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4.3.1　等比数列的概念
第四章　数列
第1课时　等比数列的概念与通项公式
4.3　等比数列
1.理解等比数列的概念，理解等比中项的概念；
2.掌握等比数列的通项公式，能够用公式解决相关问题；
3.掌握等比数列的判断与证明方法.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
a1qn－1
同一个常数
公比
等比中项
G2=ab
G2=ab
(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比为常数，则该数列为等比数列.(　　)
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零.(　　)
(3)常数列一定为等比数列.(　　)
(4)任何两个数都有等比中项.(　　)
(5)在等比数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它的前一项和后一项的等比中项.(　　)
(6)在等比数列{an}中，a3是a1与a5的等比中项，a1与a5的等比中项是a3.
(　　)
(请在括号中打“√”或“×”)
√
×
×
×
×
×
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
等比数列的概念
(3)1，0，1，0，1，0，….
解：不是等比数列.
(4)1，－4，16，－64，256，….
解：是等比数列，公比为－4.
(5)a，a，a，a，a，….
解：当a=0时，不是等比数列；当a≠0时，是等比数列，公比为1.
活学活用
D
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，含参的数列需要分类讨论.
· ·
题后感悟
例2(1)1与2 025的等比中项为　　　　　.
【解析】设1与2 025的等比中项为x，所以x2=1×2 025，所以x=±45.
(2)已知等比数列{an}中的前三项为a，2a＋2，3a＋3，则实数a的值为
　 　　　.
【解析】由题意知(2a＋2)2=a(3a＋3)，解得a=－1或a=－4.
当a=－1时，第2，3项均为0，故a=－1应舍去.
当a=－4时，经检验符合题意.综上所述，a=－4.
类型二
等比中项
±45
－4
(1)若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为(　　)
A.－3 B.3
C.－9 D.9
【解析】 因为数列1，a，b，c，9是等比数列，所以b2=1×9，解得b=3或b=－3.
当b=－3时，不满足1×b=a2，故舍去；
当b=3时，经检验符合题意，所以b=3.
活学活用
B
A
涉及3个数成等比数列时，常利用等比中项列式求解.使用等比中项时，要注意：只有同号的两个数才有等比中项；等比中项符号的选择要参考题意.
· ·
题后感悟
类型三
等比数列的通项公式及应用
活学活用
等比数列的通项公式涉及四个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个.在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.
· ·
题后感悟4.3　等比数列
4.3.1　等比数列的概念
第1课时　等比数列的概念与通项公式
1.理解等比数列的概念,理解等比中项的概念;2.掌握等比数列的通项公式,能够用公式解决相关问题;3.掌握等比数列的判断与证明方法.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比为常数,则该数列为等比数列.(　×　)
(2)等比数列的首项不能为零,但公比可以为零.(　×　)
(3)常数列一定为等比数列.(　×　)
(4)任何两个数都有等比中项.(　×　)
(5)在等比数列中,除第1项和最后一项外,其余各项都是它的前一项和后一项的等比中项.(　√　)
(6)在等比数列{an}中,a3是a1与a5的等比中项,a1与a5的等比中项是a3.(　×　)
类型一　等比数列的概念
例1判断所给数列是否是等比数列.如果是,写出它的公比.
(1)1,,,,,….
(2),,,,….
(3)1,0,1,0,1,0,….
(4)1,-4,16,-64,256,….
(5)a,a,a,a,a,….
解:(1)不是等比数列.(2)是等比数列,公比为.(3)不是等比数列.(4)是等比数列,公比为-4.(5)当a=0时,不是等比数列;当a≠0时,是等比数列,公比为1.
活学活用
下列各组数能构成等比数列的是(　D　)
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
A.,, B.lg 3,lg 9,lg 27
C.1,0,0 D.3,-3,9
【解析】 A选项,≠,故不是等比数列.B选项,lg 9÷lg 3≠lg 27÷lg 9,故不是等比数列.C选项,由等比数列的定义知各项不为0,故不是等比数列.D选项,(-3)2=3×9,是等比数列.
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列是等比数列,否则,不是等比数列,且等比数列中任意一项不能为0,含参的数列需要分类讨论.
类型二　等比中项
例2(1)1与2 025的等比中项为　±45　.
　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　
(2)已知等比数列{an}中的前三项为a,2a+2,3a+3,则实数a的值为　-4　.
【解析】 (1)设1与2 025的等比中项为x,所以x2=1×2 025,所以x=±45.
(2)由题意知(2a+2)2=a(3a+3),解得a=-1或a=-4.
当a=-1时,第2,3项均为0,故a=-1应舍去.
当a=-4时,经检验符合题意.
综上所述,a=-4.
活学活用
(1)若数列1,a,b,c,9是等比数列,则实数b的值为(　B　)
A.-3 B.3 C.-9 D.9
(2)已知在等比数列{an}中,a4=48,a8=3,则a4与a8的等比中项为(　A　)
A.12 B.-12 C.±12 D.30
【解析】 (1)因为数列1,a,b,c,9是等比数列,所以b2=1×9,解得b=3或b=-3.
当b=-3时,不满足1×b=a2,故舍去;
当b=3时,经检验符合题意,所以b=3.
(2)在等比数列{an}中,a4与a8的等比中项为a6,且a6的符号与a4的符号相同,所以a4与a8的等比中项为=12.
涉及3个数成等比数列时,常利用等比中项列式求解.使用等比中项时,要注意:只有同号的两个数才有等比中项;等比中项符号的选择要参考题意.
类型三　等比数列的通项公式及应用
例3[2026·长沙一中检测] 已知数列{an}是公比为q的等比数列.
(1)若a2=2,a5=54,求{an}的通项公式.
(2)若a1=125,q=0.2,an=3.2×10-4,求n.
解:(1)由等比数列{an}的通项公式可知
②÷①得q3=27,即q=3.
因此,a1=.
因此,数列{an}的通项公式是an==2×.
(2)由等比数列{an}的通项公式,得
an=a1=125×.
又an=3.2×10-4=5-5,
所以=5-5,解得n=9.
活学活用
已知在等比数列{an}中,
(1)a1=1,a4=8,求an.
(2)an=625,n=4,q=5,求a1.
(3)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
解:(1)因为a4=a1q3,
所以8=q3,所以q=2,
所以an=a1qn-1=2n-1.
(2)a1==5,故a1=5.
(3) 因为
由,得q=,从而a1=32.
又an=1,所以32×=1,即26-n=20,解得n=6.
等比数列的通项公式涉及四个量a1,an,n,q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个.在这四个量中,a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,问题便迎刃而解.

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