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2．简谐运动的描述
【素养目标】　1．知道简谐运动的振幅、周期和频率的概念，理解振幅与位移、路程、周期的关系。2．知道全振动的意义。3．知道简谐运动的表达式及相位、相位差的意义。4．理解简谐运动的对称性及应用。
知识点一　振幅　周期和频率
【情境导入】　如图所示，钢琴可以演奏出各种曲调，能发出强弱不同的声音。请思考：
(1)钢琴演奏出的声音是怎样产生的？
(2)演奏声音的强弱不同由什么因素决定？
(3)演奏声音的曲调不同由什么因素决定？
提示：(1)琴弦的振动。(2)振动的振幅。(3)振动的频率。
【基础梳理】
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅。常用字母A表示。
(2)意义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，振动物体运动的范围是振幅的两倍。
2．周期和频率
(1)全振动：振动物体从经过某一位置开始到第二次以相同的速度通过该位置所经历的过程，叫作一次全振动。
(2)周期
①定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期。用T表示周期。
②单位：在国际单位制中，周期的单位是秒，符号是s。
(3)频率
①定义：物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的次数。用f表示频率。
②单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。1 Hz＝1 s-1。
(4)周期和频率的关系：f＝。
【师生互动】　如图为一个水平弹簧振子，振动周期为T，振幅为A，O点为其平衡位置，B、C点均为振动的最大位移处，E点与D点关于O点对称，且tOD＝tDC。
任务1．振子向左经过D点开始，用图中字母如何表示一个全振动的过程？该过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移大小是多少？
任务2．振子经历C→O→B过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移大小是多少？
任务3．振子经历C→O、O→B两过程的时间分别是多少？通过的路程分别是多少？位移大小分别是多少？
任务4．振子经历D→C→D、D→O→E过程的时间分别是多少？通过的路程、位移大小分别与振幅相比如何？
提示：任务1．DCDOEBEOD，时间t＝T，路程s＝4A，位移x＝0。
任务2．时间t＝，路程s＝2A，位移x＝2A。
任务3．两个过程的时间、路程、位移大小都相同：时间t＝，路程s＝A，位移x＝A。
任务4．D→C→D过程：时间t＝，路程s＜A，位移大小x＝0D→O→E过程：时间t＝，路程s＞A，位移大小x>A。　
【探究归纳】
1．对全振动的理解
(1)物理量特点：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(2)时间特点：历时一个周期。
(3)路程特点：路程是振幅的4倍。
2．振幅与位移、路程、周期的关系
振幅 与位移 振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与周期(频率) 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关
振幅 与路程 振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常见的定量关系是： (1)一个周期内路程为4A； (2)半个周期内路程为2A； (3)个周期内路程可能大于A、等于A或者小于A
(多选) 如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，B、C为两侧的最大位置，若振子振幅为A，由B运动到C的时间为2 s，则(　　)
A．振子经历OCOBO为一次全振动
B．振子经过4 s，通过的路程为4A
C．振子从B到C的平均速度为0.5A s-1
D．振子经过的路程为A时，所用的时间一定为1 s
答案：AB
解析：振子经历OCOBO为一次全振动，故A正确；从B运动到C的时间为2 s，可知周期T＝4 s，则振子经过4 s通过的路程为4A，故B正确；振子从B到C的平均速度v＝＝A s-1，故C错误；振子从最大位移处到平衡位置或从平衡位置到最大位移处经过的路程为A时所用的时间一定为1 s，除此之外振子经过的路程为A时所用的时间不一定为1 s，故D错误。故选AB。
针对练1．(2025·河北秦皇岛高二月考)关于机械振动的周期、频率和振幅，下列说法正确的是(　　)
A．振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积可以变化
C．振幅增大，周期也必然增大，而频率减小
D．做简谐运动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关
答案：D
解析：振幅是标量，故A错误；由于周期和频率互成倒数，则周期和频率的乘积为1，保持不变，故B错误；做简谐运动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关，所以振幅增大，周期和频率保持不变，故C错误，D正确。故选D。
针对练2．一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为(　　)
A．4 cm　10 cm B．4 cm　100 cm
C．0　24 cm D．0　100 cm
答案：B
解析：质点的振动周期T＝＝0.4 s，故t＝T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移的大小为4 cm，质点经过的路程为×4×4 cm＝100 cm。故选B。
知识点二　相位
【情境导入】如图为两个完全相同的弹簧振子。请思考：
(1)将两个小球向下拉相同的距离后同时放开，可以看到两个小球的振动步调有什么关系？
(2)将两个小球向下拉相同的距离，先释放一个小球，当第一个小球到达平衡位置时再释放另一个，可以看到两个小球的振动步调有什么关系？
(3)如何描述上述现象的不同？
提示：(1)可以看到两个小球同时经过平衡位置、同时到达最高点、同时回到平衡位置、同时回到最低点……两个小球的振动步调完全一致。
(2)可以看到当第一个小球到达最高点时，第二个刚刚到达平衡位置；而当第二个小球到达最高点时，第一个已经返回平衡位置了。与第一个小球相比，第二个小球总是滞后个周期。
(3)用相位和相位差描述。问题(1)中两个弹簧振子的相位相同、相位差为零；问题(2)中两个弹簧振子的相位不同、相位差为。
【基础梳理】
1．相位：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。
2．相位差
(1)定义：两个具有相同频率的简谐运动的相位差。
(2)表示：如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2。
(3)意义：表示1的相位比2超前Δφ，或者说2的相位比1落后Δφ。
3．简谐运动的位移表达式
(1)表达式：x＝A sin (ωt＋φ)。
(2)各量的意义
①A表示简谐运动的振幅；
②ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，它也表示简谐运动的快慢，ω＝ ＝2πf；
③φ表示初相位。
【师生互动】　某简谐运动的位移表达式为x＝。
