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3．动量守恒定律
【素养目标】　1．理解动量守恒定律的内容及守恒条件，会判断系统动量是否守恒。2．能运用动量定理和牛顿第三定律导出动量守恒的表达式。3．了解动量守恒定律的普适性和牛顿运动定律适用范围的局限性。4．能用动量守恒定律解决生活中的问题。
知识点一　 动量守恒定律
【情境导入】如图所示，甲、乙两人原来均静止在光滑的冰面上，甲推乙后两人往相反方向滑去。
(1)对于两人组成的系统，甲推乙的力是内力还是外力？
(2)甲推乙前，两人的动量大小、方向有什么关系？两人的总动量为多少？
(3)甲推乙后，两人的动量大小、方向有什么关系？两人的总动量为多少？
提示：(1)内力　 (2)都是0 　0　 (3)大小相等、方向相反　0
【基础梳理】
1．系统、内力和外力
(1)系统：由两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称系统。
(2)内力：系统中物体间的作用力，叫作内力。
(3)外力：系统以外的物体施加给系统内物体的力，叫作外力。
2．动量守恒定律
(1)内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变。
(2)表达式：m1v1′＋m2v2′＝m1v1＋m2v2。
(3)适用条件：系统不受外力或者所受外力的矢量和为0。
【师生互动】　如图甲所示，光滑水平面上质量分别为m1、m2的物体A、B，沿同一直线向同一方向运动，速度分别为v1和v2，且v2＞v1，碰后A、B的速度分别为v1′、v2′。
任务1．试应用动量定理和牛顿第三定律推导两个物体碰撞后的动量之和与碰撞前的动量之和有什么关系？由推导结果得到什么结论？
任务2．如图乙所示，小车A、B静止在光滑水平面上，烧断细线后，两小车受弹簧弹力的作用而运动，A、B组成的系统动量守恒吗？
任务3．如图丙所示，速度为v0的物体滑上光滑水平面上的小车。物体与小车组成的系统动量守恒吗？
提示：任务1．设碰撞过程中B对A的作用力为F1，A对B的作用力为F2，碰撞时间为Δt
对物体A由动量定理得F1Δt＝m1v1′－m1v1
对物体B由动量定理得F2Δt＝m2v2′－m2v2
又由牛顿第三定律知F1＝－F2
故有m1v1′－m1v1＝－(m2v2′－m2v2)
即m1v1′＋m2v2′＝m1v1＋m2v2。
结论：(1)两个物体碰撞后的动量之和等于碰撞前的动量之和。
(2)两个碰撞的物体在所受外部对它们的作用力的矢量和为0的情况下动量守恒。
任务2．烧断细线后，系统所受外力的合力为零，系统动量守恒。
任务3．物体和小车组成的系统，水平方向上合力为零，动量守恒；竖直方向上合力不为零，动量不守恒。
【探究归纳】
动量守恒条件的理解
1．理想守恒条件
(1)系统不受外力作用时，系统动量守恒。
(2)系统所受外力的矢量和为零时，系统动量守恒。
2．近似守恒条件：系统所受外力的矢量和不为零，但系统的内力远大于外力时，系统的动量可看成近似守恒。如碰撞、爆炸等现象。
3．分方向守恒条件：系统所受外力的矢量和不为零，则系统的总动量不守恒，若系统在某一方向上的合力为零，则在该方向上系统的动量守恒。
(多选)(2025·福建泉州高二月考)如图所示，物体A和B组成的系统在下述过程中动量守恒的是(　　)
A．图甲中，在光滑水平面上，物块B以初速度v0滑上上表面粗糙的静止长木板A
B．图乙中，在光滑水平面上，物块B以初速度v0滑下靠在墙边的表面光滑的斜面A
C．图丙中，在光滑水平面上，小球A以初速度v0与小球B发生碰撞后粘在一起
D．图丁中，在光滑水平面上，小球A以初速度v0滑上表面光滑的圆弧轨道B
答案：AC
解析：题图甲中，在光滑水平面上，物块B以初速度v0滑上上表面粗糙的静止长木板A的过程中，A和B组成的系统所受的合力为零，系统的动量守恒；题图乙中，在光滑水平面上，物块B以初速度v0滑下靠在墙边的表面光滑的斜面A的过程中，斜面A始终受到墙壁的弹力作用，A和B组成的系统所受的合力不为零，系统的动量不守恒；题图丙中，在光滑水平面上，小球A以初速度v0与小球B发生碰撞后粘在一起的过程中，A和B组成的系统所受的合力为零，系统的动量守恒；题图丁中，在光滑水平面上，小球A以初速度v0滑上表面光滑的圆弧轨道B，A和B组成的系统所受的合力不为零，系统的动量不守恒。故选AC。
系统动量是否守恒的判定方法
1．选定研究对象及研究过程，分清外力与内力。
2．分析系统受到的外力的矢量和是否为零，若外力的矢量和为零，则系统动量守恒；若外力在某一方向上合力为零，则在该方向上系统动量守恒。系统动量严格守恒的情况很少，在分析具体问题时要注意把实际过程理想化。　　
3．除了利用动量守恒条件判定外，还可以通过实际过程中系统各物体各方向上总动量是否保持不变来进行直观地判定。
针对练1．(多选)(2025·陕西西安高二期中) 如图所示，光滑水平面上两小车中间夹一压缩的轻弹簧，两手分别按住小车，使它们静止，对两车及弹簧组成的系统，下列说法正确的是(　　)
A．两手同时放开后，系统的总动量始终为零
B．先放开左手，后放开右手，总动量向左
C．先放开左手，后放开右手，总动量向右
D．无论何时放手，只要两手放开后在弹簧恢复原长的过程中，系统的总动量都保持不变，但系统的总动量不一定为零
答案：ABD
解析：当两手同时放开时，系统所受合力为零，所以系统动量守恒，又因为开始时总动量为零，故系统的总动量始终为零，A正确；先放开左手，后放开右手，放开右手时左边小车的动量方向向左，此后系统所受合力为零，系统动量守恒，则系统的总动量向左，B、D正确，C错误。故选ABD。
针对练2．(多选) 如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽上高h处由静止开始自由下滑，则(　　)
A．在小球下滑的过程中，小球和槽组成的系统水平方向动量守恒
B．在小球下滑的过程中，小球和槽组成的系统动量守恒
C．小球与弹簧作用时，小球与弹簧组成的系统动量守恒
D．小球与弹簧作用时，小球与弹簧组成的系统动量不守恒
答案：AD
解析：在小球下滑的过程中，小球和槽组成的系统，在水平方向上不受力，则水平方向上动量守恒，故A正确，B错误；小球与弹簧接触后，小球与弹簧组成的系统受到墙的作用力，墙对系统的作用力是外力，则系统动量不守恒，故C错误，D正确。故选AD。
知识点二　动量守恒定律的应用
【情境导入】　如图甲为斯诺克台球比赛时选手打出的白色球撞击红色球；如图乙为人站在光滑地面上的平板车上，通过铁锤连续地敲打平板车。
(1)图甲中如果不考虑台面的摩擦，在碰撞过程中两球组成的系统的动量是否守恒？
(2)图乙中人(包括铁锤)和平板车组成的系统的动量是否守恒？图乙中的平板车在铁锤连续地敲打过程中会一直向右运动吗？
提示：(1)题图甲中两球组成的系统动量守恒。
(2)题图乙中人(包括铁锤)和平板车组成的系统动量不守恒，但是在水平方向上系统动量守恒；平板车在铁锤连续地敲打过程中不会一直向右运动，而是左右来回运动。
【基础梳理】
动量守恒定律的普适性：动量守恒定律的适用范围非常广泛，高速(接近光速)、低速、微观(小到分子、原子的尺度)、宏观领域均适用。
【师生互动】　如图所示，两位同学各自驾驶一辆游乐场碰碰车，迎面相撞后两车以共同的速度运动，设甲同学与车的总质量为120 kg，碰撞前以5 m/s的速度水平向右运动；乙同学与车的总质量为180 kg，碰撞前以4 m/s的速度水平向左运动。
任务1．碰撞过程中两车(包括驾车的同学)组成的系统的动量守恒吗？
任务2．碰撞后两车共同的运动速度大小和方向如何？
提示：任务1．两辆碰碰车(包括驾车的同学)组成的系统，在碰撞过程中的内力远大于所受的外力，外力可以忽略不计，动量近似守恒。
任务2．根据动量守恒定律得m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v，取甲同学的车碰撞前的运动方向为正方向，代入数据解得v＝－0.4 m/s，即碰撞后两车以大小为0.4 m/s的共同速度运动，运动方向水平向左。
【探究归纳】
1．动量守恒定律的常用表达式及其含义
常用表达式 含义
