衡时∠ACB＝90°、∠CAB＝60°，忽略滑轮的大小以及摩擦。则下列说法正确的是(　　)
A.m1∶m2＝1∶1
B.m1∶m2＝2∶1
C.若在两桶内增加相同质量的沙子，C点的位置上升
D.若在两桶内增加相同质量的沙子，C点的位置保持不变
答案：BC
解析： 以结点C为研究对象，受力分析如图所示，其中F＝m1g、FB＝m2g，由平衡条件可知FA＝Fcos 30°＝m1gcos 30°，由几何关系可知FA＝，联立解得m1∶m2＝2∶1，A错误，B正确；由以上分析可知，当沙桶(含沙子)P、Q质量的比值为2时，AC与BC保持垂直状态，C点的位置保持不变，而若在两桶内增加相同质量的沙子，则两沙桶(含沙子)质量的比值会小于2，则Q桶向下移动，C点的位置上升，C正确，D错误。故选BC。
针对练.如图所示，在水平天花板的A点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直。杆的下端有一个轻滑轮。另一根细线上端固定在该天花板的B点处，细线跨过滑轮，下端系一个重为G的物体，BO段细线与天花板的夹角为θ＝30°。系统保持静止，不计一切摩擦。下列说法中正确的是(　　)
A.细线BO对天花板的拉力大小是3G
B.a杆对滑轮的作用力大小是1.8G
C.a杆和细线对滑轮的作用力的合力大小是2G
D.a杆对滑轮的作用力大小是G
答案：D
解析：细线上的拉力处处大小相等，因此细线BO对天花板的拉力大小是G，故A错误；两段细线上拉力大小均为G，合力大小为2Gcos 60°＝G，大小等于a杆对滑轮的作用力，故B错误，D正确；a杆和细线对滑轮的作用力的合力大小是0，故C错误。故选D。
“定杆”与“动杆”模型
1.“动杆”：对于一端有转轴或有铰链的轻杆，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定是沿着轻杆的方向，否则会引起杆的转动，如图甲所示。
2.“定杆”：一端固定的轻杆(如一端“插入”墙壁或固定于地面)，杆所受到的弹力不一定沿着轻杆的方向，力的方向只能根据具体情况进行受力分析，需要根据平衡条件确定杆中弹力的大小和方向，如图乙所示。
如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG的一端H用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，重力加速度为g，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
答案：(1)　(2)见解析　(3)见解析
解析：题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，根据平衡条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取定滑轮和G点为研究对象，进行受力分析，如图1、2所示，根据平衡条件求解。
(1)图1中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g
图2中由FTEGsin 30°＝FTGF＝M2g得FTEG＝2M2g
所以＝。
(2)图1中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡条件有FNC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°角斜向右上方。
(3)图2中，根据平衡条件有FNG＝＝M2g，方向水平向右。
课时测评19　共点力的平衡
(时间：45分钟　满分：70分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－11题，每题4分，共44分)
1.(多选)下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是(　　)
A.如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B.如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C.如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向所受的合力都必为零
D.如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
答案：CD