任务1．该简谐运动的振幅、周期和频率分别为多少？
任务2．物体的初相位是多少？0.5 s末的相位是多少？
提示：任务1．简谐运动的振幅A＝10 cm，周期T＝＝1 s， f＝＝1 Hz。
任务2．物体的初相位φ0＝， 0.5 s末的相位φ＝π。
【探究归纳】
1．相位差的理解
频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。
2．简谐运动的表达式x＝A sin 的理解
(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)根据表达式结合ω＝ ＝2πf可确定ω、T、f。
(3)根据表达式可求解某时刻的位移。
(4)表达式反映了简谐运动的周期性：
当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝n·2π(n＝1，2，…)时，即Δt＝t2－t1＝＝nT(n＝1，2，…)时，振子位移相同，每经过一个周期T完成一次全振动。
(2025·江苏徐州高二期中)物体A做简谐运动的位移表达式是xA＝3sin m，物体B做简谐运动的位移表达式是xB＝。比较A、B的运动，下列说法正确的是(　　)
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终落后B的相位
答案：C
解析：振幅是标量，A、B的振幅分别为3 m、5 m，故A错误；周期是标量，A、B的周期均为T＝≈6.28×10-2 s，故B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，故C正确；A的相位始终超前B的相位Δφ＝φA－φB＝，故D错误。故选C。
针对练1．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的位移表达式是(　　)
A．x＝8×10-3sin m
B．x＝8×10-3sin m
C．x＝8×10-3sin m
D．x＝8×10-3sin m
答案：A
解析：由题可知，A＝0.8 cm＝8×10-3 m，T＝0.5 s，可得ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝，可得弹簧振子的位移表达式为x＝8×10-3。故选A。
针对练2．(多选)(2025·山东临沂高二检测)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin (2.5πt) m。则 (　　)
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin m，则A的相位落后B的相位
答案：CD
解析：由振动方程可知，振幅为0.1 m，ω＝2.5π rad/s，故周期T＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，x＝0.1 m，即振子的位移最大，速度为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝－(2.5πt)＝，即B的相位超前A的相位，或者说A的相位落后B的相位，故D正确。故选CD。
知识点三　简谐运动图像的理解及应用
【师生互动】　如图为质点A、B分别做简谐运动的位移－时间图像。
任务1．根据图像判断质点A、B的振幅、周期分别是多少？
任务2．根据图像判断t＝0.2 s时，质点A、B的振动情况有什么不同？
任务3．根据图像判断2 s时间内，质点A、B通过的路程分别是多少？
提示：任务1．质点A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；质点B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
任务2．t＝0.2 s时，质点A经过平衡位置沿正方向振动，质点B经过平衡位置沿负方向振动。
任务3．2 s时间内，质点A通过的路程是10 cm，质点B通过的路程是2 cm。
【探究归纳】
由简谐运动的振动图像(x-t图像)能获取的信息
1．直接读取振幅A。
2．直接读取周期T，进而求出频率f。
3．直接得到质点在不同时刻的位移。
4．根据某一点的切线斜率可以判断该时刻的瞬时速度：
(1)斜率绝对值的大小表示速度的大小；
(2)斜率的正负表示速度的方向。
5．比较不同时刻质点加速度的大小和方向：
(1)位移越大处对应的加速度越大，反之则越小；
(2)位移为正时对应的加速度为负方向，位移为负时对应的加速度为正方向。
6．写出其位移表达式。
(多选)甲、乙为竖直悬挂的两个弹簧振子，且悬挂振子的弹簧劲度系数相同，已知两球质量之比是4∶1，振动图像如图所示。则下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两弹簧振子的振动频率之比是1∶2
B．甲、乙两弹簧振子在10 s内质点经过的路程之比是1∶1
C．甲、乙两弹簧振子最大加速度之比是2∶1
D．甲、乙两弹簧振子最大速度之比是4∶1
答案：AB
解析：从题图中可以直接看出甲的振幅A1＝10 cm，乙的振幅A2＝5 cm，甲的周期T1＝2.0 s，乙的周期T2＝1.0 s。甲、乙两弹簧振子的振动周期之比为2∶1，根据f＝可知，两者的频率之比为1∶2，故A正确；甲10 s完成5次全振动，路程为5×4A1＝200 cm，乙10 s完成10次全振动，路程为10×4A2＝200 cm，故两者在10 s内经过的路程之比为1∶1，故B正确；根据胡克定律F＝kx，则甲、乙的最大弹力F之比为2∶1，又因为两球质量之比是4∶1，根据牛顿第二定律可得a＝，则甲、乙两弹簧振子最大加速度之比是1∶2，故C错误；经分析，当振子到达平衡位置时，速度最大，设此时速度为v，弹簧振子的弹簧伸长量为x0，在最低点时的弹簧伸长量为x1，则有mg＝kx0，从最低点到平衡位置，根据动能定理得×(x1－x0)－mg(x1－x0)＝－0，又因为A＝x1－x0，联立解得v＝，所以最大速度之比为1∶1，故D错误。故选AB。
针对练1．劲度系数为20 N/cm的弹簧和小球构成一个水平弹簧振子，它的振动图像如图所示，在图中A点对应的时刻，下列说法不正确的是(　　)
A．振子所受的弹力大小为5 N，方向指向x轴负方向
B．振子的速度方向指向x轴正方向
C．在0～4 s内振子做了1.75次全振动
D．在0～4 s内振子通过的路程为4 cm
答案：C
解析：在题图中的A点，其位移x＝0.25 cm，故此时弹力F＝kx＝20×0.25 N＝5 N，其位置在x轴的正半轴，故受力方向指向x轴负方向，故A正确；在A点，振子正在向x轴正方向运动，故B正确；由题图可知周期T＝2 s，故振子在4 s内做了2次全振动，故C错误；由于4 s＝2T，故振子通过的路程为2×4×0.5 cm＝4 cm，故D正确。故选C。
针对练2．如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
B．弹簧振子的振动方程表达式为x＝0.1sin
C．弹簧振子在2.5 s内通过的路程为1 m
D．图乙中的t1时刻振子的速度方向与加速度方向都为负方向
答案：C
解析：弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为次全振动，A错误；根据题图乙可知，弹簧振子的振幅A＝0.1 m，周期T＝1 s，则ω＝＝2π rad/s，水平向右为正方向，t＝0时刻位移为0.1 m，表示振子从B点开始运动，初相φ0＝，则振子的振动方程为x＝A sin (ωt＋φ0)＝0.1sin m，B错误；因周期T＝1 s，则2.5 s＝2.5T，则振子在前2.5 s内通过的路程s＝2.5×4A＝10×0.1 m＝1 m，C正确；题图乙中的t1时刻振子的速度方向为负，做减速运动，即从O向C运动，加速度方向为正，D错误。故选C。