p＝p′或＝m1v1′＋m2v2′ 两个物体组成的系统，相互作用前的总动量等于作用后的总动量
Δp1＝－Δp2 两个物体组成的系统动量守恒，则一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量一定等大反向
Δp＝0 系统总动量的增加量为零
2．应用动量守恒定律解题的一般步骤
(1)明确研究对象，判断系统的组成。
(2)受力分析，判断动量是否守恒。
(3)规定正方向，确定初、末动量。
(4)根据动量守恒定律，建立守恒方程。
(5)代入数据，求出结果并讨论说明。
理想守恒
(2025·江苏盐城高二检测)如图所示，将甲、乙两条形磁铁隔开一段距离，静置于光滑的水平桌面上，甲的N极正对着乙的S极，甲的质量大于乙的质量。现同时释放甲和乙，在它们相互接近过程中的任一时刻(　　)
A．甲的动量大小比乙的大
B．甲的动量大小比乙的小
C．甲的速度大小比乙的大
D．甲的速度大小比乙的小
答案：D
解析：同时释放甲和乙后，对甲、乙组成的系统进行分析，系统所受外力的合力为0，系统的动量守恒，由于系统初始状态的总动量为0，可知甲、乙的动量大小相等，故A、B错误；结合AB项分析可知m甲v甲－m乙v乙＝0，由于甲的质量大于乙的质量，则有v甲近似守恒
冬季雨雪天气时，公路上容易发生交通事故。在结冰的公路上，一辆质量为1.8×103 kg的轻型货车尾随另一辆质量为1.2×103 kg的轿车同向行驶，因货车未及时刹车而发生追尾(即碰撞)，如图所示。若追尾前瞬间货车速度大小为 36 km/h，轿车速度大小为18 km/h，刚追尾后两车视为紧靠在一起，此时两车的速度为多大？
答案：28.8 km/h
解析：以两车组成的系统为研究对象，由于碰撞时间很短，碰撞过程中系统所受外力远小于系统内力，可近似认为在该碰撞过程中系统动量守恒。设货车质量为m1，轿车质量为m2，碰撞前货车速度为v1，轿车速度为v2，碰撞后两车速度为v
选定两车碰撞前的速度方向为正方向，则有
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v
代入数据解得两车的速度v＝28.8 km/h。
分方向守恒
(多选)(2026·商丘高二期末)如图所示，装有一定质量沙子的小车静止在光滑的水平面上，将一个小球从某一高度处以大小为v0的初速度水平抛出，小球落入车内并陷入沙中最终与车一起向右匀速运动。不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．小球陷入沙中越深，小车最终的速度越大
B．小球抛出时的高度越高，小车最终的速度越大
C．小球陷入沙中过程，小球和沙、车组成的系统动量不守恒，机械能不守恒
D．若小车匀速运动后车上有一缝隙漏沙子，车上沙子越来越少，车子的速度保持不变
答案：CD
解析：小球与车、沙组成的系统在水平方向动量守恒，由mv0＝(m＋M)v可知，小球陷入沙中深浅、抛出时的高低与小车最终速度v无关，故A、B错误；小球陷入沙中过程，小球在竖直方向做变速运动，系统在竖直方向所受合力不为零，因此系统动量不守恒，由于小球与沙的摩擦损失机械能，因此系统机械能不守恒，故C正确；若小车匀速运动后车上有一缝隙漏沙子，漏出的沙子做平抛运动，水平方向速度不变，根据水平方向动量守恒可知，车的速度保持不变，故D正确。
变式拓展．若整体质量为M＝4 kg的小车以v2＝7.5 m/s的速度沿光滑水平面向左匀速行驶，质量为m＝1 kg的小球从某一高度以v1＝15 m/s的初速度向右被水平抛出并落入小车中，求小球与小车相对静止后的速度(忽略空气阻力，g取10 m/s2)。
答案：3 m/s，方向水平向左
解析：小球与车在水平方向上动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律有mv1－Mv2＝(M＋m)v共，解得v共＝－3 m/s，则小球与小车相对静止后的速度大小为3 m/s，方向水平向左。
知识点三　多物体系统的多过程动量守恒问题
处理多物体系统的多过程动量守恒问题的两个关键
1．灵活选取系统：有时需应用整体系统的动量守恒，有时只需应用部分物体系统的动量守恒。
2．灵活选取过程：有时需要对全程进行分析，列相应的动量守恒表达式；有时需要分过程多次应用动量守恒定律列式，这时要注意找出联系各阶段的状态量。
动量守恒中的临界问题
如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在光滑水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为30 kg，乙和他的冰车总质量也为30 kg，游戏时甲推着一质量为 10 kg的木箱和他一起以v0＝3.5 m/s的速度向右滑行，乙在甲的正前方静止在冰面上，为避免碰撞，甲将木箱推给乙，使木箱与乙一起运动，则甲至少以相对地面多大的速度将箱子推出才能避免与乙相撞？
[审题指导]　避免甲、乙相撞的临界条件：甲推出箱子后的速度与乙接到箱子后的速度相同。
答案：8 m/s
解析：设甲至少相对地面以速度v将箱子推出，推出箱子后甲的速度为v甲，乙接到箱子后的速度为v乙。取水平向右为正方向，以甲和箱子为系统，根据动量守恒定律得
v0＝M甲v甲＋mv
以箱子和乙为系统，根据动量守恒定律得
mv＝v乙
当甲与乙恰好不相撞时v甲＝v乙
联立解得v＝8 m/s。
动量守恒定律应用中常见的临界情形
1．如图甲所示，光滑水平面上的A物体以速度v去撞击静止的B物体，A、B两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大。
2．如图乙所示，物体A以速度v0滑到静止在光滑水平面上的足够长的小车B上，当A、B两物体的速度相等(相对静止)时，A在B上滑行的距离最远。
3．如图丙所示，质量为M的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与水平面相切，一个质量为m的小球以速度v0向滑块滚来。设小球不能越过滑块，则小球到达滑块上的最高点(即小球竖直方向上的速度为零)时，两物体的速度相等，方向为水平向右。　　
针对练．如图所示，甲、乙两船的总质量(包括船、人和货物)分别为10m、12m，两船沿同一直线同一方向运动，速度分别为2v0、v0。为避免两船相撞，乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，则乙船上的人抛出货物的最小速度大小(不计水的阻力)为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．2v0 B．3v0
C．4v0 D．5v0
答案：C
解析：法一：隔离分析
设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为vmin，抛出货物后乙船的速度为v1，甲船上的人接到货物后甲船的速度为v2，取水平向右为正方向，不计水的阻力，由动量守恒定律，对乙船与货物有12mv0＝11mv1－mvmin，对甲船与货物有10m·2v0－mvmin＝11mv2，避免两船相撞的临界条件为v1＝v2，联立解得vmin＝4v0，即乙船上的人抛出货物的最小速度大小为4v0。故选C。
法二：整体分析
选甲、乙两船、人和货物整体作为系统，不计水的阻力，在水平方向上无论如何扔货物，系统均不受外力作用，系统满足动量守恒的条件，设抛出货物的最小速度为vmin，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得10m·2v0＋12mv0＝，避免两船相撞的临界条件为v1＝v2，联立化简得16mv0＝11mv1，选乙船、人和货物作为系统，由动量守恒定律得12mv0＝(12m－m)v2－mvmin，联立解得vmin＝4v0，即乙船上的人抛出货物的最小速度大小为4v0。故选C。
多物体系统多过程问题
(2026·安徽合肥期末)两块厚度相同的木块A和B，紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为mA＝2.0 kg，mB＝0.90 kg，它们的下底面光滑，上表面粗糙，另有一质量mC＝0.10 kg的滑块C，以vC＝10 m/s的速度恰好水平滑到A的上表面，如图所示，由于摩擦，滑块最后停在木块B上，B和C的共同速度为0.50 m/s，则：