解析： 物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，不处于平衡状态，B错误；物体处于平衡状态时，所受合力为零，物体沿任意方向所受的合力都必为零，C正确；物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态时，所受合力为零，则任意两个共点力的合力与第三个力等大、反向，D正确。故选CD。
2.一个物体受到三个共点力的作用，如果三个力的大小如下各组情况，那么有可能使物体处于平衡状态的是(　　)
A.1 N、4 N、7 N B.2 N、6 N、9 N
C.2 N、5 N、8 N D.6 N、8 N、6 N
答案：D
解析：能否使物体处于平衡状态，要看三个力的合力是否可能为零，方法是两个较小力加起来是否大于或等于最大的那个力，如果是就可能。代入题中数据可知，D项数据符合。故选D。
3.如图所示，用细绳将重为G的球挂在光滑墙上，绳与竖直墙的夹角为θ，则(　　)
A.球对墙的压力大小为Gtan θ
B.球对墙的压力大小为Gsin θ
C.绳对球的拉力大小为Gcos θ
D.球对墙的压力的方向垂直墙面向右
答案：A
解析：将球的重力按作用效果分解，如图所示，有FT＝F1＝，FN＝F2＝Gtan θ，球对墙的压力的方向垂直墙面向左。故选A。
4.(多选)如图所示，一只小松鼠站在倾斜的树枝上保持静止状态，该树枝与水平方向的夹角为30°，松鼠所受重力大小为G。则下列结论正确的是(　　)
A.树枝对松鼠的支持力大小为G，方向竖直向上
B.树枝对松鼠的支持力大小为G，方向垂直树枝向上
C.树枝对松鼠的摩擦力大小为，方向沿树枝向上
D.树枝对松鼠的作用力大小为G，方向竖直向上
答案：BC
解析：对树枝上的松鼠进行受力分析，如图所示。树枝对松鼠的支持力大小为FN＝Gcos 30°＝G，方向垂直树枝向上，故A错误，B正确；树枝对松鼠的摩擦力大小Ff＝Gsin 30°＝，方向沿树枝向上，C正确；根据平衡条件可知，树枝对松鼠的作用力与松鼠的重力等大、反向，即大小等于G，方向竖直向上，故D错误。故选BC。
5.(2025·北京市第九中学高一上学期期中)如图所示，用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中。已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°。重力加速度为g。则ac绳中的拉力大小是(　　)
A.mg B.mg
C.mg D.mg
答案：D
解析：以结点c为研究对象，受到三个拉力作用，作出受力分析，如图所示。根据几何关系和平衡条件可得，F1＝mgcos 30°＝mg。故选D。
6.如图甲所示为某篮球运动员用一只手抓住篮球使其静止在空中，其中一根手指与篮球的简化图如图乙所示。假设篮球恰好静止时，五根手指与竖直方向的夹角均为α，每根手指与篮球之间的动摩擦因数均为μ，篮球的质量为m，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.每根手指对篮球的作用力大小为
B.每根手指对篮球的摩擦力大小为
C.α减小时，手指与篮球间的压力增大
D.α取任意值，均能使篮球静止
答案：B
解析：篮球与每根手指之间存在弹力FN和摩擦力Ff，篮球恰好静止，摩擦力为最大静摩擦力，处于平衡状态，在竖直方向上，根据平衡条件可得5μFNcos α＝mg＋5FNsin α，解得FN＝，Ff＝，每根手指对篮球的作用力大小为摩擦力和弹力的合力，故A错误，B正确；根据A、B项分析可知，α减小时，手指与篮球间的压力减小，故C错误；篮球静止时，摩擦力为最大静摩擦力，α减小时，手指与篮球间的压力减小，最大静摩擦力减小，篮球可能无法保持静止，故D错误。故选B。
7.如图所示的几种情况中，不计绳、弹簧测力计、各滑轮的质量，不计一切摩擦，物体的质量都为m，且均处于静止状态，有关角度图中已标出。弹簧测力计的示数FA、FB、FC、FD由大到小的排列顺序是(　　)
A.FB＞FD＞FA＞FC B.FD＞FC＞FB＞FA
C.FD＞FB＞FA＞FC D.FC＞FD＞FB＞FA
答案：C
解析：由平衡条件知FA＝mgsin 45°＝mg，FB＝mg，FC＝mgsin 30°＝，FD＝＞mg。故选C。
8.如图所示，水平横梁一端插在墙壁内，另一端装一光滑小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝20 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg)(　　)
A.100 N B.100 N
C.200 N D.200 N