知识点四　简谐运动的对称性与周期性
1．简谐运动的对称性
(1)状态量的对称性：当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时，物体的：
①位移的大小一定相等、方向一定相反；
②加速度的大小一定相等、方向一定相反；
③速度的大小一定相等，方向可能相同、也可能相反。
(2)时间的对称性
①振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等，如图所示，tBC＝tCB；
②振动物体经过关于平衡位置对称且等长的两线段的时间一定相等，如图所示，tBC＝tB′C′。
2．简谐运动的周期性
(1)若t2－t1＝nT (n＝1，2，3，…)，则t1、t2两时刻振动物体一定在同一位置，描述运动的各状态量(x、a、v)均相同。
(2)若t2－t1＝nT＋T (n＝0，1，2，3，…)，则t1、t2两时刻振动物体的位置一定关于平衡位置对称，描述运动的各状态量(x、a、v)均大小相等、方向相反。
(3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T (n＝0，1，2，3，…)，则：
①当t1时刻物体恰好到达最大位移处时，t2时刻物体一定恰好经过平衡位置；
②当t1时刻物体恰好经过平衡位置时，t2时刻物体一定恰好到达最大位移处；
③当t1时刻物体在其他任意位置时，t2时刻物体到达何处没有确定的位置判断，只能视具体情况而定。
(多选)(2025·贵州贵阳高二检测)一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点，质点的振动周期可能是(　　)
A． s B．4 s
C．8 s D．16 s
答案：AD
解析：若质点开始运动的方向先向左，再向右向M点运动，运动路线如图甲所示，
则有3 s＋2× s＝T，解得周期T＝ s；若开始运动的方向向右直接向M点运动，运动路线如图乙所示，
则有3 s＋2× s＝T′，解得周期T′＝16 s。故选AD。
简谐运动多解的成因
1．周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，从而形成多解问题。
2．对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样也会形成多解问题。　　
变式拓展．(多选)一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过2 s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过1 s第二次经过M点，则该质点再需要多长时间第三次经过M点(　　)
A． s B． s
C．7 s D．9 s
答案：BD
解析：若质点开始运动的方向先向左，再向右向M点运动，运动路线如图1所示，可得振动的周期T＝，则质点再需要经过时间t＝T－1 s＝ s第三次通过M点；若质点开始运动的方向向右，则直接向M点运动，运动线路如图2所示，振动的周期T′＝×4＝10 s，则质点再需要经过时间t′＝T′－1 s＝9 s第三次通过M点。故选BD。
针对练．(多选)一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则(　　)
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子振动的加速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定不相等
答案：CD
解析：如图所示，图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同，显然Δt不等于T的整数倍，A错误；图中的a、d两点的位移大小相等、方向相反，Δt<，B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子位于同一位置，其位移相同，合力相同，加速度必相等，C正确；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度一定不相等，D正确。故选CD。
课时测评8　 简谐运动的描述
(时间：30分钟　满分：60分)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
(选择题1－11题，每题4分，共44分)
1．如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则 (　　)
A．振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振动频率是2 Hz
C．小球完成一次全振动通过的路程是8 cm
D．小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
答案：D
解析：由题意可知，周期T＝ s＝2 s，振幅A＝＝4 cm，则频率f＝ Hz＝0.5 Hz，A、B错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即s＝4A＝16 cm，C错误；小球在3 s内通过的路程s′＝×4×4 cm＝24 cm，D正确。故选D。
2．两个简谐运动的振动图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．A的相位比B超前
B．A的相位比B落后
C．A的相位比B超前π
D．A的相位比B落后π
答案：B
解析：A、B简谐运动的表达式分别为xA＝A sin t，xB＝A cos t＝A sin ，所以Δφ＝，则B的相位比A超前，也就是说A的相位比B落后。故选B。
3．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　)
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点每经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
答案：C
解析：由题图可以直接看出振幅A＝2 cm，周期T＝4 s，所以频率f＝0.25 Hz，故A错误；质点在1 s内即个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B错误；t＝0时，质点在正向最大位移处，0～3 s为，则质点通过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅为2 cm，故D错误。故选C。
4．(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝，x2＝，下列说法正确的是(　　)
A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致
答案：BC
解析：它们的振幅分别是4 cm、5 cm，A错误；ω都是100π rad/s，所以周期都是T＝ s，B正确；Δφ＝，可知相位差恒定，C正确；Δφ≠0，则振动步调不一致，D错误。故选BC。
5．有一竖直的弹簧振子，小球静止时弹簧伸长量为L。现将小球从平衡位置O下拉一段距离A，由静止释放并开始计时。已知小球做简谐运动的周期为T，以O点为坐标原点，取竖直向下为正方向，则小球的位移x随时间t的表达式为(　　)
A．x＝A sin