(1)木块A的最终速度vA是多少？
(2)滑块C离开A时的速度vC′有多大？
答案：(1)0.25 m/s　(2)2.75 m/s
解析：(1)对于整个过程，把B、C看成一个整体，以C的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得
mCvC＝mAvA＋(mC＋mB)v′
解得vA＝0.25 m/s。
(2)对于C在A上滑行的过程，把A、B看成一个整体，以C的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mCvC＝(mA＋mB)vA＋mCvC′
解得vC′＝2.75 m/s。
知识点四　应用动量守恒定律处理爆炸类问题
【师生互动】　如图所示，一枚正在空中竖直向上飞行的火箭，突然炸裂成两块。
任务1．火箭炸裂过程的时间长短有什么特点？炸裂后两块箭体的位置与炸裂前比较是否可以认为不变？
任务2．火箭炸裂前后系统的动量是否守恒？
任务3．火箭炸裂前后系统的机械能是否守恒？系统的总动能怎样变化？
提示：任务1．极短；可以认为位置不变。
任务2．火箭炸裂过程的时间极短，火箭受到重力作用，系统所受外力不为零，但是炸裂过程系统的内力远大于外力，系统的动量近似守恒。
任务3．火箭炸裂过程中有化学能转化为动能，重力势能不变，炸裂前后系统的机械能不守恒，炸裂前后系统的总动能增大。
【探究归纳】　
爆炸类问题的三个特点
动量守恒 由于爆炸是在极短的时间内完成的，物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒
动能增加 在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸后系统的总动能增加
位置不变 爆炸的时间极短，因而作用过程中，物体产生的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动
以初速度v0与水平方向成60°角斜向上抛出的手榴弹，到达最高点时炸成质量分别为m和2m的两块。其中质量较大的一块沿着原来的方向以2v0的速度飞行。
(1)求质量较小的一块弹片速度的大小和方向；
(2)爆炸过程中有多少化学能转化为弹片的动能？
答案：(1)v0　方向与爆炸前的速度方向相反
(2)mv02
解析：(1)斜向上抛出的手榴弹运动轨迹如图所示，在水平方向上做匀速直线运动，在最高点爆炸前的速度v1＝v0cos 60°＝v0
以v1的方向为正方向，由动量守恒定律得
3mv1＝2mv1′＋mv2
其中爆炸后质量较大的弹片速度v1′＝2v0
解得v2＝－v0，“－”号表示v2的方向与爆炸前的速度方向相反。
(2)爆炸过程中转化为动能的化学能等于系统动能的增量，即ΔEk＝×2mv1′2＋mv02。
变式拓展．如果将【例7】中“其中质量较大的一块沿着原来的方向以2v0的速度飞行”改为“其中质量较小的一块沿着原来的相反方向以v0的速度飞行”。
(1)求质量较大的弹片速度的大小和方向；
(2)爆炸过程中有多少化学能转化为弹片的动能？
(3)假设手榴弹爆炸时离地高度为h，空气阻力不计，求两块弹片落地时的距离。(重力加速度为g)
答案：(1)v0　方向与爆炸前的速度方向相同
(2)mv02　(3)
解析：(1)以v1的方向为正方向，由动量守恒定律得3mv1＝2mv1″－mv2′
其中爆炸后质量较小的弹片速度大小v2′＝v0
解得v1″＝v0，方向与爆炸前的速度方向相同。
(2)爆炸过程中转化为动能的化学能等于系统动能的增量，即ΔEk′＝×2mv1″2＋mv2′2－mv02。
(3)手榴弹爆炸后两块弹片都做平抛运动，则有h＝gt2，两块弹片落地时的距离s＝v1″t＋v2′t＝。
处理爆炸问题的两点提醒
1．在处理爆炸问题列动量守恒方程时应注意：爆炸前的动量是指即将爆炸那一刻的动量，爆炸后的动量是指爆炸刚好结束那一刻的动量。
2．在爆炸过程中，系统的动量守恒，但是机械能一定不守恒，且爆炸前那一刻的机械能一定小于爆炸刚好结束那一刻的机械能。
注意：由于爆炸过程中物体的位移很小，可以忽略，故爆炸过程中物体的重力势能可以认为不变，机械能的变化体现为动能的变化。　　
针对练．一弹丸在飞行到距离地面5 m高时仅有水平速度v0＝2 m/s，爆炸成甲、乙两块水平飞出，甲、乙的质量比为3∶1，不计质量损失，重力加速度g取10 m/s2，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是(　　)
答案：B
解析：弹丸在爆炸过程中，水平方向的动量守恒，有mv0＝mv甲＋mv乙，解得4v0＝3v甲＋v乙，爆炸后两块弹片均做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，解得t＝1 s，水平方向对甲、乙两块弹片分别有x甲＝v甲t，x乙＝v乙t，联立可得8 m＝3x甲＋ x乙，代入各题图中数据可知图B中两块弹片飞行的轨迹可能正确。故选B。
课时测评3　动量守恒定律
(时间：30分钟　满分：60分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－8题，每题5分，共40分)
1．(多选)下列各图所对应的物理过程中，系统动量守恒的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
答案：AC
解析：题图甲中，子弹射入木块的过程中，系统受到的合力为零，则系统动量守恒。题图乙中，剪断细线，压缩的弹簧恢复原长的过程中，水平方向要受到竖直墙壁对M的作用，即水平方向受到的合力不为零，系统动量不守恒。题图丙中，两球匀速下降，则受到的重力和浮力的合力为零；剪断细线后，系统受到的重力和浮力不变，则系统受到的合力仍为零，系统动量守恒。题图丁中，小球从放在光滑地面上的小车顶端下滑的过程中，系统所受合力不为零，系统动量不守恒，但是系统在水平方向上动量守恒。故选AC。
2．(2021·全国乙卷·T14)如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系(可视为惯性系)中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统(　　)
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒
D．动量不守恒，机械能不守恒
答案：B
解析：撤去推力，系统所受合力为0，动量守恒；滑块和小车之间有滑动摩擦力，由于摩擦生热，故系统机械能减少。故选B。
3．(2025·江苏镇江高二检测) 如图所示，A、B两物体的质量之比为mA∶mB＝1∶2，它们原来静止在平板车C上，A、B两物体间有一根被压缩了的水平轻质弹簧，A、B两物体与平板车上表面间的动摩擦因数相同，水平地面光滑。当弹簧突然释放后，A、B两物体被弹开(A、B两物体始终不滑出平板车)，则有(　　)
A．A、B系统动量守恒
B．A、B、C及弹簧整个系统机械能守恒
C．A、B在小车C上滑动过程中小车一直处于静止
D．A、B、C组成的系统动量守恒
答案：D
解析：在弹簧释放的过程中，因mA∶mB＝1∶2，由摩擦力公式Ff＝μFN＝μmg，可知A、B两物体所受的摩擦力大小不相等，故A、B两物体组成的系统所受合力不为零，A、B两物体组成的系统动量不守恒，故A错误；A物体对小车向左的滑动摩擦力小于B物体对小车向右的滑动摩擦力，在A、B两物体相对小车停止运动之前，小车所受的合力向右，小车将向右运动，因存在摩擦力做负功，最终整个系统将静止，则系统的机械能减为零，不守恒，故B、C错误；A、B、C组成的系统所受合力为零，系统的动量守恒，故D正确。故选D。
4．某同学质量为60 kg，在军事训练中要求他从岸上以2 m/s的速度跳到一条向他缓慢漂来的小船上，然后去执行任务。小船的质量是140 kg，速度是0.5 m/s。该同学上船后又跑了几步，最终停在船上。不计水的阻力，则此时小船的速度为(　　)
A．0.25 m/s，与该同学原来的速度方向相反
B．0.25 m/s，与该同学原来的速度方向相同
