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(共17张PPT)
4.2.1　等差数列的概念
第四章　数列
第1课时　等差数列的概念与通项公式
4.2　等差数列
1.理解等差数列的概念，理解等差中项的概念；2.掌握等差数列的通项公式，能运用公式解决相关问题.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
a1＋(n－1)d
第2项
前一项
同一个常数
公差
d
A
a＋b
(请在括号中打“√”或“×”)
√
×
√
×
×
×
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
等差数列的概念
活学活用
D
利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数.若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
· ·
题后感悟
例2(1)已知6是t和2的等差中项，则t=(　　)
A.4 B.8
C.10 D.11
【解析】 因为6是t和2的等差中项，所以12=t＋2，解得t=10.
类型二
等差中项
C
D
活学活用
4，7
· ·
题后感悟
类型三
等差数列的通项公式及其应用
活学活用
· ·
题后感悟
概念：一般地，如果一个数列从
起，每一项与它的
的
差都等于
那么这个数列就叫做等差数列，这个常数
等差数列的概
叫做等差数列的
公差通常用字母
表示
概念的理解
(1)定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项
(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（因为同一个常数体现
等差数列的概念与通项公式
了等差数列的基本特征)
(3)公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的差，不要把被减数与
减数弄颠倒
(4)公差可以是正数、负数、零
等差
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，
中项
叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A=
等差数
如果等差数列{an的首项为a1，公差为d,那么该等差数列的通项公式
列的通
项公式
为an=
(1)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4，则{amn>4)一定是等差数
列.(
(2)常数列是等差数列.(
(3)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个
数列是等差数列.(
(4)任意两个实数都存在等差中项.(
(⑤)若a,b是方程x2+2x-8=0的两根，则a,b的等差中项为-2.()
(6)若数列{an满足an+1-a,=1(n>1,nEN为，则数列{an}是等差数列！4.2　等差数列
4.2.1　等差数列的概念
第1课时　等差数列的概念与通项公式
1.理解等差数列的概念,理解等差中项的概念;2.掌握等差数列的通项公式,能运用公式解决相关问题.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列的前4项分别为1,2,3,4,则{an}(n>4)一定是等差数列.(　×　)
(2)常数列是等差数列.(　√　)
(3)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　×　)
(4)任意两个实数都存在等差中项.(　√　)
(5)若a,b是方程x2+2x-8=0的两根,则a,b的等差中项为-2.(　×　)
(6)若数列满足an+1-an=1,则数列是等差数列.(　×　)
类型一　等差数列的概念
例1判断所给数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d.
(1)1,3,5,7,9,….
(2)9,6,3,0,-3,….
(3)1,3,4,5,6,….
(4)7,7,7,7,7,….
(5)1,,,,,….
解:(1)是,a1=1,d=2.(2)是,a1=9,d=-3.(3)不是.(4)是,a1=7,d=0.(5)不是.
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
活学活用
[2026·荆州中学检测] 下列数列是等差数列的是(　D　)
A.,,, B.1,,,
C.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0
【解析】 因为≠,所以排除A.因为-1≠,所以排除B.因为-1-1≠1-(-1),所以排除C.
利用定义法判断等差数列:从第2项起,检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数.若是同一个常数,则是等差数列,否则不是等差数列.
类型二　等差中项
例2(1)已知6是t和2的等差中项,则t=(　C　)
A.4 B.8 C.10 D.11
(2)已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则2m-n和2n-m的等差中项是(　D　)
A.8 B.6 C.4.5 D.3
【解析】 (1)因为6是t和2的等差中项,所以12=t+2,解得t=10.
(2)∵m+2n=8,2m+n=10,∴3m+3n=18,∴m+n=6,∴2m-n和2n-m的等差中项是=3.
活学活用
(1)已知1,x,y,10构成等差数列,则x,y的值分别为　4,7　.
(2)在△ABC中,B是A和C的等差中项,则cos B= 　.
【解析】 (1)由已知可得x是1和y的等差中项,即2x=1+y①,y是x和10的等差中项,即2y=x+10②,
由①②可得x=4,y=7.
(2)∵B是A和C的等差中项,∴2B=A+C.又A+B+C=π,∴B=,cos B=.
三个数a,b,c成等差数列的条件是b=(或2b=a+c),可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算.如要证{an}为等差数列,可证2an+1=an+an+2(n∈N*).
类型三　等差数列的通项公式及其应用
例3在等差数列{an}中:
(1)已知a5-a3=12,a12=20,求a1和d.
(2)已知a1=9,d=-2,an=-15,求n.
(3)已知a3=9,a9=3,求{an}的通项公式.
解:(1)因为a5-a3=12,所以a1+4d-(a1+2d)=12,即2d=12,解得d=6.
因为a12=a1+11d=20,所以a1=-46.故a1=-46,d=6.
(2)由an=a1+(n-1)d,a1=9,d=-2,an=-15,
得-15=9-2(n-1),解得n=13.
(3)设公差为d,由已知可得解得
所以an=a1+(n-1)d=11-(n-1)=-n+12.
活学活用
在等差数列中,a1+a5=8,a4=7.
(1)求数列的第10项.
(2)112是数列的第几项
(3)80到110之间有多少项
解:(1)设等差数列的公差为d,
则解得
则a10=a1+9d=-2+27=25.
(2)an=-2+(n-1)×3=3n-5,由112=3n-5,解得n=39,
所以112是数列的第39项.
(3)由80<3n-5<110,解得28所以n的取值为29,30,…,38,共10项.
1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.
2.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n, an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称为“知三求一”.

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