B．x＝A sin
C．x＝(L＋A)sin
D．x＝(L＋A)sin
答案：A
解析：已知小球做简谐运动的周期为T，所以ω＝，由题意知小球在t＝0时位移为A，所以小球的振幅为A，初相φ0＝，则小球的位移x随时间t的表达式为x＝A sin 。故选A。
6．(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在0～10 s内质点经过的路程为20 cm
C．在第5 s末，质点速度为零，加速度最大
D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等
答案：BCD
解析：由题图可知周期T＝4 s，则频率f＝＝0.25 Hz，A错误；质点在一个周期内通过的路程是振幅的4倍，则在0～10 s内质点经过的路程s＝4×2 cm＝20 cm，B正确；在第5 s末，质点位于最大位移处，速度为零，加速度最大，C正确；由题图可以看出，在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等，D正确。故选BCD。
7．如图所示，一质点在a、b间做简谐运动，O是它振动的平衡位置。若从质点经过O点开始计时，经3 s质点第一次到达M点，再经2 s它第二次经过M点。则该质点的振动图像可能是(　　)
答案：B
解析：根据题意，从质点经过O点开始计时，质点可能向右经3 s第一次到达M点，再经2 s经过b点第二次经过M点，故周期T＝×4 s＝16 s；也可能向左先经过a点第一次到达M点，再经过b点第二次经过M点，故周期T′＝×4 s＝ s。故选B。
8．如图所示为在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为20 cm，图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置，若将振子A向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子A第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是(　　)
A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz
B．在P位置给振子A任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过0.5 s速度就降为0
C．若将振子A向左拉动2 cm后由静止释放，振子A连续两次经过P位置的时间间隔是2 s
D．若将振子A向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子A第一次回到P位置
答案：B
解析：将振子A向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子A第一次回到P位置经历，所以周期T＝4×0.5 s＝2 s，振动的频率f＝ Hz，A错误；振动的周期与振幅的大小无关，在P位置给振子A任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过T＝0.5 s到达最大位移处，速度降为0，B正确；振动的周期与振幅的大小无关，振子A连续两次经过P位置的时间间隔是半个周期，即1 s，C错误；振动的周期与振幅的大小无关，所以若将振子A向右拉动10 cm后由静止释放，经过0.5 s 振子A第一次回到P位置，D错误。故选B。
9．(2025·黑龙江大庆高二期末) 如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a点到b点历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b点再回到a点的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为(　　)
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
答案：B
解析：由于振子在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于O点是对称的，所以从O点到b点的时间为0.1 s；而从b点再回到a点的最短时间为0.4 s，则从b点再回到b点的最短时间为0.2 s，所以从b点到最大位移处的最短时间为0.1 s，因此振子的振动周期T＝0.8 s，由f＝得f＝ Hz＝1.25 Hz。故选B。
10．一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s，质点通过B点后，再经过1 s，第二次通过B点，在这2 s内，质点的总路程是12 cm，则质点振动的周期和振幅分别可能为(　　)
A．2 s，6 cm B．4 s，6 cm
C．4 s，9 cm D．2 s，8 cm
答案：B
解析：做简谐运动的质点，先后以相同的速度依次通过A、B两点，可知这两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A点到O点的时间与由O点到B点的时间相等。那么从O点到B点的时间t1＝，通过B点后再经过t＝1 s质点再次通过B点，则从B点到最大位移处的时间t2＝ s，因此质点振动的周期T＝4×(t1＋t2)＝4 s，则质点在2 s内的总路程的一半即为振幅，所以振幅A＝ cm＝6 cm。故选B。
11．(多选) 如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为y＝0.1sin (2.5πt) m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。以下判断正确的是(　　)
A．简谐运动的周期是1.25 s
B．h＝1.7 m
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D．t＝0.3 s时，物块与小球运动方向相同
答案：BD
解析：简谐运动的周期T＝ s＝0.8 s，故A错误；t＝0.6 s时，物块的位移y＝0.1sin (2.5π×0.6) m＝－0.1 m，物块在负向最大位移处，对小球有h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，故B正确；因为周期是0.8 s，所以0.6 s内物块运动的路程是3A＝0.3 m，故C错误；t＝0.3 s大于小于，物块此时的状态为在平衡位置上方向下运动，与小球运动方向相同，故D正确。故选BD。
12．(16分)(2025·江苏常州市高二期中)弹簧振子以O点为平衡位置，在M、N两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、N间的P点(未画出)以速度v向N点运动；在t＝0.2 s时刻，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时刻，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子的振动周期T；
(2)若M、N之间的距离为20 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若M、N之间的距离为20 cm，以向右为正方向，从振子在M点开始计时，写出弹簧振子位移随时间变化的表达式，并在给定的坐标系中画出一个周期内的振动图像。
答案：(1)1 s　(2)160 cm　(3)x＝0.1sin 　见解析图