C．0.50 m/s，与该同学原来的速度方向相反
D．0.50 m/s，与该同学原来的速度方向相同
答案：B
解析：规定该同学原来的速度方向为正方向，设该同学上船稳定后，船与该同学的共同速度为v，该同学和船组成的系统所受合力为零，系统动量守恒，根据动量守恒定律得m人v人－m船v船＝(m人＋m船)v，代入数据解得v＝0.25 m/s，方向与该同学原来的速度方向相同。故选B。
5．(2025·江苏南京高二期中)《三国演义》中“草船借箭”是后人熟悉的故事。若草船的质量为M，每支箭的质量为m，草船以速度v1行驶时，对岸士兵多箭齐发，箭以相同的速度v2水平射中草船。假设此时草船正好停下来，不计水的阻力，则射出箭的数目为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：设射出箭的数目为n，在草船与箭的作用过程中，系统动量守恒，则有Mv1－nmv2＝0，解得n＝。故选C。
6．(2025·河南信阳高二期中) 如图所示，质量分别为2m、m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为L的细线，细线另一端系一质量为m的小球C。现将小球拉起使细线水平伸直，并由静止释放小球，则(　　)
A．A、B、C组成的系统机械能不守恒
B．A、B、C组成的系统在竖直方向上动量守恒
C．A、B两木块分离时木块A的速度大小为
D．小球C第一次到最低点时的速度大小为
答案：C
解析：由题知水平面光滑，A、B、C组成的系统只有重力做功，机械能守恒，A错误；小球摆动过程，A、B、C组成的系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，但竖直方向动量不守恒，B错误；当小球C第一次到达最低点时两物块分离，设此时C的速率为vC、A的速率为vA，由动量守恒定律有mvC＝3mvA，由能量守恒定律有mgL＝mvC2＋×3mvA2，联立解得vA＝，vC＝，C正确，D错误。故选C。
7．(多选)(2025·河北唐山高二期中) 滑板运动是由冲浪运动演变而成的一种极限运动项目。如图所示，一同学在水平地面上进行滑板练习，该同学站在滑板A前端以20 m/s的共同速度向右做匀速直线运动，在滑板A正前方有一静止的滑板B。在滑板A接近滑板B时，该同学迅速从滑板A跳上滑板B，接着又从滑板B跳回滑板A，两滑板恰好不相撞(以相同速度运动)。该同学的质量为45 kg，两滑板的质量均为2.5 kg，不计滑板与地面间的摩擦，下列说法正确的是(　　)
A．上述过程中该同学与滑板A和滑板B组成的系统水平方向上动量守恒
B．该同学跳上滑板B后，他和滑板B的速度大小为19 m/s
C．该同学跳离滑板B的过程中，对滑板B的冲量小于47.5 N·s
D．该同学从滑板A跳上滑板B后，滑板A的速度小于19 m/s
答案：AC
解析：两滑板恰好不相撞，则他最后和A、B两滑板具有相同的速度。把该同学、A、B看成一个系统，该系统水平方向不受外力的作用，系统水平方向上的动量守恒，故A正确；根据动量守恒定律有v，代入数据解得v＝19 m/s，该同学从滑板A跳上滑板B后，滑板A的速度减小，该同学从滑板B跳回滑板A的过程中，根据动量守恒定律可知，滑板A的速度会减小，即该同学从滑板A跳上滑板B后，滑板A的速度应大于19 m/s，故D错误；同理可知，该同学从滑板B跳回滑板A的过程中，滑板B的速度会增大，即该同学跳上滑板B后，他和滑板B的速度应小于19 m/s，故B错误；该同学从滑板A跳上滑板B后，滑板B有了一定的速度，该同学从滑板B跳回滑板A后，滑板B的速度大小为19 m/s，根据动量定理可知，该同学跳离滑板B的过程中，对滑板B的冲量小于47.5 N·s，故C正确。故选AC。
8．(多选)一枚质量为m的烟花弹获得动能后，从地面竖直升空，当烟花弹上升到最大高度时，弹中火药爆炸将烟花弹炸成质量分别为m1和m2的A、B两部分，m1∶m2＝2∶1，此时两部分获得的动能之和为烟花弹初动能的两倍，且初始均沿水平方向运动。设爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量，A、B两部分落地的水平位移大小分别为x1和x2，则(　　)
A．A、B两部分落地时的速度大小之比为2∶1
B．A、B两部分落地时的动能之比为4∶5
C．x1∶x2＝2∶1
D．A、B两部分落地点的间距为烟花弹上升的最大高度的6倍
答案：BD
解析：设烟花弹的初速度大小为v0，上升的最大高度为h，发生爆炸瞬间，A、B两部分在水平方向上动量守恒，有m1v1－m2v2＝0，由题意可得m1＋m2＝m，m1＝2m2，mv02×2，联立解得v1＝v0，v2＝2v0，且速度均沿水平方向，接着A和B分别以速度大小v1＝v0、v2＝2v0向相反方向做平抛运动，到达地面过程中机械能守恒，设A、B落地时速度大小分别为v1′、v2′，则对A有，对B有，又mv02＝mgh，联立解得v1′＝v0，v2′＝v0，所以v1′∶v2′＝∶，则m1v1′2∶m2v2′2＝4∶5，故A错误，B正确；设A、B在最高处爆炸后在空中做平抛运动的时间为t，则有h＝，x2＝v2t，联立解得x1＝2h，x2＝4h，故x1∶x2＝1∶2，A和B落地点的距离是x1＋x2＝6h，为烟花弹上升的最大高度的6倍，故C错误，D正确。故选BD。
9．(10分)(2025·安徽合肥高二期中) 光滑冰面上固定一个足够大的光滑曲面体，一个坐在冰车上的小孩手扶一冰球静止在冰面上。已知冰球的质量m1＝10 kg，小孩和冰车的总质量m2＝50 kg。某时刻小孩将冰球以v1＝6 m/s的速度向曲面体推出(如图所示)，g取10 m/s2。
(1)求推出冰球后，小孩的速度v2的大小；
(2)冰球返回后会被小孩抓住，求共同运动的速度v3的大小；
(3)求冰球被抓住过程中所受到的冲量I。
答案：(1)1.2 m/s　(2)2 m/s　(3)40 N·s，方向水平向左
解析：(1)由题意可知，冰球、小孩和冰车组成的系统动量守恒，规定向左为正方向，则有0＝m1v1－m2v2
解得推出冰球后，小孩的速度大小v2＝1.2 m/s。
(2)由机械能守恒可知，冰球返回到水平面时速度大小等于v1，规定向右为正方向，由动量守恒定律有m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v3
解得共同运动的速度大小v3＝2 m/s。
(3)规定向左为正方向，由动量定理可得，冰球所受冲量I＝－m1v3－(－m1v1)
解得I＝40 N·s，方向水平向左。
10．(10分) 如图所示，光滑水平轨道MN左端与倾角θ＝37°的足够长的斜面PM平滑连接，右端与半径为R的光滑圆弧轨道QN连接。质量分别为m1＝2 kg和m2＝3 kg的滑块A、B之间夹有少量炸药，静止在MN上(滑块A、B均可视为质点，炸药的质量忽略不计)。炸药引爆后释放的化学能E＝30 J全部转化为两滑块的动能，之后滑块B冲上圆弧轨道，滑块A冲上斜面PM，A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)炸药引爆后A、B到达M、N点时的动能EkA、EkB；
(2)已知B恰好能到达圆弧轨道的最高点Q，圆弧轨道的半径R；
(3)A沿斜面上滑的最大距离x。
答案：(1)18 J　12 J　(2)0.4 m　(3)0.9 m
解析：(1)设炸药引爆后A、B的速度大小为v1、v2，取水平向左为正方向，由动量守恒定律得
＝0
由能量守恒定律得E＝m2v22
因水平轨道MN光滑，可得EkA＝m1v12，EkB＝m2v22
联立解得EkA＝18 J，EkB＝12 J。
(2)B从N到Q的上滑过程，由机械能守恒定律得EkB＝m2gR
解得R＝0.4 m。
(3)A从M沿斜面上滑的过程，由动能定理得
－m1gx sin 37°－μm1gx cos 37°＝0－EkA
解得x＝0.9 m。(共84张PPT)
3．动量守恒定律
　　　　
第一章　动量守恒定律
1．理解动量守恒定律的内容及守恒条件，会判断系统动量是否守恒。
2．能运用动量定理和牛顿第三定律导出动量守恒的表达式。
3．了解动量守恒定律的普适性和牛顿运动定律适用范围的局限性。