答案：C
解析：如图所示，以滑轮为研究对象，悬挂重物的绳的拉力大小F＝mg＝200 N，滑轮受到绳的作用力沿BC、BD方向，大小都是200 N。由几何关系得∠CBD＝120°，∠CBE＝∠DBE＝60°，即△CBE是等边三角形，则F合＝200 N。故选C。
9.如图所示，钉子A和小定滑轮B均固定在竖直墙面上，它们相隔一定距离且处于同一高度，细线的一端系有一小沙桶D(含有细沙)，另一端跨过定滑轮B与动滑轮C后固定在钉子A上。质量为m的小球E与轻质动滑轮C固定连接。初始时整个系统处于静止状态，滑轮C两侧细线的夹角为74°。现缓慢地往沙桶添加细沙，当系统再次平衡时，滑轮C两侧细线的夹角为106°。不计一切摩擦，取cos 37°＝0.8，则此过程中往沙桶D中添加的细沙质量为(　　)
A.m B.m
C.m D.m
答案：C
解析：设初始时沙桶和沙的质量为m1，再次平衡时沙桶和沙的质量为m2，则添加细沙前、后根据平衡条件有m1gcos 37°＝mg，m2gcos 53°＝mg，解得m1＝m，m2＝m，则Δm＝m2－m1＝m。故选C。
10.(2024·江西南昌高一上学期期末)如图为多功能晒衣篮，下面是直径为60 cm、质量为0.2 kg的圆形晒衣篮，由四根对称分布的轻质细绳悬挂在挂钩上，其中每根细绳长为50 cm。若将质量为3 kg的衣物放在晒衣篮里晾晒时，不考虑细绳和晒衣篮的形变，g取10 N/kg，则每根细绳上的拉力的大小是(　　)
A.8.0 N B.9.0 N
C.10.0 N D.13.3 N
答案：C
解析：由于四根对称分布的轻质细绳悬挂在挂钩上，则对其中一根细绳分析，如图所示，由几何关系有cos θ＝＝0.6，则sin θ＝＝0.8，将细绳的拉力分解可得4FTsin θ＝(M＋m)g，代入数据解得FT＝＝10.0 N。故选C。
11.(多选)如图所示，建筑装修中，工人用质量为m的磨石对斜壁进行打磨，当对磨石施加竖直向上大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动，已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则磨石受到的摩擦力大小是(　　)
A.(F－mg)sin θ B.(F－mg)cos θ
C.μ(F－mg)cos θ D.μ(F－mg)sin θ
答案：BD
解析：对磨石进行受力分析，如图所示，由于磨石沿斜壁向上做匀速运动，所以磨石受力平衡，由平衡条件得，沿斜壁方向，磨石受到推力沿斜壁向上的分力、重力沿斜壁向下的分力以及沿斜壁向下的摩擦力，所以有Fcos θ＝mgcos θ＋Ff ，解得Ff＝(F－mg)cos θ；垂直于斜壁方向，磨石受到重力垂直斜壁向下的分力、推力垂直斜壁向上的分力以及斜壁的支持力，所以有 FN＋mgsin θ＝Fsin θ，解得FN＝(F－mg)sin θ ，又Ff＝μFN＝μ(F－mg)sin θ ，所以Ff＝(F－mg)cos θ或Ff＝μ(F－mg)sin θ。故选BD。
12. (12分)同学们都有过擦黑板的经历。如图所示，一黑板擦(可视为质点)的质量为m＝0.2 kg，当手臂对黑板擦的作用力F＝10 N且F与黑板表面所成角度为53°时，黑板擦恰好沿黑板表面匀速竖直向上擦黑板。(重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)求黑板擦与黑板间的动摩擦因数μ；
(2)若手臂对黑板擦作用力的方向保持不变，当手臂对黑板擦作用力多大时能完成向下匀速擦黑板的任务？
(3)比较以上两种情况，试判断哪次黑板擦得更干净，说明理由。
答案：(1)0.5　(2)2 N　(3)见解析
解析：(1)当黑板擦匀速向上滑动时，受力分析如图甲所示，根据共点力的平衡条件可知
水平方向有FN＝F sin 53°
竖直方向有F cos 53°＝Ff＋mg
又Ff＝μFN
联立解得μ＝0.5，Ff＝4 N。
(2)在黑板擦匀速向下擦的过程中，以黑板擦为研究对象进行受力分析，如图乙所示
水平方向有FN′＝F′sin 53°
竖直方向有F′cos 53°＋Ff′＝mg
又Ff′＝μFN′
联立解得F′＝2 N，Ff′＝0.8 N。
(3)由(1)(2)可知，黑板擦匀速向上滑动时的摩擦力比匀速向下滑动时的摩擦力更大，擦得更干净。
13.(14分)(2025·湖南长沙一中高一上学期期中)如图所示，质量为m＝1 kg的木块放在倾角θ＝37°的斜面上，斜面固定在地面上，给木块一沿斜面向下的初速度，木块恰能沿斜面匀速下滑。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 N/kg)