解析：(1)弹簧振子在0～0.5 s内的运动示意图如图甲所示，P′为P关于O的对称点，由对称性可得周期T＝0.5×2 s＝1.0 s。
(2)若M、N之间距离为20 cm，则振幅A＝×20 cm＝10 cm，振子在4.0 s内通过的路程s＝×4×10 cm＝160 cm。
(3)根据A＝10 cm，ω＝＝2π rad/s，以向右为正方向，从振子在M点开始计时，则弹簧振子位移随时间变化的表达式x＝0.1sin m，振动图像如图乙所示。(共78张PPT)
2．简谐运动的描述
　　　　
第二章　机械振动
1．知道简谐运动的振幅、周期和频率的概念，理解振幅与位移、路程、周期的关系。
2．知道全振动的意义。
3．知道简谐运动的表达式及相位、相位差的意义。
4．理解简谐运动的对称性及应用。
素养目标
知识点一　振幅　周期和频率
1
知识点二　相位
2
课时测评
5
内容索引
知识点三　简谐运动图像的理解及应用
3
知识点四　简谐运动的对称性与周期性
4
知识点一　振幅　周期和频率
自主学习
情境导入　如图所示，钢琴可以演奏出各种曲调，能发出强弱不同的声 音。请思考：
(1)钢琴演奏出的声音是怎样产生的？
提示：琴弦的振动。
(2)演奏声音的强弱不同由什么因素决定？
提示：振动的振幅。
(3)演奏声音的曲调不同由什么因素决定？
提示：振动的频率。
基础梳理
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的_____距离，叫作振动的振幅。常用字母A表示。
(2)意义：振幅是表示_________大小的物理量，振动物体运动的范围是振幅的___倍。
最大
振动幅度
两
2．周期和频率
(1)全振动：振动物体从经过某一位置开始到第二次以相同的_____通过该位置所经历的过程，叫作一次全振动。
(2)周期
①定义：做简谐运动的物体完成一次_______所需要的时间，叫作振动的周期。用T表示周期。
②单位：在国际单位制中，周期的单位是___，符号是s。
速度
全振动
秒
(3)频率
①定义：物体完成_______的次数与所用时间之比叫作振动的频率，数值等于单位时间内完成全振动的_____ 。用f表示频率。
②单位：在国际单位制中，频率的单位是_____，简称___，符号是Hz。 1 Hz＝1 s-1。
(4)周期和频率的关系：f＝__。
全振动
次数
赫兹
赫
课堂探究
师生互动　如图为一个水平弹簧振子，振动周期
为T，振幅为A，O点为其平衡位置，B、C点均为
振动的最大位移处，E点与D点关于O点对称，且
tOD＝tDC。
任务1．振子向左经过D点开始，用图中字母如何表示一个全振动的过程？该过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移大小是多少？
提示：DCDOEBEOD，时间t＝T，路程s＝4A，位移x＝0。
任务2．振子经历C→O→B过程的时间是多少？通过的路程是多少？位移大小是多少？
提示：时间t＝，路程s＝2A，位移x＝2A。
任务3．振子经历C→O、O→B两过程的时间分别
是多少？通过的路程分别是多少？位移大小分别
是多少？
提示：两个过程的时间、路程、位移大小都相同：
时间t＝，路程s＝A，位移x＝A。
任务4．振子经历D→C→D、D→O→E过程的时间分别是多少？通过的路程、位移大小分别与振幅相比如何？
提示：D→C→D过程：时间t＝，路程s＜A，位移大小x＝0＜A。
D→O→E过程：时间t＝，路程s＞A，位移大小x＞A。　
1．对全振动的理解
(1)物理量特点：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
(2)时间特点：历时一个周期。
(3)路程特点：路程是振幅的4倍。
探究归纳
2．振幅与位移、路程、周期的关系
探究归纳
振幅 与位移 振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与周期(频率) 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关
探究归纳
振幅 与路程 振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常见的定量关系是：
(1)一个周期内路程为4A；
(2)半个周期内路程为2A；
(3)个周期内路程可能大于A、等于A或者小于A
(多选)如图所示，弹簧振子在B、C间做简谐运动，O为平衡位置，B、C为两侧的最大位置，若振子振幅为A，由B运动到C的时间为2 s，则
A．振子经历OCOBO为一次全振动
B．振子经过4 s，通过的路程为4A
C．振子从B到C的平均速度为0.5A s-1
D．振子经过的路程为A时，所用的时
间一定为1 s
√
√
例1
振子经历OCOBO为一次全振动，故A正确；
从B运动到C的时间为2 s，可知周期T＝4 s，
则振子经过4 s通过的路程为4A，故B正确；
振子从B到C的平均速度v＝＝A s-1，故C
错误；振子从最大位移处到平衡位置或从平衡位置到最大位移处经过的路程为A时所用的时间一定为1 s，除此之外振子经过的路程为A时所用的时间不一定为1 s，故D错误。故选AB。
针对练1．(2025·河北秦皇岛高二月考)关于机械振动的周期、频率和振幅，下列说法正确的是
A．振幅是矢量，方向是从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积可以变化
C．振幅增大，周期也必然增大，而频率减小
D．做简谐运动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关
√
振幅是标量，故A错误；由于周期和频率互成倒数，则周期和频率的乘积为1，保持不变，故B错误；做简谐运动的物体其周期和频率是一定的，与振幅无关，所以振幅增大，周期和频率保持不变，故C错误，D正确。故选D。
针对练2．一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为
A．4 cm　10 cm B．4 cm　100 cm
C．0　24 cm D．0　100 cm
√
质点的振动周期T＝＝0.4 s，故t＝T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移的大小为4 cm，质点经过的路程为×4×4 cm＝100 cm。故选B。
返回
知识点二　相位
自主学习
情境导入　如图为两个完全相同的弹簧振子。请思
考：
(1)将两个小球向下拉相同的距离后同时放开，
可以看到两个小球的振动步调有什么关系？
提示：可以看到两个小球同时经过平衡位置、同时
到达最高点、同时回到平衡位置、同时回到最低点……两个小球的振动步调完全一致。
(2)将两个小球向下拉相同的距离，先释放一个小
球，当第一个小球到达平衡位置时再释放另一个，
可以看到两个小球的振动步调有什么关系？
提示：可以看到当第一个小球到达最高点时，第二
个刚刚到达平衡位置；而当第二个小球到达最高点时，第一个已经返回平衡位置了。与第一个小球相比，第二个小球总是滞后个周期。
(3)如何描述上述现象的不同？
提示：用相位和相位差描述。问题(1)中两个弹簧振子的相位相同、相位差为零；问题(2)中两个弹簧振子的相位不同、相位差为。
基础梳理
1．相位：物理学中把_______叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作_______，或初相。
2．相位差
(1)定义：两个具有相同_____的简谐运动的相位差。
(2)表示：如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝_______。
(3)意义：表示1的相位比2_____Δφ，或者说2的相位比1_____Δφ。