4．能用动量守恒定律解决生活中的问题。
素养目标
知识点一　动量守恒定律
1
知识点二　动量守恒定律的应用
2
课时测评
5
内容索引
知识点三　多物体系统的多过程动量守恒问题
3
知识点四　应用动量守恒定律处理爆炸类问题
4
知识点一　 动量守恒定律
自主学习
情境导入　如图所示，甲、乙两人原来均静止在
光滑的冰面上，甲推乙后两人往相反方向滑去。
(1)对于两人组成的系统，甲推乙的力是内力还是
外力？
提示：内力　
(2)甲推乙前，两人的动量大小、方向有什么关系？两人的总动量为多少？
提示：都是0 　0　
(3)甲推乙后，两人的动量大小、方向有什么关系？两人的总动量为多少？
提示：大小相等、方向相反　0
基础梳理
1．系统、内力和外力
(1)系统：由两个(或多个)_________的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称系统。
(2)内力：系统中物体间的作用力，叫作内力。
(3)外力：系统_____的物体施加给系统内物体的力，叫作外力。
2．动量守恒定律
(1)内容：如果一个系统_________，或者所受外力的矢量和为__，这个系统的总动量保持不变。
(2)表达式：m1v1′＋m2v2′＝___________。
(3)适用条件：系统_________或者所受外力的 __________ 。
相互作用
以外
不受外力
m1v1＋m2v2
不受外力
矢量和为0
0
课堂探究
师生互动　如图甲所示，光滑水平面上质量分别
为m1、m2的物体A、B，沿同一直线向同一方向
运动，速度分别为v1和v2，且v2＞v1，碰后A、B
的速度分别为v1′、v2′。
任务1．试应用动量定理和牛顿第三定律推导两个物体碰撞后的动量之和与碰撞前的动量之和有什么关系？由推导结果得到什么结论？
提示：设碰撞过程中B对A的作用力为F1，A对B的作用力为F2，碰撞时间为Δt
对物体A由动量定理得F1Δt＝m1v1′－m1v1
对物体B由动量定理得F2Δt＝m2v2′－m2v2
又由牛顿第三定律知F1＝－F2
故有m1v1′－m1v1＝－(m2v2′－m2v2)
即m1v1′＋m2v2′＝m1v1＋m2v2。
结论：(1)两个物体碰撞后的动量之和等于碰撞前的动量之和。
(2)两个碰撞的物体在所受外部对它们的作用力的矢量和为0的情况下动量守恒。
任务2．如图乙所示，小车A、B静止在光滑水平面上，
烧断细线后，两小车受弹簧弹力的作用而运动，A、B
组成的系统动量守恒吗？
提示：烧断细线后，系统所受外力的合力为零，系统动量守恒。
任务3．如图丙所示，速度为v0的物体滑上
光滑水平面上的小车。物体与小车组成的
系统动量守恒吗？
提示：物体和小车组成的系统，水平方向
上合力为零，动量守恒；竖直方向上合力不为零，动量不守恒。
动量守恒条件的理解
1．理想守恒条件
(1)系统不受外力作用时，系统动量守恒。
(2)系统所受外力的矢量和为零时，系统动量守恒。
2．近似守恒条件：系统所受外力的矢量和不为零，但系统的内力远大于外力时，系统的动量可看成近似守 恒。如碰撞、爆炸等现象。
探究归纳
3．分方向守恒条件：系统所受外力的矢量和不为零，则系统的总动量不守恒，若系统在某一方向上的合力为零，则在该方向上系统的动量守恒。
探究归纳
(多选)(2025·福建泉州高二月考)如图所示，物体A和B组成的系统在下述过程中动量守恒的是
A．图甲中，在光滑水平面上，物块B以初速度v0滑上上表面粗糙的静止长木板A
B．图乙中，在光滑水平面上，物块B以初速度v0滑下靠在墙边的表面光滑的斜面A
C．图丙中，在光滑水平面上，小球A以初速度v0与小球B发生碰撞后粘在一起
D．图丁中，在光滑水平面上，小球A以初速度v0滑上表面光滑的圆弧轨道B
√
√
例1
题图甲中，在光滑水平面上，物块B以初速度v0滑上上表面粗糙的静止长木板A的过程中，A和B组成的系统所受的合力为零，系统的动量守恒；题图乙中，在光滑水平面上，物块B以初速度v0滑下靠在墙边的表面光滑的斜面A的过程中，斜面A始终受到墙壁的弹力作用，A和B组成的系统所受的合力不为零，系统的动量不守恒；题图丙中，在光滑水平面上，小球A以初速度v0与小球B发生碰撞后粘在一起的过程中，A和B组成的系统所受的合力为零，系统的动量守恒；题图丁中，在光滑水平面上，小球A以初速度v0滑上表面光滑的圆弧轨道B，A和B组成的系统所受的合力不为零，系统的动量不守恒。故选AC。
系统动量是否守恒的判定方法
1．选定研究对象及研究过程，分清外力与内力。
2．分析系统受到的外力的矢量和是否为零，若外力的矢量和为 零，则系统动量守恒；若外力在某一方向上合力为零，则在该方向上系统动量守恒。系统动量严格守恒的情况很少，在分析具体问题时要注意把实际过程理想化。　　
3．除了利用动量守恒条件判定外，还可以通过实际过程中系统各物体各方向上总动量是否保持不变来进行直观地判定。
方法技巧
针对练1．(多选)(2025·陕西西安高二期中) 如图所示，光滑水平面上两小车中间夹一压缩的轻弹簧，两手分别按住小车，使它们静止，对两车及弹簧组成的系统，下列说法正确的是
A．两手同时放开后，系统的总动量始终为零
B．先放开左手，后放开右手，总动量向左
C．先放开左手，后放开右手，总动量向右
D．无论何时放手，只要两手放开后在弹簧恢复原长的过程中，系统的总动量都保持不变，但系统的总动量不一定为零
√
√
√
当两手同时放开时，系统所受合力为零，所以系统动量守恒，又因为开始时总动量为零，故系统的总动量始终为零，A正确；先放开左手，后放开右手，放开右手时左边小车的动量方向向左，此后系统所受合力为零，系统动量守恒，则系统的总动量向左，B、D正确，C错误。故选ABD。
针对练2．(多选) 如图所示，弹簧的一端固定在竖
直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面
上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小
球从槽上高h处由静止开始自由下滑，则
A．在小球下滑的过程中，小球和槽组成的系统水平方向动量守恒
B．在小球下滑的过程中，小球和槽组成的系统动量守恒
C．小球与弹簧作用时，小球与弹簧组成的系统动量守恒
D．小球与弹簧作用时，小球与弹簧组成的系统动量不守恒
√
√
在小球下滑的过程中，小球和槽组成的系统，在
水平方向上不受力，则水平方向上动量守恒，故
A正确，B错误；小球与弹簧接触后，小球与弹
簧组成的系统受到墙的作用力，墙对系统的作用力是外力，则系统动量不守恒，故C错误，D正确。故选AD。
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知识点二　动量守恒定律的应用
自主学习
情境导入　如图甲为斯诺克台球比赛时选手打出的白色球撞击红色球；如图乙为人站在光滑地面上的平板车上，通过铁锤连续地敲打平板车。
(1)图甲中如果不考虑台面的摩擦，在碰撞过程中两球组成的系统的动量是否守恒？
提示：题图甲中两球组成的系统动量守恒。
(2)图乙中人(包括铁锤)和平板车组成的系
统的动量是否守恒？图乙中的平板车在铁
锤连续地敲打过程中会一直向右运动吗？
提示：题图乙中人(包括铁锤)和平板车组
成的系统动量不守恒，但是在水平方向上
系统动量守恒；平板车在铁锤连续地敲打过程中不会一直向右运动，而是左右来回运动。
基础梳理
动量守恒定律的普适性：动量守恒定律的适用范围非常广泛，______(接近光速)、低速、______ (小到分子、原子的尺度)、宏观领域均适用。
高速
微观
课堂探究
师生互动　如图所示，两位同学各自驾驶一辆游乐场碰碰车，迎面相撞后两车以共同的速度运动，设甲同学与车的总质量为120 kg，碰撞前以5 m/s的速度水平向右运动；乙同学与车的总质量为180 kg，碰撞前以4 m/s的速度水平向左运动。
任务1．碰撞过程中两车(包括驾车的同学)组成的系统的动量守恒吗？
提示：两辆碰碰车(包括驾车的同学)组成的系统，在碰撞过程中的内力远大于所受的外力，外力可以忽略不计，动量近似守恒。
任务2．碰撞后两车共同的运动速度大小和方向如何？