(1)求斜面对木块的支持力大小；
(2)求木块与斜面间的动摩擦因数；
(3)用沿斜面向上的推力F推木块，使木块匀速上滑，求推力F的大小。
答案：(1)8 N　 (2)0.75　(3)12 N
解析：(1)对木块受力分析，垂直于斜面方向有FN＝mgcos θ
解得斜面对木块的支持力大小为FN＝8 N。
(2)木块恰能沿斜面匀速下滑，沿斜面方向，由平衡条件有mgsin θ＝μmgcos θ
解得木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.75。
(3)木块匀速上滑，对木块受力分析，由平衡条件有F＝mgsin θ＋μmgcos θ，解得推力F＝12 N。(共62张PPT)
5.共点力的平衡
　　　　
第三章　相互作用——力
1.了解生活中的平衡现象，知道什么是平衡状态。
2.理解共点力的概念及共点力的平衡条件。
3.学会用共点力的平衡条件分析生活和生产中的实际问题。
素养目标
知识点一　共点力的平衡条件
1
知识点二　解决共点力平衡问题的几种方法
2
课时测评
4
内容索引
知识点三　“活结”与“死结”、“定杆”与“动杆”模型
3
知识点一　共点力的平衡条件
情境导入　如图所示，飞来石独自静止于悬崖之上。
(1)飞来石受哪些力的作用？
提示：受重力和悬崖对它的作用力。
自主学习
(2)这些力的大小、方向有何关系？它们的合力有何特点？
提示：重力方向竖直向下、悬崖对它的作用力方向竖直向上，二力等大、反向，合力为零。
基础梳理
1.平衡状态：物体受到几个力作用时，如果保持静止或__________运动状态，我们就说这个物体处于__________。
2.共点力平衡的条件：在共点力作用下物体平衡的条件是_________。
匀速直线
平衡状态
合力为0
师生互动　一灯泡吊在天花板下，现用另一水平细绳将灯泡拉到图示位置，灯泡静止。
任务1.此时灯泡受几个力的作用？
提示：受重力和两根细绳的拉力共三个力的作用。
课堂探究
任务2.试根据二力平衡条件，推导说明：若一个物体受
三个力作用而处于平衡状态，则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系？
提示：如图所示，灯泡受三个力的作用，将F1和F2合成，
可以发现F1和F2的合力与重力G满足二力平衡，所以三个
力平衡，则其中一个力与另外两个力的合力必定大小相等、
方向相反。
任务3.上面探究的结论是否可以推广到多个力的平衡？
提示：可以。若物体受多个力的作用而处于平衡状态，则这些力中的某一个力一定与其余力的合力大小相等、方向相反。
1.共点力平衡条件的理解
合力等于0，即F合＝0→正交分解法表示，其中分别表示物体在x轴方向和y轴方向所受的合力。
探究归纳
2.共点力平衡条件的推论
注意：在分析问题时，“静止”和“v＝0”不是一回事。
v＝0
探究归纳
物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的
合力的大小和方向；
例1
五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左。
答案： 10 N　水平向左
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小。
若将F1转过90°得到F1′，则F1′与其余四个力的合力F垂直，F合＝ N＝10 N。
答案： 10 N
针对练.(2026·河南郑州高一期中)下列物体处于平衡状态的是
A．上抛的小球在最高点
B．漂浮在水中的杯子
C．做自由落体运动的石块
D．沿斜面加速下滑的木块
√
上抛的小球在最高点，小球的加速度为重力加速度，不是处于平衡状态，故A错误；漂浮在水中的杯子受到的重力与浮力平衡，处于平衡状态，故B正确；做自由落体运动的石块，石块的加速度为重力加速度，不是处于平衡状态，故C错误；沿斜面加速下滑的木块的加速度沿斜面向下，不是处于平衡状态，故D错误。
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知识点二　解决共点力平衡问题的几种方法
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡时，将其中的任意两个力合成，其合力一定与第三个力平衡，从而把三力平衡问题转化为二力平衡问题
分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解，则每个方向上的一对力大小相等、方向相反，从而把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题