(ωt＋φ)
初相位
频率
φ1－φ2
超前
落后
3．简谐运动的位移表达式
(1)表达式：x＝A sin (ωt＋φ)。
(2)各量的意义
①A表示简谐运动的振幅；
②ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，它也表示简谐运动的快慢，ω＝ ＝2πf；
③φ表示初相位。
课堂探究
师生互动　某简谐运动的位移表达式为x＝。
任务1．该简谐运动的振幅、周期和频率分别为多少？
提示：简谐运动的振幅A＝10 cm，周期T＝＝1 s，f＝＝1 Hz。
任务2．物体的初相位是多少？0.5 s末的相位是多少？
提示：物体的初相位φ0＝， 0.5 s末的相位φ＝π。
1．相位差的理解
频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2(φ1>φ2)。
若Δφ＝0，表明两个物体运动步调相同，即同相；
若Δφ＝π，表明两个物体运动步调相反，即反相。
探究归纳
2．简谐运动的表达式x＝A sin 的理解
(1)表达式反映了做简谐运动的物体的位移x随时间t的变化规律。
(2)根据表达式结合ω＝ ＝2πf可确定ω、T、f。
(3)根据表达式可求解某时刻的位移。
(4)表达式反映了简谐运动的周期性：
当Δφ＝(ωt2＋φ)－(ωt1＋φ)＝n·2π(n＝1，2，…)时，即Δt＝t2－t1＝＝nT(n＝1，2，…)时，振子位移相同，每经过一个周期T完成一次全振 动。
探究归纳
√
(2025·江苏徐州高二期中)物体A做简谐运动的位移表达式是xA＝ 3sinm，物体B做简谐运动的位移表达式是xB＝。比较A、B的运动，下列说法正确的是
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终落后B的相位
例2
振幅是标量，A、B的振幅分别为3 m、5 m，故A错误；周期是标量， A、B的周期均为T＝≈6.28×10-2 s，故B错误；因为TA＝ TB，故fA＝fB，故C正确；A的相位始终超前B的相位Δφ＝φA－φB＝＝，故D错误。故选C。
由题可知，A＝0.8 cm＝8×10-3 m，T＝0.5 s，可得ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝ ，可得弹簧振子的位移表达式为x＝8×10-3。故选A。
针对练1．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的位移表达式是
A．x＝8×10-3sin m B．x＝8×10-3sin m
C．x＝8×10-3sin m D．x＝8×10-3sin m
√
针对练2．(多选)(2025·山东临沂高二检测)一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin (2.5πt) m。则
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．若另一弹簧振子B的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.2sin m，则A的相位落后B的相位
√
√
由振动方程可知，振幅为0.1 m，ω＝2.5π rad/s，故周期T＝＝ s＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，x＝0.1 m，即振子的位移最大，速度为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝－(2.5πt)＝，即B的相位超前A的相位，或者说A的相位落后B的相位，故D正确。故选CD。
返回
知识点三　简谐运动图像的理解及应用
师生互动　如图为质点A、B分别做简谐运动的
位移－时间图像。
任务1．根据图像判断质点A、B的振幅、周期
分别是多少？
提示：质点A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；质
点B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
任务2．根据图像判断t＝0.2 s时，质点A、B的振动情况有什么不同？
提示：t＝0.2 s时，质点A经过平衡位置沿正方向振动，质点B经过平衡位置沿负方向振动。
任务3．根据图像判断2 s时间内，质点A、B通过的路程分别是多少？
提示：2 s时间内，质点A通过的路程是10 cm，质点B通过的路程是2 cm。
由简谐运动的振动图像(x-t图像)能获取的信息
1．直接读取振幅A。
2．直接读取周期T，进而求出频率f。
3．直接得到质点在不同时刻的位移。
4．根据某一点的切线斜率可以判断该
时刻的瞬时速度：
(1)斜率绝对值的大小表示速度的大小；
(2)斜率的正负表示速度的方向。
探究归纳
5．比较不同时刻质点加速度的大小和方
向：
(1)位移越大处对应的加速度越大，反之
则越小；
(2)位移为正时对应的加速度为负方向，位移为负时对应的加速度为正方向。
6．写出其位移表达式。
探究归纳
(多选)甲、乙为竖直悬挂的两个弹簧振子，且悬挂振子的弹簧劲度系数相同，已知两球质量之比是4∶1，振动图像如图所示。则下列说法正确的是
A．甲、乙两弹簧振子的振动频率之比是1∶2
B．甲、乙两弹簧振子在10 s内质点经过的路程之比是1∶1
C．甲、乙两弹簧振子最大加速度之比是2∶1
D．甲、乙两弹簧振子最大速度之比是4∶1
√
√
例3
从题图中可以直接看出甲的振幅A1＝10 cm，
乙的振幅A2＝5 cm，甲的周期T1＝2.0 s，乙
的周期T2＝1.0 s。甲、乙两弹簧振子的振动
周期之比为2∶1，根据f＝可知，两者的频
率之比为1∶2，故A正确；甲10 s完成5次全振动，路程为5×4A1＝ 200 cm，乙10 s完成10次全振动，路程为10×4A2＝200 cm，故两者在10 s内经过的路程之比为1∶1，故B正确；
根据胡克定律F＝kx，则甲、乙的最大弹
力F之比为2∶1，又因为两球质量之比是
4∶1，根据牛顿第二定律可得a＝，则
甲、乙两弹簧振子最大加速度之比是1∶2，
故C错误；经分析，当振子到达平衡位置时，速度最大，设此时速度为v，弹簧振子的弹簧伸长量为x0，在最低点时的弹簧伸长量为x1，则有mg＝kx0，从最低点到平衡位置，根据动能定理得×(x1－x0)－mg(x1－x0)＝－0，又因为A＝x1－x0，联立解得v＝，所以最大速度之比为1∶1，故D错误。故选AB。
针对练1．劲度系数为20 N/cm的弹簧和小球构成一个水平弹簧振子，它的振动图像如图所示，在图中A点对应的时刻，下列说法不正确的是
A．振子所受的弹力大小为5 N，方向指向x轴负方向
B．振子的速度方向指向x轴正方向
C．在0～4 s内振子做了1.75次全振动
D．在0～4 s内振子通过的路程为4 cm
√
在题图中的A点，其位移x＝0.25 cm，故此时
弹力F＝kx＝20×0.25 N＝5 N，其位置在x轴
的正半轴，故受力方向指向x轴负方向，故A
正确；在A点，振子正在向x轴正方向运动，
故B正确；由题图可知周期T＝2 s，故振子在
4 s内做了2次全振动，故C错误；由于4 s＝2T，故振子通过的路程为2×4×0.5 cm＝4 cm，故D正确。故选C。
针对练2．如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，下列说法正确的是
A．弹簧振子从B点经过O点再运动到C点为一次全振动
B．弹簧振子的振动方程表达式为x＝0.1sin
C．弹簧振子在2.5 s内通过的路程为1 m
D．图乙中的t1时刻振子的速度方向与加速度方向都为负方向
√
弹簧振子从B点经过O点再运动到