提示：根据动量守恒定律得m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v，取甲同学的车碰撞前的运动方向为正方向，代入数据解得v＝－0.4 m/s，即碰撞后两车以大小为0.4 m/s的共同速度运动，运动方向水平向左。
1．动量守恒定律的常用表达式及其含义
探究归纳
常用表达式 含义
p＝p′或＝m1v1′＋m2v2′ 两个物体组成的系统，相互作用前的总动量等于作用后的总动量
Δp1＝－Δp2 两个物体组成的系统动量守恒，则一个物体的动量变化量与另一个物体的动量变化量一定等大反向
Δp＝0 系统总动量的增加量为零
2．应用动量守恒定律解题的一般步骤
(1)明确研究对象，判断系统的组成。
(2)受力分析，判断动量是否守恒。
(3)规定正方向，确定初、末动量。
(4)根据动量守恒定律，建立守恒方程。
(5)代入数据，求出结果并讨论说明。
探究归纳
√
角度1　理想守恒
(2025·江苏盐城高二检测)如图所示，将甲、乙两条形磁铁隔开一段距离，静置于光滑的水平桌面上，甲的N极正对着乙的S极，甲的质量大于乙的质量。现同时释放甲和乙，在它们相互接近过程中的任一时刻
A．甲的动量大小比乙的大
B．甲的动量大小比乙的小
C．甲的速度大小比乙的大
D．甲的速度大小比乙的小
例2
同时释放甲和乙后，对甲、乙组成的系统进行分析，系统所受外力的合力为0，系统的动量守恒，由于系统初始状态的总动量为0，可知甲、乙的动量大小相等，故A、B错误；结合AB项分析可知m甲v甲－m乙v乙＝0，由于甲的质量大于乙的质量，则有v甲角度2　近似守恒
冬季雨雪天气时，公路上容易发生交通事故。在结冰的公路上，一辆质量为1.8×103 kg的轻型货车尾随另一辆质量为1.2×103 kg的轿车同向行驶，因货车未及时刹车而发生追尾(即碰撞)，如图所示。若追尾前瞬间货车速度大小为36 km/h，轿车速度大小为18 km/h，刚追尾后两车视为紧靠在一起，此时两车的速度为多大？
答案：28.8 km/h
例3
以两车组成的系统为研究对象，由于碰撞时间很短，碰撞过程中系统所受外力远小于系统内力，可近似认为在该碰撞过程中系统动量守 恒。设货车质量为m1，轿车质量为m2，碰撞前货车速度为v1，轿车速度为v2，碰撞后两车速度为v
选定两车碰撞前的速度方向为正方向，则有m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v
代入数据解得两车的速度v＝28.8 km/h。
角度3　分方向守恒
(多选)(2026·商丘高二期末)如图所示，装有一定
质量沙子的小车静止在光滑的水平面上，将一个小球从
某一高度处以大小为v0的初速度水平抛出，小球落入车
内并陷入沙中最终与车一起向右匀速运动。不计空气阻
力，则下列说法正确的是
A．小球陷入沙中越深，小车最终的速度越大
B．小球抛出时的高度越高，小车最终的速度越大
C．小球陷入沙中过程，小球和沙、车组成的系统动量不守恒，机械能不守恒
D．若小车匀速运动后车上有一缝隙漏沙子，车上沙子越来越少，车子的速度保持不变
例４
√
√
小球与车、沙组成的系统在水平方向动量守恒，
由mv0＝(m＋M)v可知，小球陷入沙中深浅、抛
出时的高低与小车最终速度v无关，故A、B错误；
小球陷入沙中过程，小球在竖直方向做变速运动，
系统在竖直方向所受合力不为零，因此系统动量
不守恒，由于小球与沙的摩擦损失机械能，因此系统机械能不守恒，故C正确；若小车匀速运动后车上有一缝隙漏沙子，漏出的沙子做平抛运动，水平方向速度不变，根据水平方向动量守恒可知，车的速度保持不变，故D正确。
变式拓展.若整体质量为M＝4 kg的小车以v2＝7.5 m/s的速度沿光滑水平面向左匀速行驶，质量为m＝1 kg的小球从某一高度以v1＝15 m/s的初速度向右被水平抛出并落入小车中，求小球与小车相对静止后的速度(忽略空气阻力，g取10 m/s2)。
答案：3 m/s，方向水平向左
小球与车在水平方向上动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律有mv1－Mv2＝(M＋m)v共，解得v共＝－3 m/s，则小球与小车相对静止后的速度大小为3 m/s，方向水平向左。
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知识点三　多物体系统的多过程动量守恒问题
处理多物体系统的多过程动量守恒问题的两个关键
1．灵活选取系统：有时需应用整体系统的动量守恒，有时只需应用部分物体系统的动量守恒。
2．灵活选取过程：有时需要对全程进行分析，列相应的动量守恒表达式；有时需要分过程多次应用动量守恒定律列式，这时要注意找出联系各阶段的状态量。
角度1　动量守恒中的临界问题
如图所示，甲、乙两小孩各乘
一辆冰车在光滑水平冰面上游戏，甲
和他的冰车总质量为30 kg，乙和他的
冰车总质量也为30 kg，游戏时甲推着一质量为10 kg的木箱和他一起以v0＝3.5 m/s的速度向右滑行，乙在甲的正前方静止在冰面上，为避免碰撞，甲将木箱推给乙，使木箱与乙一起运动，则甲至少以相对地面多大的速度将箱子推出才能避免与乙相撞？
审题指导　避免甲、乙相撞的临界条件：甲推出箱子后的速度与乙接到箱子后的速度相同。
答案：8 m/s
例５
设甲至少相对地面以速度v将箱子推出，推出箱子后甲的速度为v甲，乙接到箱子后的速度为v乙。取水平向右为正方向，以甲和箱子为系统，根据动量守恒定律得v0＝M甲v甲＋mv
以箱子和乙为系统，根据动量守恒定律得mv＝v乙
当甲与乙恰好不相撞时v甲＝v乙
联立解得v＝8 m/s。
动量守恒定律应用中常见的临界情形
1．如图甲所示，光滑水平面上的A物体以速度v去撞击静止的B物体，A、B两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大。
规律总结
2．如图乙所示，物体A以速度v0滑到静止在光滑水平面上的足够长的小车B上，当A、B两物体的速度相等(相对静止)时，A在B上滑行的距离最远。
规律总结
3．如图丙所示，质量为M的滑块静止在光
滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与水平
面相切，一个质量为m的小球以速度v0向滑
块滚来。设小球不能越过滑块，则小球到达
滑块上的最高点(即小球竖直方向上的速度为零)时，两物体的速度相等，方向为水平向右。　　
规律总结
针对练．如图所示，甲、乙两船的总质量(包括船、人和货物)分别为10m、12m，两船沿同一直线同一方向运动，速度分别为2v0、v0。为避免两船相撞，乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，则乙船上的人抛出货物的最小速度大小(不计水的阻力)为
A．2v0
B．3v0
C．4v0
D．5v0
√
法一：隔离分析
设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为vmin，
抛出货物后乙船的速度为v1，甲船上的人接到货
物后甲船的速度为v2，取水平向右为正方向，不
计水的阻力，由动量守恒定律，对乙船与货物有12mv0＝11mv1－ mvmin，对甲船与货物有10m·2v0－mvmin＝11mv2，避免两船相撞的临界条件为v1＝v2，联立解得vmin＝4v0，即乙船上的人抛出货物的最小速度大小为4v0。故选C。
法二：整体分析
选甲、乙两船、人和货物整体作为系统，不计水
的阻力，在水平方向上无论如何扔货物，系统均
不受外力作用，系统满足动量守恒的条件，设抛
出货物的最小速度为vmin，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得10m·2v0＋12mv0＝，避免两船相撞的临界条件为v1＝v2，联立化简得16mv0＝11mv1，选乙船、人和货物作为系统，由动量守恒定律得12mv0＝(12m－m)v2－mvmin，联立解得vmin＝4v0，即乙船上的人抛出货物的最小速度大小为4v0。故选C。
角度2　多物体系统多过程问题
(2026·安徽合肥期末)两块厚度相同的木块A和B，紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为mA＝2.0 kg，mB＝0.90 kg，它们的下底面光滑，上表面粗糙，另有一质量mC＝0.10 kg的滑块C，以vC＝10 m/s的速度恰好水平滑到A的上表面，如图所示，由于摩擦，滑块最后停在木块B上，B和C的共同速度为0.50 m/s，则：