正交 分解法 物体在三个或三个以上的共点力作用下处于平衡时，将物体所受的各个力均沿两个互相垂直的方向上分解，然后分别在这两个方向上列平衡方程。此时平衡条件可表示为：Fx合＝0，Fy合＝0
生活在河北的张老师带孩子去哈尔滨冰雪大世界游玩，在这里共享亲子时光。如图所示，小孩坐在雪橇上，小孩和雪橇总质量为30 kg，大人用与水平方向成37°斜向上大小为100 N的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速直线运动，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)雪橇与水平地面间的摩擦力大小；
答案：80N　
例2
对小孩和雪橇组成的整体受力分析如图所示
水平方向上，雪橇与水平地面间摩擦力的大小
为Ff＝F cos 37°＝100×0.8 N＝80 N
(2)雪橇与水平地面间的动摩擦因数。
答案：
竖直方向有FN＝Mg－F sin 37°＝30×10 N－100×0.6 N＝240 N
又Ff＝μFN
则雪橇与水平地面间的动摩擦因数
μ＝。
变式拓展.若把【例2】中的小孩和雪橇换成质量为500 kg的箱子，在平行于斜面的拉力F作用下，沿倾角为30°的固定斜面匀速上滑。已知箱子与斜面间的动摩擦因数为0.3，重力加速度g取10 m/s2，则拉力F是多少？
答案：3 799 N
对箱子受力分析，建立如图所示的直角坐标系
x轴方向有F－mg sin 30°－Ff＝0
y轴方向有FN－mg cos 30°＝0
又Ff＝μFN
联立以上三式得F≈3 799 N。
变式拓展2.若把【例2】中的小孩和雪橇换成质量为m的木块，木块恰好能沿倾角为θ的斜面匀速下滑。如果要将木块沿斜面匀速向上推，必须加多大的水平推力？(重力加速度为g)
答案：
未施加水平推力F时，木块沿斜面匀速下滑，受力分析如图甲所示
沿斜面方向有mg sin θ＝Ff
垂直于斜面方向有FN＝mg cos θ
又Ff＝μFN
可得μ＝tan θ
对木块施加水平推力F后，木块沿斜面匀速向上运动，受力分析如图乙所示
沿斜面方向有mg sin θ＋Ff′＝F cos θ
垂直于斜面方向有
FN′＝mg cos θ＋F sin θ
又Ff′＝μFN′
联立解得F＝
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知识点三　“活结”与“死结”、“定杆”与“动杆”模型
角度1 “活结”与“死结”模型
1.“活结”：可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上的弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线。
2.“死结”：可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
(多选)将沙桶P用细绳系在C点，如图所示，在两沙桶中装上一定质量的沙子，沙桶(含沙子)P、Q的总质量分别为m1、m2，系统平衡时∠ACB＝90°、∠CAB＝60°，忽略滑轮的大小以及摩擦。则下列说法正确的是
A.m1∶m2＝1∶1
B.m1∶m2＝2∶1
C.若在两桶内增加相同质量的沙子，
C点的位置上升
D.若在两桶内增加相同质量的沙子，
C点的位置保持不变
例3
√
√
以结点C为研究对象，受力分析如图所示，其中F＝m1g、
FB＝m2g，由平衡条件可知FA＝Fcos 30°＝m1gcos 30°，
由几何关系可知FA＝，联立解得m1∶m2＝2∶1，
A错误，B正确；由以上分析可知，当沙桶(含沙子)P、Q
质量的比值为2时，AC与BC保持垂直状态，C点的位置保持不变，而若在两桶内增加相同质量的沙子，则两沙桶(含沙子)质量的比值会小于2，则Q桶向下移动，C点的位置上升，C正确，D错误。故选BC。
针对练.如图所示，在水平天花板的A点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直。杆的下端有一个轻滑轮。另一根细线上端固定在该天花板的B点处，细线跨过滑轮，下端系一个重为G的物体，BO段细线与天花板的夹角为θ＝30°。系统保持静止，不计一切摩擦。下列说法中正确的是
A.细线BO对天花板的拉力大小是3G
B.a杆对滑轮的作用力大小是1.8G
C.a杆和细线对滑轮的作用力的合力大小是2G
D.a杆对滑轮的作用力大小是G
√