C点为次全振动，A错误；根据
题图乙可知，弹簧振子的振幅A＝
0.1 m，周期T＝1 s，则ω＝＝
2π rad/s，水平向右为正方向，t＝0时刻位移为0.1 m，表示振子从B点开始运动，初相φ0＝，则振子的振动方程为x＝A sin (ωt＋φ0)＝0.1sin m，B错误；因周期T＝1 s，则2.5 s＝2.5T，则振子在前2.5 s内通过的路程s＝2.5×4A＝10×0.1 m＝1 m，C正确；题图乙中的t1时刻振子的速度方向为 负，做减速运动，即从O向C运动，加速度方向为正，D错误。故选C。
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知识点四　简谐运动的对称性与周期性
1．简谐运动的对称性
(1)状态量的对称性：当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时，物体的：
①位移的大小一定相等、方向一定相反；
②加速度的大小一定相等、方向一定相反；
③速度的大小一定相等，方向可能相同、也可能相反。
(2)时间的对称性
①振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相
等，如图所示，tBC＝tCB；
②振动物体经过关于平衡位置对称且等长的两线段的时间一定相等，如图所示，tBC＝tB′C′。
2．简谐运动的周期性
(1)若t2－t1＝nT (n＝1，2，3，…)，则t1、t2两时刻振动物体一定在同一位置，描述运动的各状态量(x、a、v)均相同。
(2)若t2－t1＝nT＋T (n＝0，1，2，3，…)，则t1、t2两时刻振动物体的位置一定关于平衡位置对称，描述运动的各状态量(x、a、v)均大小相等、方向相反。
(3)若t2－t1＝nT＋T或t2－t1＝nT＋T (n＝0，1，2，3，…)，则：
①当t1时刻物体恰好到达最大位移处时，t2时刻物体一定恰好经过平衡位置；
②当t1时刻物体恰好经过平衡位置时，t2时刻物体一定恰好到达最大位移处；
③当t1时刻物体在其他任意位置时，t2时刻物体到达何处没有确定的位置判断，只能视具体情况而定。
√
√
(多选)(2025·贵州贵阳高二检测)一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点，质点的振动周期可能是
A． s B．4 s
C．8 s D．16 s
例4
若质点开始运动的方向先向左，再向右向M点
运动，运动路线如图甲所示，
则有3 s＋2× s＝T，解得周期T＝ s；若开
始运动的方向向右直接向M点运动，运动路线
如图乙所示，
则有3 s＋2× s＝T′，解得周期T′＝16 s。故选AD。
简谐运动多解的成因
1．周期性造成多解：物体经过同一位置可以对应不同的时刻，物体的位移、加速度相同，而速度可能相同，也可能等大反向，从而形成多解问题。
2．对称性造成多解：由于简谐运动具有对称性，因此当物体通过两个对称位置时，其位移、加速度大小相同，而速度可能相同，也可能等大反向，这样也会形成多解问题。　　
规律总结
变式拓展．(多选)一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过2 s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过1 s第二次经过M点，则该质点再需要多长时间第三次经过M点
A． s B． s
C．7 s D．9 s
√
√
若质点开始运动的方向先向左，再向右向M点运动，运动路线如图1所示，可得振动的周期T＝，则质点再需要经过时间t＝T－1 s＝ s第三次通过M点；若质点开始运动的方向向右，则直接向M点运动，运动线路如图2所示，振动的周期T′＝×4＝10 s，则质点再需要经过时间t′＝T′－1 s＝9 s第三次通过M点。故选BD。
针对练．(多选)一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则
A．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C．若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子振动的加速度一定相等
D．若Δt＝，则在t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度一定不相等
√
√
如图所示，图中的a、b、c三点位移大小
相等、方向相同，显然Δt不等于T的整数
倍，A错误；图中的a、d两点的位移大小
相等、方向相反，Δt<，B错误；在相隔
一个周期T的两个时刻，振子位于同一位置，其位移相同，合力相同，加速度必相等，C正确；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度一定不相等，D正确。故选CD。
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课堂回眸
课时测评
1．如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，
O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，小球完成
30次全振动所用时间为60 s，则
A．振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振动频率是2 Hz
C．小球完成一次全振动通过的路程是8 cm
D．小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
√
由题意可知，周期T＝ s＝2 s，振幅A＝
＝4 cm，则频率f＝ Hz＝0.5 Hz，A、B错
误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的
4倍，即s＝4A＝16 cm，C错误；小球在3 s内通过的路程s′＝×4×4 cm＝24 cm，D正确。故选D。
2．两个简谐运动的振动图像如图所示，则下列说法正确的是
A．A的相位比B超前
B．A的相位比B落后
C．A的相位比B超前π
D．A的相位比B落后π
√
A、B简谐运动的表达式分别为xA＝A sin t，xB＝A cos t＝ A sin ，所以Δφ＝，则B的相位比A超前，也就是说A的相位比B落后。故选B。
3．一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知
A．质点振动的频率是4 Hz，振幅是2 cm
B．质点每经过1 s通过的路程总是2 cm
C．0～3 s内，质点通过的路程为6 cm
D．t＝3 s时，质点的振幅为零
√
由题图可以直接看出振幅A＝2 cm，周期T＝4 s，
所以频率f＝0.25 Hz，故A错误；质点在1 s内即
个周期内通过的路程不一定等于一个振幅，故B
错误；t＝0时，质点在正向最大位移处，0～3 s
为，则质点通过的路程为3A＝6 cm，故C正确；振幅为质点偏离平衡位置的最大距离，与质点的位移有本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅为2 cm，故D错误。故选C。
4．(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝，x2＝，下列说法正确的是
A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致
√
√
它们的振幅分别是4 cm、5 cm，A错误；ω都是100π rad/s，所以周期都是T＝ s，B正确；Δφ＝，可知相位差恒定，C正确；Δφ≠0，则振动步调不一致，D错误。故选BC。
