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(共20张PPT)
第四章　数列
第3课时　等差数列的性质及应用
4.2.1　等差数列的概念
4.2　等差数列
1.能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质；
2.能够运用等差数列的性质解决相关问题.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
pd1＋qd2
(n－m)d
ap＋aq
2ak
(1)在等差数列{an}中，若m＋n=p，则am＋an=ap(m，n，p∈N*).(　　)
(2)在等差数列{an}中，若am＋an=ap＋aq，则m＋n=p＋q(m，n，p，q∈N*).(　　)
(3)等差数列去掉前面若干项后，剩下的项仍构成等差数列.(　　)
(4)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{an＋3}是公差为d＋3的等差数列.　　(　　)
(5)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列.(　　)
(6)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列.(　　)
(请在括号中打“√”或“×”)
√
×
×
√
×
×
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
等差数列的性质应用
B
例1(1)在等差数列{an}中，已知a3＋a9=12，a2=4，则a10=(　　)
A.4　 　　 B.8
C.3　 　　 D.6
【解析】 ∵数列{an}为等差数列，
∴a2＋a10=a3＋a9=12.又∵a2=4，∴a10=12－4=8.
(2)在等差数列{an}中，若a3＋a6＋a20＋a23=36，则a13=　　　　.
【解析】∵数列{an}是等差数列，∴a3＋a6＋a20＋a23=4a13=36，∴a13=9.
9
(1)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7=450，求a2＋a8.
解：由等差数列的性质，可得a2 ＋a8=a3＋a7=a4＋a6=2a5.
又a3 ＋a4＋a5＋a6＋a7=450，所以5a5= 450，解得a5 =90，
因此a2＋a8=2a5=180.
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a2＋2b1=6，a4＋2b5=12，求a3＋2b3的值.
解：由等差数列的性质，得(a2＋2b1)＋(a4＋2b5)=2(a3＋2b3).
因为a2＋2b1=6，a4＋2b5=12，所以a3＋2b3=9.
活学活用
1.灵活运用等差数列的性质，可以减少运算量.令m=1，an=am＋(n－m)d即变为an=a1＋(n－1)d，可以帮助记忆.
2.等差数列运算的两种常用思路
(1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
(2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n=p＋q=2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an=ap＋aq=2ar.
· ·
题后感悟
类型二
灵活设元解决等差数列问题
活学活用
等差数列设未知量的技巧如下：
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可先设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可先设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….
这种设法称为对称项设法，可减少计算量.
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题后感悟
类型三
等差数列性质的综合问题
[2026·厦门一中检测] 在无穷等差数列{an}中，首项a1=3，公差d=－5，依次取出序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2.
解：∵a1=3，d=－5，∴an=3＋(n－1)×(－5)=8－5n.
∵数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，
∴b1=a3=－7，b2=a7=－27.
活学活用
(2)求数列{bn}的通项公式.
解：设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第n项，即bn=am，则m=3＋4(n－1)=4n－1，∴bn=am=a4n－1=8－5×(4n－1)=13－20n，即数列{bn}的通项公式为bn=13－20n.
(3)数列{bn}中的第503项是{an}中的第几项？
解：3＋4×(503－1)=2 011，
∴数列{bn}中的第503项是数列{an}中的第2 011项.
解决数列中的插项问题，要清楚插入数列的项数，以及新数列与原数列各项之间的关系；解决数列中的减项问题时，易错之处是不能确定数列中去掉的项数.
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题后感悟
活学活用
D
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题后感悟第3课时　等差数列的性质及应用
1.能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质;2.能够运用等差数列的性质解决相关问题.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap(m,n,p∈N*).(　×　)
(2)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*).(　×　)
(3)等差数列去掉前面若干项后,剩下的项仍构成等差数列.(　√　)
(4)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{an+3}是公差为d+3的等差数列.　　(　×　)
(5)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列.(　×　)
(6)若数列a1,a2,a3,a4,…是等差数列,则数列a1,a3,a5,…也是等差数列.(　√　)
类型一　等差数列的性质应用
例1(1)在等差数列{an}中,已知a3+a9=12,a2=4,则a10=(　B　)
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
A.4　 　　 B.8
C.3　 　　 D.6
(2)在等差数列{an}中,若a3+a6+a20+a23=36,则a13=　9　.
【解析】 (1)∵数列{an}为等差数列,
∴a2+a10=a3+a9=12.又∵a2=4,∴a10=12-4=8.
(2)∵数列{an}是等差数列,∴a3+a6+a20+a23=4a13=36,∴a13=9.
活学活用
(1)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8.