细线上的拉力处处大小相等，因此细线BO对天花板的拉力大小是G，故A错误；两段细线上拉力大小均为G，合力大小为2Gcos 60°＝G，大小等于a杆对滑轮的作用力，故B错误，D正确；a杆和细线对滑轮的作用力的合力大小是0，故C错误。故选D。
角度2 “定杆”与“动杆”模型
1.“动杆”：对于一端有转轴或有铰链的轻杆，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定是沿着轻杆的方向，否则会引起杆的转动，如图甲所示。
2.“定杆”：一端固定的轻杆(如一端“插入”墙壁或固定于地面)，杆所受到的弹力不一定沿着轻杆的方向，力的方向只能根据具体情况进行受力分析，需要根据平衡条件确定杆中弹力的大小和方向，如图乙所示。
如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG的一端H用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，重力加速度为g，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
答案：
例4
题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，根据平衡条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取定滑轮和G点为研究对象，进行受力分析，如图1、2所示，根据平衡条件求解。
图1中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g
图2中由FTEGsin 30°＝FTGF＝M2g得
FTEG＝2M2g
所以＝。
(2)轻杆BC对C端的支持力；
题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，根据平衡条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取定滑轮和G点为研究对象，进行受力分析，如图1、2所示，根据平衡条件求解。
图1中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡条件有FNC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°角斜向右上方。
(3)轻杆HG对G端的支持力。
题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，根据平衡条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取定滑轮和G点为研究对象，进行受力分析，如图1、2所示，根据平衡条件求解。
图2中，根据平衡条件有FNG＝＝M2g，方向水平向右。
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课堂回眸
课时测评
1.(多选)下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是
A.如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B.如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C.如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向所受的合力都必为零
D.如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
√
√
物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，不处于平衡状态，B错误；物体处于平衡状态时，所受合力为零，物体沿任意方向所受的合力都必为零，C正确；物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态时，所受合力为零，则任意两个共点力的合力与第三个力等大、反向，D正确。故选CD。
2.一个物体受到三个共点力的作用，如果三个力的大小如下各组情况，那么有可能使物体处于平衡状态的是
A.1 N、4 N、7 N B.2 N、6 N、9 N
C.2 N、5 N、8 N D.6 N、8 N、6 N
√
能否使物体处于平衡状态，要看三个力的合力是否可能为零，方法是两个较小力加起来是否大于或等于最大的那个力，如果是就可能。代入题中数据可知，D项数据符合。故选D。