5．有一竖直的弹簧振子，小球静止时弹簧伸长量为L。现将小球从平衡位置O下拉一段距离A，由静止释放并开始计时。已知小球做简谐运动的周期为T，以O点为坐标原点，取竖直向下为正方向，则小球的位移x随时间t的表达式为
A．x＝A sin B．x＝A sin
C．x＝(L＋A)sin D．x＝(L＋A)sin
√
已知小球做简谐运动的周期为T，所以ω＝，由题意知小球在t＝0时位移为A，所以小球的振幅为A，初相φ0＝，则小球的位移x随时间t的表达式为x＝A sin 。故选A。
6．(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在0～10 s内质点经过的路程为20 cm
C．在第5 s末，质点速度为零，加速度最大
D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等
√
√
√
由题图可知周期T＝4 s，则频率f＝＝0.25 Hz，
A错误；质点在一个周期内通过的路程是振幅
的4倍，则在0～10 s内质点经过的路程s＝
4×2 cm＝20 cm，B正确；在第5 s末，质点位
于最大位移处，速度为零，加速度最大，C正确；由题图可以看出，在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点位移大小相等，D正确。故选BCD。
√
7．如图所示，一质点在a、b间做简谐运动，O是
它振动的平衡位置。若从质点经过O点开始计时，
经3 s质点第一次到达M点，再经2 s它第二次经过M点。则该质点的振动图像可能是
根据题意，从质点经过O点开始计时，质点可能向右经3 s第一次到达M点，再经2 s经过b点第二次经过M点，故周期T＝×4 s＝16 s；也可能向左先经过a点第一次到达M点，再经过b点第二次经过M点，故周期T′＝×4 s＝ s。故选B。
8．如图所示为在光滑水平面上的弹簧振子，弹簧形变的最大限度为 20 cm，图中P位置是弹簧振子处于自然伸长状态的位置，若将振子A向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s后振子A第一次回到P位置，关于该弹簧振子，下列说法正确的是
A．该弹簧振子的振动频率为1 Hz
B．在P位置给振子A任意一个向左或向右的初
速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过0.5 s速度就降为0
C．若将振子A向左拉动2 cm后由静止释放，振子A连续两次经过P位置的时间间隔是2 s
D．若将振子A向右拉动10 cm后由静止释放，经过1 s振子A第一次回到P位置
√
将振子A向右拉动5 cm后由静止释放，经过0.5 s
后振子A第一次回到P位置经历，所以周期T＝
4×0.5 s＝2 s，振动的频率f＝ Hz，A错误；振动的周期与振幅的大小无关，在P位置给振子A任意一个向左或向右的初速度，只要最大位移不超过20 cm，总是经过T＝0.5 s到达最大位移处，速度降为0，B正确；振动的周期与振幅的大小无关，振子A连续两次经过P位置的时间间隔是半个周期，即1 s，C错误；振动的周期与振幅的大小无关，所以若将振子A向右拉动10 cm后由静止释放，经过0.5 s 振子A第一次回到P位置，D错误。故选B。
9．(2025·黑龙江大庆高二期末) 如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a点到b点历时0.2 s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b点再回到a点的最短时间为0.4 s，则该振子的振动频率为
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
√
由于振子在a、b两点的速度相同，则a、b两点关于O点是对称的，所以从O点到b点的时间为0.1 s；而从b点再回到a点的最短时间为0.4 s，则从b点再回到b点的最短时间为0.2 s，所以从b点到最大位移处的最短时间为0.1 s，因此振子的振动周期T＝0.8 s，由f＝得f＝ Hz＝1.25 Hz。故选B。
10．一质点做简谐运动，先后以相同的速度依次通过A、B两点，历时1 s，质点通过B点后，再经过1 s，第二次通过B点，在这2 s内，质点的总路程是12 cm，则质点振动的周期和振幅分别可能为
A．2 s，6 cm B．4 s，6 cm
C．4 s，9 cm D．2 s，8 cm
√
做简谐运动的质点，先后以相同的速度依次通过A、B两点，可知这两点关于平衡位置O点对称，所以质点由A点到O点的时间与由O点到B点的时间相等。那么从O点到B点的时间t1＝，通过B点后再经过t＝1 s质点再次通过B点，则从B点到最大位移处的时间t2＝ s，因此质点振动的周期T＝4×(t1＋t2)＝4 s，则质点在2 s内的总路程的一半即为振幅，所以振幅A＝ cm＝6 cm。故选B。
11．(多选) 如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为y＝0.1sin (2.5πt) m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。以下判断正确的是
A．简谐运动的周期是1.25 s
B．h＝1.7 m
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D．t＝0.3 s时，物块与小球运动方向相同
√
√
简谐运动的周期T＝ s＝0.8 s，故A错误；t＝0.6 s
时，物块的位移y＝0.1sin (2.5π×0.6) m＝－0.1 m，物块在
负向最大位移处，对小球有h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，
故B正确；因为周期是0.8 s，所以0.6 s内物块运动的路程是
3A＝0.3 m，故C错误；t＝0.3 s大于小于，物块此时的状态为在平衡位置上方向下运动，与小球运动方向相同，故D正确。故选BD。
12．(16分)(2025·江苏常州市高二期中)弹簧振子以O点为平衡位置，在 M、N两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、N间的P点(未画出)以速度v向N点运动；在t＝0.2 s时刻，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时 刻，振子速度第二次变为－v。
(1)求弹簧振子的振动周期T；
答案：1 s
弹簧振子在0～0.5 s内的运动示意图如图甲所示，
P′为P关于O的对称点，由对称性可得周期T＝0.5
×2 s＝1.0 s。
(2)若M、N之间的距离为20 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
答案：160 cm
若M、N之间距离为20 cm，则振幅A＝×20 cm＝10 cm，振子在4.0 s内通过的路程s＝×4×10 cm＝160 cm。
(3)若M、N之间的距离为20 cm，以向右为正方向，从振子在M点开始计 时，写出弹簧振子位移随时间变化的表达式，并在给定的坐标系中画出一个周期内的振动图像。
答案：x＝0.1sin 　见解析图
根据A＝10 cm，ω＝＝2π rad/s，以向右为正方
向，从振子在M点开始计时，则弹簧振子位移随
时间变化的表达式x＝0.1sin m，振动图
像如图乙所示。
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