(2)已知数列{an},{bn}都是等差数列,a2+2b1=6,a4+2b5=12,求a3+2b3的值.
解:(1)由等差数列的性质,可得a2 +a8=a3+a7=a4+a6=2a5.
又a3 +a4+a5+a6+a7=450,所以5a5= 450,解得a5 =90,
因此a2+a8=2a5=180.
(2)由等差数列的性质,得(a2+2b1)+(a4+2b5)=2(a3+2b3).
因为a2+2b1=6,a4+2b5=12,
所以a3+2b3=9.
1.灵活运用等差数列的性质,可以减少运算量.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以帮助记忆.
2.等差数列运算的两种常用思路
(1)基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.
(2)巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.
类型二　灵活设元解决等差数列问题
例2 [2026·新昌中学检测] 已知四个数成等差数列,且是递增数列.这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.
解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则
因为该数列是递增数列,所以d>0,解得故此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.
活学活用
(1)已知三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数.
(2)已知四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
解: (1)设这三个数依次为a-d,a,a+d,
则
解得所以这三个数为4,3,2.
(2)设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),
依题意得a-d+a+d=2且(a-3d)(a+3d)=-8,
即a=1,a2-9d2=-8,
所以d2=1,所以d=1或d=-1.
又因为这四个数成递增等差数列,所以d>0,
所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
等差数列设未知量的技巧如下:
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….
这种设法称为对称项设法,可减少计算量.
类型三　等差数列性质的综合问题
角度1　增减项问题
例3 已知等差数列-2,1,4,7,10,…,现在在其每相邻两项之间插入一个数,使之成为一个新的等差数列.
(1)求新数列的通项公式.
(2)a2 026是原数列中的项吗 若是,求出它是第几项;若不是,请说明理由.
解:(1)设原等差数列为,公差为d,则b1=-2,b2=1,
所以d=b2-b1=3,
则bn=b1+(n-1)d=3n-5.
因为在其每相邻两项之间插入一个数,则数列的公差d'=,
所以an=-2+(n-1)×n-.
(2)a2 026不是原数列中的项.理由如下:
由题知数列的各项依次是数列的第1,3,5,7,…项,这些下标构成一个首项为1,公差为2的等差数列,
则cn=2n-1.
令2n-1=2 026,解得n= N*,
所以a2 026不是原数列中的项.
活学活用
[2026·厦门一中检测] 在无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2.
(2)求数列{bn}的通项公式.
(3)数列{bn}中的第503项是{an}中的第几项
解:(1)∵a1=3,d=-5,∴an=3+(n-1)×(-5)=8-5n.
∵数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…,
∴b1=a3=-7,b2=a7=-27.
(2)设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第n项,即bn=am,则m=3+4(n-1)=4n-1,∴bn=am=a4n-1=8-5×(4n-1)=13-20n,即数列{bn}的通项公式为bn=13-20n.
(3)3+4×(503-1)=2 011,
∴数列{bn}中的第503项是数列{an}中的第2 011项.
解决数列中的插项问题,要清楚插入数列的项数,以及新数列与原数列各项之间的关系;解决数列中的减项问题时,易错之处是不能确定数列中去掉的项数.
角度2　公共项问题
例4 已知两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这个新数列的项数.
解: 等差数列2,6,10,…,190的首项为2,公差为4;等差数列2,8,14,…,200的首项为2,公差为6.故这两个等差数列的公共项2,14,26,…也是等差数列,设为.
因为等差数列{cn}的首项为2,公差为4和6的最小公倍数,即为12,所以cn=2+(n-1)×12=12n-10,所以12n-10≤190,所以n≤.因为n∈N*,所以新数列的项数为16.
活学活用
已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=2n-1,bn=3n-2,由这两个数列的公共项按从小到大的顺序排列所得到的数列为,则数列的通项公式为(　D　)
A.cn=3n-2　　
B.cn=4n-2
C.cn=5n-4
D.cn=6n-5
【解析】 对于数列,an=2n-1,则a1=2×1-1=1,an+1-an=[2(n+1)-1]-(2n-1)=2,
所以数列是首项为1,公差为2的等差数列.
同理,可知数列是首项为1,公差为3的等差数列,
由这两个数列的公共项从小到大排列得到的数列为,则{cn}是首项为1,公差为6的等差数列,
故cn=1+(n-1)×6=6n-5.
求两个等差数列的公共项的方法
若等差数列,的公差分别为d1,d2,则数列,的公共项仍然构成一个等差数列,其公差为d1与d2的最小公倍数,首项为数列和的第一个公共项.

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