3.如图所示，用细绳将重为G的球挂在光滑墙上，绳与竖直墙的夹角
为θ，则
A.球对墙的压力大小为Gtan θ
B.球对墙的压力大小为Gsin θ
C.绳对球的拉力大小为Gcos θ
D.球对墙的压力的方向垂直墙面向右
√
将球的重力按作用效果分解，如图所示，有FT＝F1＝，
FN＝F2＝Gtan θ，球对墙的压力的方向垂直墙面向左。故
选A。
4.(多选)如图所示，一只小松鼠站在倾斜的树枝上保持静
止状态，该树枝与水平方向的夹角为30°，松鼠所受重力
大小为G。则下列结论正确的是
A.树枝对松鼠的支持力大小为G，方向竖直向上
B.树枝对松鼠的支持力大小为G，方向垂直树枝向上
C.树枝对松鼠的摩擦力大小为，方向沿树枝向上
D.树枝对松鼠的作用力大小为G，方向竖直向上
√
√
对树枝上的松鼠进行受力分析，如图所示。树枝对松鼠
的支持力大小为FN＝Gcos 30°＝G，方向垂直树枝向
上，故A错误，B正确；树枝对松鼠的摩擦力大小Ff＝
Gsin 30°＝，方向沿树枝向上，C正确；根据平衡条件可知，树枝对松鼠的作用力与松鼠的重力等大、反向，即大小等于G，方向竖直向上，故D错误。故选BC。
5.(2025·北京市第九中学高一上学期期中)如图所示，用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中。已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°。重力加速度为g。则ac绳中的拉力大小是
A.mg B.mg C.mg D.mg
√
以结点c为研究对象，受到三个拉力作用，作出受力分
析，如图所示。根据几何关系和平衡条件可得，F1＝
mgcos 30°＝mg。故选D。
6.如图甲所示为某篮球运动员用一只手抓住篮球使其静止在空中，其中一根手指与篮球的简化图如图乙所示。假设篮球恰好静止时，五根手指与竖直方向的夹角均为α，每根手指与篮球之间的动摩擦因数均为μ，篮球的质量为m，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是
A.每根手指对篮球的作用力大小为
B.每根手指对篮球的摩擦力大小为
C.α减小时，手指与篮球间的压力增大
D.α取任意值，均能使篮球静止
√
篮球与每根手指之间存在弹力FN和摩擦力Ff，篮
球恰好静止，摩擦力为最大静摩擦力，处于平衡
状态，在竖直方向上，根据平衡条件可得5μFNcos
α＝mg＋5FNsin α，解得FN＝，Ff＝
，每根手指对篮球的作用力大小为摩擦力和弹力的合力，故A错误，B正确；根据A、B项分析可知，α减小时，手指与篮球间的压力减小，故C错误；篮球静止时，摩擦力为最大静摩擦力，α减小时，手指与篮球间的压力减小，最大静摩擦力减小，篮球可能无法保持静止，故D错误。故选B。
7.如图所示的几种情况中，不计绳、弹簧测力计、各滑轮的质量，不计一切摩擦，物体的质量都为m，且均处于静止状态，有关角度图中已标出。弹簧测力计的示数FA、FB、FC、FD由大到小的排列顺序是
A.FB＞FD＞FA＞FC B.FD＞FC＞FB＞FA
C.FD＞FB＞FA＞FC D.FC＞FD＞FB＞FA
√
由平衡条件知FA＝mgsin 45°＝mg，FB＝mg，FC＝mgsin 30°＝，FD＝＞mg。故选C。
8.如图所示，水平横梁一端插在墙壁内，另一端装一光滑小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝20 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力大小为(g取10 N/kg)
A.100 N B.100 N
C.200 N D.200 N
√
如图所示，以滑轮为研究对象，悬挂重物的绳的拉力大小F
＝mg＝200 N，滑轮受到绳的作用力沿BC、BD方向，大小都
是200 N。由几何关系得∠CBD＝120°，∠CBE＝∠DBE＝
60°，即△CBE是等边三角形，则F合＝200 N。故选C。
9.如图所示，钉子A和小定滑轮B均固定在竖直墙面上，
它们相隔一定距离且处于同一高度，细线的一端系有
一小沙桶D(含有细沙)，另一端跨过定滑轮B与动滑轮
C后固定在钉子A上。质量为m的小球E与轻质动滑轮
C固定连接。初始时整个系统处于静止状态，滑轮C两侧细线的夹角为74°。现缓慢地往沙桶添加细沙，当系统再次平衡时，滑轮C两侧细线的夹角为106°。不计一切摩擦，取cos 37°＝0.8，则此过程中往沙桶D中添加的细沙质量为
A.m B.m C.m D.m
√
