资源简介

(共19张PPT)
4.2.2　等差数列的前n项和公式
第四章　数列
第1课时　等差数列的前n项和公式及性质
4.2　等差数列
1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法；2.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题；3.理解等差数列前n项和的性质并学会运用；4.借助等差数列理解Sn与an的关系，并了解等差数列的前n项和Sn与二次函数的关系.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
(请在括号中打“√”或“×”)
×
×
×
×
×
×
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
等差数列前n项和公式的基本运算
活学活用
a1 ，d，n称为等差数列的三个基本量， an和Sn都可以用这三个基本量来表示，在a1，d，n，an和Sn五个量中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决等差数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.
· ·
题后感悟
类型二
利用an与Sn的关系判断等差数列
活学活用
· ·
题后感悟
类型三
等差数列前n项和的性质
B
－18
活学活用
A
－110
求等差数列的前n项和除了利用其公式之外，还要注意利用等差数列项的性质以及求和公式的性质，这样能节约时间并减少计算错误.
· ·
题后感悟4.2.2　等差数列的前n项和公式
第1课时　等差数列的前n项和公式及性质
1.掌握等差数列前n项和公式的推导方法;2.掌握等差数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题;3.理解等差数列前n项和的性质并学会运用;4.借助等差数列理解Sn与an的关系,并了解等差数列的前n项和Sn与二次函数的关系.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)只有在等差数列中,S1才等于a1.(　×　)
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8,S12成等差数列.(　×　)
(3)不存在这样的n的值,使公差为正数的等差数列前n项和Sn等于0.(　×　)
(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S10+S20=S30.(　×　)
(5)等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数.(　×　)
(6)若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An,Bn,则一定有.(　×　)
类型一　等差数列前n项和公式的基本运算
例1已知在等差数列{an}中,
(1)a1=1,a4=7,求S9.
(2)a3+a15=40,求S17.
(3)a1=,an=-,Sn=-5,求n和d.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=1+3d=7,
所以d=2. 故S9=9a1+d=9+×2=81.
(2)S17==340.
(3)由题意得Sn==-5,解得n=15.
又a15=+(15-1)d=-,所以d=-.
所以n=15,d=-.
活学活用
[2026·嘉兴一中检测] 已知在等差数列{an}中,
(1)a3=16,S20=20,求S10.
(2)a1=,d=-,Sn=-15,求n及a12.
(3)a1+a2+a3+a4=40,an-3+an-2+an-1+an=80,Sn=210,求项数n.
解:(1)设等差数列的公差为d,
则解得
所以S10=10×20+=200-90=110.
(2)因为Sn=n+·=-15,
整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),
所以a12=+(12-1)×=-4.
(3)因为a1+a2+a3+a4=40,an-3+an-2+an-1+an=80,
可得4(a1+an)=40+80,即a1+an=30.
又因为Sn==210,所以n==14.
a1 ,d,n称为等差数列的三个基本量, an和Sn都可以用这三个基本量来表示,在a1,d,n,an和Sn五个量中,可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决等差数列运算的基本方法.在运算中要注意等差数列性质的应用.
类型二　利用an与Sn的关系判断等差数列
例2若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,求数列{an}的通项公式,并判断数列{an}是否是等差数列.若是,请证明;若不是,请说明理由.
解:当n=1时,a1=S1=-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5.
经检验,当n=1时,a1=-1满足上式,故an=4n-5.
数列{an}是等差数列,证明如下:因为an+1-an=4(n+1)-5-4n+5=4,所以数列{an}是等差数列.
活学活用
已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n-1,求数列{an}的通项公式,并判断它是不是等差数列.
解:当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-
=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1]=2n.
又a1=1不满足an=2n,∴数列{an}的通项公式为an=∵a2-a1=4-1=3≠a3-a2=2,
∴数列{an}中前2项的差与第2,3项的差不是同一个常数,∴{an}不是等差数列,数列{an}是从第2项起以2为公差的等差数列.
由Sn求通项公式an,若Sn是关于n的二次函数,不含常数项,则由Sn求得an,数列{an}是等差数列;否则an=数列{an}不是等差数列.
类型三　等差数列前n项和的性质
例3(1)设Sn为等差数列的前n项和,已知S3=4,S6=10,则a16+a17+a18=(　B　)
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
A.12 B.14 C.16 D.18
(2)[2026·长沙一中检测] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-10,=1,则S9=　-18　.
【解析】 (1)由等差数列前n项和的性质,知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12,S18-S15成等差数列,由S3=4,S6-S3=6,得该数列的首项为4,公差为2,所以a16+a17+a18=S18-S15=4+5×2=14.
(2)设等差数列{an}的公差为d,由等差数列前n项和公式可知=a1+d,可得为定值,所以为等差数列.
又=1,即是以-10为首项,1为公差的等差数列,所以=-10+8×1=-2,从而S9=-18.
活学活用
(1)设等差数列,的前n项和分别为Sn,Tn,且,则=(　A　)
A. B. C. D.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=100,S100=10,则S110=　-110　.
【解析】 (1)因为等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且,
所以.
(2)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
∵S10=100,S100=10,
∴解得
∴S110=110a1+d
=110×=-110.
求等差数列的前n项和除了利用其公式之外,还要注意利用等差数列项的性质以及求和公式的性质,这样能节约时间并减少计算错误.

展开更多......

收起↑