(1)木块A的最终速度vA是多少？
例6
答案：0.25 m/s
对于整个过程，把B、C看成一个整体，以C的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得
mCvC＝mAvA＋(mC＋mB)v′
解得vA＝0.25 m/s。
(2)滑块C离开A时的速度vC′有多大？
答案：2.75 m/s
对于C在A上滑行的过程，把A、B看成一个整体，以C的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得mCvC＝(mA＋mB)vA＋mCvC′
解得vC′＝2.75 m/s。
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知识点四　应用动量守恒定律处理爆炸类问题
师生互动　如图所示，一枚正在空中竖直向上飞行的火箭，
突然炸裂成两块。
任务1．火箭炸裂过程的时间长短有什么特点？炸裂后两块
箭体的位置与炸裂前比较是否可以认为不变？
提示：极短；可以认为位置不变。
任务2．火箭炸裂前后系统的动量是否守恒？
提示：火箭炸裂过程的时间极短，火箭受到重力作用，系统所受外力不为零，但是炸裂过程系统的内力远大于外力，系统的动量近似守恒。
任务3．火箭炸裂前后系统的机械能是否守恒？系统的总动能怎样变化？
提示：火箭炸裂过程中有化学能转化为动能，重力势能不变，炸裂前后系统的机械能不守恒，炸裂前后系统的总动能增大。
爆炸类问题的三个特点
探究归纳
动量守恒 由于爆炸是在极短的时间内完成的，物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒
动能增加 在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸后系统的总动能增加
位置不变 爆炸的时间极短，因而作用过程中，物体产生的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动
以初速度v0与水平方向成60°角斜向上抛出的手榴弹，到达最高点时炸成质量分别为m和2m的两块。其中质量较大的一块沿着原来的方向以2v0的速度飞行。
(1)求质量较小的一块弹片速度的大小和方向；
答案：v0　方向与爆炸前的速度方向相反
例7
斜向上抛出的手榴弹运动轨迹如图所示，在水平方向上做匀速直线运动，在最高点爆炸前的速度v1＝v0cos 60°＝v0
以v1的方向为正方向，由动量守恒定律得
3mv1＝2mv1′＋mv2
其中爆炸后质量较大的弹片速度v1′＝2v0
解得v2＝－v0，“－”号表示v2的方向与爆炸前的速度方向相反。
(2)爆炸过程中有多少化学能转化为弹片的动能？
答案：mv02
爆炸过程中转化为动能的化学能等于系统动能的增量，即ΔEk＝×2mv1′2＋mv02。
以v1的方向为正方向，由动量守恒定律得3mv1＝2mv1″－mv2′
其中爆炸后质量较小的弹片速度大小v2′＝v0
解得v1″＝v0，方向与爆炸前的速度方向相同。
变式拓展．如果将【例7】中“其中质量较大的一块沿着原来的方向以2v0的速度飞行”改为“其中质量较小的一块沿着原来的相反方向以v0的速度飞行”。
(1)求质量较大的弹片速度的大小和方向；
答案：v0　方向与爆炸前的速度方向相同
爆炸过程中转化为动能的化学能等于系统动能的增量，即ΔEk′＝×2mv1″2＋mv2′2－mv02。
(2)爆炸过程中有多少化学能转化为弹片的动能？
答案：mv02　
手榴弹爆炸后两块弹片都做平抛运动，则有h＝gt2，两块弹片落地时的距离s＝v1″t＋v2′t＝。
(3)假设手榴弹爆炸时离地高度为h，空气阻力不计，求两块弹片落地时的距离。(重力加速度为g)
答案：
处理爆炸问题的两点提醒
1．在处理爆炸问题列动量守恒方程时应注意：爆炸前的动量是指即将爆炸那一刻的动量，爆炸后的动量是指爆炸刚好结束那一刻的动 量。
2．在爆炸过程中，系统的动量守恒，但是机械能一定不守恒，且爆炸前那一刻的机械能一定小于爆炸刚好结束那一刻的机械能。
注意：由于爆炸过程中物体的位移很小，可以忽略，故爆炸过程中物体的重力势能可以认为不变，机械能的变化体现为动能的变化。　　
易错警示
针对练．一弹丸在飞行到距离地面5 m高时仅有水平速度v0＝2 m/s，爆炸成甲、乙两块水平飞出，甲、乙的质量比为3∶1，不计质量损失，重力加速度g取10 m/s2，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是
√
弹丸在爆炸过程中，水平方向的动量守恒，有mv0＝mv甲＋mv乙，解得4v0＝3v甲＋v乙，爆炸后两块弹片均做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，解得t＝1 s，水平方向对甲、乙两块弹片分别有x甲＝v甲t，x乙＝v乙t，联立可得8 m＝3x甲＋x乙，代入各题图中数据可知图B中两块弹片飞行的轨迹可能正确。故选B。
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课堂回眸
课时测评
1．(多选)下列各图所对应的物理过程中，系统动量守恒的是
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
√
√
题图甲中，子弹射入木块的过程中，
系统受到的合力为零，则系统动量守
恒。题图乙中，剪断细线，压缩的弹
簧恢复原长的过程中，水平方向要受
到竖直墙壁对M的作用，即水平方向
受到的合力不为零，系统动量不守恒。
题图丙中，两球匀速下降，则受到的
重力和浮力的合力为零；剪断细线后，
系统受到的重力和浮力不变，则系统受到的合力仍为零，系统动量守恒。题图丁中，小球从放在光滑地面上的小车顶端下滑的过程中，系统所受合力不为零，系统动量不守恒，但是系统在水平方向上动量守恒。故选AC。
2．(2021·全国乙卷·T14)如图，光滑水平地面上有
一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另
一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩
擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系(可视为惯性系)中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统
A．动量守恒，机械能守恒 B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒 D．动量不守恒，机械能不守恒
√
撤去推力，系统所受合力为0，动量守恒；滑块和小车之间有滑动摩擦力，由于摩擦生热，故系统机械能减少。故选B。
3．(2025·江苏镇江高二检测) 如图所示，A、B两物体的质量之比为mA∶mB＝1∶2，它们原来静止在平板车C上，A、B两物体间有一根被压缩了的水平轻质弹簧，A、B两物体与平板车上表面间的动摩擦因数相同，水平地面光滑。当弹簧突然释放后，A、B两物体被弹开(A、B两物体始终不滑出平板车)，则有
A．A、B系统动量守恒
B．A、B、C及弹簧整个系统机械能守恒
C．A、B在小车C上滑动过程中小车一直处于静止
D．A、B、C组成的系统动量守恒
√
在弹簧释放的过程中，因mA∶mB＝1∶2，由
摩擦力公式Ff＝μFN＝μmg，可知A、B两物体
所受的摩擦力大小不相等，故A、B两物体组
成的系统所受合力不为零，A、B两物体组成的系统动量不守恒，故A错误；A物体对小车向左的滑动摩擦力小于B物体对小车向右的滑动摩擦力，在A、B两物体相对小车停止运动之前，小车所受的合力向右，小车将向右运动，因存在摩擦力做负功，最终整个系统将静止，则系统的机械能减为零，不守恒，故B、C错误；A、B、C组成的系统所受合力为零，系统的动量守恒，故D正确。故选D。