设初始时沙桶和沙的质量为m1，再次平衡时沙桶和沙的质量为m2，则添加细沙前、后根据平衡条件有m1gcos 37°＝mg，m2gcos 53°＝mg，解得m1＝m，m2＝m，则Δm＝m2－m1＝m。故选C。
10.(2024·江西南昌高一上学期期末)如图为多功能晒衣篮，下
面是直径为60 cm、质量为0.2 kg的圆形晒衣篮，由四根对称
分布的轻质细绳悬挂在挂钩上，其中每根细绳长为50 cm。
若将质量为3 kg的衣物放在晒衣篮里晾晒时，不考虑细绳和
晒衣篮的形变，g取10 N/kg，则每根细绳上的拉力的大小是
A.8.0 N B.9.0 N
C.10.0 N D.13.3 N
√
由于四根对称分布的轻质细绳悬挂在挂钩上，则对其中一根细绳分析，如图所示，由几何关系有cos θ＝＝0.6，则sin θ＝＝0.8，将细绳的拉力分解可得4FTsin θ＝(M＋m)g，代入数据解得FT＝＝10.0 N。故选C。
11.(多选)如图所示，建筑装修中，工人用质量为m的磨石对斜壁进行打磨，当对磨石施加竖直向上大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动，已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则磨石受到的摩擦力大小是
A.(F－mg)sin θ B.(F－mg)cos θ
C.μ(F－mg)cos θ D.μ(F－mg)sin θ
√
√
对磨石进行受力分析，如图所示，由于磨石沿斜壁向上做
匀速运动，所以磨石受力平衡，由平衡条件得，沿斜壁方
向，磨石受到推力沿斜壁向上的分力、重力沿斜壁向下的
分力以及沿斜壁向下的摩擦力，所以有Fcos θ＝mgcos θ＋
Ff ，解得Ff＝(F－mg)cos θ；垂直于斜壁方向，磨石受到重力垂直斜壁向下的分力、推力垂直斜壁向上的分力以及斜壁的支持力，所以有 FN＋mgsin θ＝Fsin θ，解得FN＝(F－mg)sin θ ，又Ff＝μFN＝μ(F－mg)sin θ ，所以Ff＝(F－mg)cos θ或Ff＝μ(F－mg)sin θ。故选BD。
12.(12分)同学们都有过擦黑板的经历。如图所示，一黑板擦(可视为质点)的质量为m＝0.2 kg，当手臂对黑板擦的作用力F＝10 N且F与黑板表面所成角度为53°时，黑板擦恰好沿黑板表面匀速竖直向上擦黑板。(重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)求黑板擦与黑板间的动摩擦因数μ；
答案：0.5
当黑板擦匀速向上滑动时，受力分析如图甲所示，根据共点力的平衡条件可知
水平方向有FN＝F sin 53°
竖直方向有F cos 53°＝Ff＋mg
又Ff＝μFN
联立解得μ＝0.5，Ff＝4 N。
(2)若手臂对黑板擦作用力的方向保持不变，当手臂对黑板擦作用力多大时能完成向下匀速擦黑板的任务？
答案：2 N
在黑板擦匀速向下擦的过程中，以黑板擦为研究对象进行受力分析，如图乙所示
水平方向有FN′＝F′sin 53°
竖直方向有F′cos 53°＋Ff′＝mg
又Ff′＝μFN′
联立解得F′＝2 N，Ff′＝0.8 N。
(3)比较以上两种情况，试判断哪次黑板擦得更干净，说明理由。
答案：见解析
由(1)(2)可知，黑板擦匀速向上滑动时的摩擦力比匀速向下滑动时的摩擦力更大，擦得更干净。
13.(14分)(2025·湖南长沙一中高一上学期期中)如图所示，
质量为m＝1 kg的木块放在倾角θ＝37°的斜面上，斜面
固定在地面上，给木块一沿斜面向下的初速度，木块恰
能沿斜面匀速下滑。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g
＝10 N/kg)
(1)求斜面对木块的支持力大小；
答案：8 N
对木块受力分析，垂直于斜面方向有FN＝mgcos θ
解得斜面对木块的支持力大小为FN＝8 N。
(2)求木块与斜面间的动摩擦因数；
答案：0.75
木块恰能沿斜面匀速下滑，沿斜面方向，由平衡条件有mgsin θ＝μmgcos θ
解得木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.75。
(3)用沿斜面向上的推力F推木块，使木块匀速上滑，求推力F的大小。
答案：12 N
木块匀速上滑，对木块受力分析，由平衡条件有F＝mgsin θ＋μmgcos θ，解得推力F＝12 N。
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5. 共点力的平衡

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