4．某同学质量为60 kg，在军事训练中要求他从岸上以2 m/s的速度跳到一条向他缓慢漂来的小船上，然后去执行任务。小船的质量是140 kg，速度是0.5 m/s。该同学上船后又跑了几步，最终停在船上。不计水的阻力，则此时小船的速度为
A．0.25 m/s，与该同学原来的速度方向相反
B．0.25 m/s，与该同学原来的速度方向相同
C．0.50 m/s，与该同学原来的速度方向相反
D．0.50 m/s，与该同学原来的速度方向相同
√
规定该同学原来的速度方向为正方向，设该同学
上船稳定后，船与该同学的共同速度为v，该同
学和船组成的系统所受合力为零，系统动量守恒，
根据动量守恒定律得m人v人－m船v船＝(m人＋m船)v，
代入数据解得v＝0.25 m/s，方向与该同学原来的速度方向相同。故选B。
5．(2025·江苏南京高二期中)《三国演义》中“草船借箭”是后人熟悉的故事。若草船的质量为M，每支箭的质量为m，草船以速度v1行驶时，对岸士兵多箭齐发，箭以相同的速度v2水平射中草船。假设此时草船正好停下来，不计水的阻力，则射出箭的数目为
A． B．
C． D．
设射出箭的数目为n，在草船与箭的作用过程中，系统动量守恒，则有Mv1－nmv2＝0，解得n＝。故选C。
√
6．(2025·河南信阳高二期中) 如图所示，质量分别为2m、m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为L的细线，细线另一端系一质量为m的小球C。现将小球拉起使细线水平伸直，并由静止释放小球，则
A．A、B、C组成的系统机械能不守恒
B．A、B、C组成的系统在竖直方向上动量守恒
C．A、B两木块分离时木块A的速度大小为
D．小球C第一次到最低点时的速度大小为
√
由题知水平面光滑，A、B、C组成的系统只有重
力做功，机械能守恒，A错误；小球摆动过程，A、
B、C组成的系统水平方向不受外力，水平方向动
量守恒，但竖直方向动量不守恒，B错误；当小球
C第一次到达最低点时两物块分离，设此时C的速
率为vC、A的速率为vA，由动量守恒定律有mvC＝3mvA，由能量守恒定律有mgL＝mvC2＋×3mvA2，联立解得vA＝，vC＝，C正确，D错误。故选C。
√
√
7．(多选)(2025·河北唐山高二期中) 滑板运动是由
冲浪运动演变而成的一种极限运动项目。如图所
示，一同学在水平地面上进行滑板练习，该同学
站在滑板A前端以20 m/s的共同速度向右做匀速直线运动，在滑板A正前方有一静止的滑板B。在滑板A接近滑板B时，该同学迅速从滑板A跳上滑板B，接着又从滑板B跳回滑板A，两滑板恰好不相撞(以相同速度运动)。该同学的质量为 45 kg，两滑板的质量均为2.5 kg，不计滑板与地面间的摩擦，下列说法正确的是
A．上述过程中该同学与滑板A和滑板B组成的系统水平方向上动量守恒
B．该同学跳上滑板B后，他和滑板B的速度大小为19 m/s
C．该同学跳离滑板B的过程中，对滑板B的冲量小于47.5 N·s
D．该同学从滑板A跳上滑板B后，滑板A的速度小于19 m/s
两滑板恰好不相撞，则他最后和A、B两滑
板具有相同的速度。把该同学、A、B看成
一个系统，该系统水平方向不受外力的作用，
系统水平方向上的动量守恒，故A正确；根据动量守恒定律有 ＝v，代入数据解得v＝19 m/s，该同学从滑板A跳上滑板B后，滑板A的速度减小，该同学从滑板B跳回滑板A的过程中，根据动量守恒定律可知，滑板A的速度会减小，即该同学从滑板A跳上滑板B后，滑板A的速度应大于19 m/s，故D错误；
同理可知，该同学从滑板B跳回滑板A的过
程中，滑板B的速度会增大，即该同学跳上
滑板B后，他和滑板B的速度应小于19 m/s，
故B错误；该同学从滑板A跳上滑板B后，滑板B有了一定的速度，该同学从滑板B跳回滑板A后，滑板B的速度大小为19 m/s，根据动量定理可知，该同学跳离滑板B的过程中，对滑板B的冲量小于47.5 N·s，故C正确。故选AC。
8．(多选)一枚质量为m的烟花弹获得动能后，从地面竖直升空，当烟花弹上升到最大高度时，弹中火药爆炸将烟花弹炸成质量分别为m1和m2的A、B两部分，m1∶m2＝2∶1，此时两部分获得的动能之和为烟花弹初动能的两倍，且初始均沿水平方向运动。设爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量，A、B两部分落地的水平位移大小分别为x1和x2，则
A．A、B两部分落地时的速度大小之比为2∶1
B．A、B两部分落地时的动能之比为4∶5
C．x1∶x2＝2∶1
D．A、B两部分落地点的间距为烟花弹上升的最大高度的6倍
√
√
设烟花弹的初速度大小为v0，上升的最大高度为h，发生爆炸瞬间，A、B两部分在水平方向上动量守恒，有m1v1－m2v2＝0，由题意可得m1＋m2＝m，m1＝2m2，mv02×2，联立解得v1＝v0，v2＝2v0，且速度均沿水平方向，接着A和B分别以速度大小v1＝v0、v2＝2v0向相反方向做平抛运动，到达地面过程中机械能守恒，设A、B落地时速度大小分别为v1′、v2′，则对A有，对B有，又mv02＝mgh，联立解得v1′＝v0，v2′＝v0，所以v1′∶v2′＝∶，则m1v1′2∶m2v2′2＝4∶5，故A错误，B正确；
设A、B在最高处爆炸后在空中做平抛运动的时间为t，则有h＝
，x2＝v2t，联立解得x1＝2h，x2＝4h，故x1∶x2＝1∶2，A和B落地点的距离是x1＋x2＝6h，为烟花弹上升的最大高度的6倍，故C错误，D正确。故选BD。
9．(10分)(2025·安徽合肥高二期中) 光滑冰面上固定一个足够大的光滑曲面体，一个坐在冰车上的小孩手扶一冰球静止在冰面上。已知冰球的质量m1＝10 kg，小孩和冰车的总质量m2＝50 kg。某时刻小孩将冰球以v1＝ 6 m/s的速度向曲面体推出(如图所示)，g取10 m/s2。
(1)求推出冰球后，小孩的速度v2的大小；
答案：1.2 m/s　
由题意可知，冰球、小孩和冰车组成的系统动量守恒，规定向左为正方向，则有0＝m1v1－m2v2
解得推出冰球后，小孩的速度大小v2＝1.2 m/s。
(2)冰球返回后会被小孩抓住，求共同运动的速度v3的大小；
答案：2 m/s
由机械能守恒可知，冰球返回到水平面时速度大小等于v1，规定向右为正方向，由动量守恒定律有m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v3
解得共同运动的速度大小v3＝2 m/s。
(3)求冰球被抓住过程中所受到的冲量I。
答案：40 N·s，方向水平向左
规定向左为正方向，由动量定理可得，冰球所受冲量I＝－m1v3－ (－m1v1)
解得I＝40 N·s，方向水平向左。
10．(10分) 如图所示，光滑水平轨道MN左端与倾
角θ＝37°的足够长的斜面PM平滑连接，右端与半
径为R的光滑圆弧轨道QN连接。质量分别为m1＝
2 kg和m2＝3 kg的滑块A、B之间夹有少量炸药，静止在MN上(滑块A、B均可视为质点，炸药的质量忽略不计)。炸药引爆后释放的化学能E＝30 J全部转化为两滑块的动能，之后滑块B冲上圆弧轨道，滑块A冲上斜面PM，A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)炸药引爆后A、B到达M、N点时的动能EkA、EkB；
答案：18 J　12 J
设炸药引爆后A、B的速度大小为v1、v2，取水平向左为正方向，由动量守恒定律得
＝0
由能量守恒定律得E＝m2v22
因水平轨道MN光滑，可得EkA＝m1v12，EkB＝m2v22
联立解得EkA＝18 J，EkB＝12 J。
(2)已知B恰好能到达圆弧轨道的最高点Q，圆弧轨道的半径R；
答案：0.4 m
B从N到Q的上滑过程，由机械能守恒定律得EkB＝m2gR
解得R＝0.4 m。
(3)A沿斜面上滑的最大距离x。
答案：0.9 m
A从M沿斜面上滑的过程，由动能定理得
－m1gx sin 37°－μm1gx cos 37°＝0－EkA
解得x＝0.9 m。
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动量守恒定律

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