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(共17张PPT)
4.3.1　等比数列的概念
第四章　数列
第2课时　等比数列的判定与实际应用
4.3　等比数列
1.理解等比数列的通项公式与指数函数的关系；
2.掌握等比数列的判定及证明方法；
3.能根据实际情境构造等比数列模型，会运用等比数列的通项公式解决实际问题.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
a1qn－1
an－1an＋1
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
等比数列的通项公式与指数函数的关系
A
B
活学活用
A
D
· ·
题后感悟
类型二
等比数列的判定与证明
活学活用
· ·
题后感悟
类型三
等比数列的实际应用
活学活用
B
等比数列实际应用问题的求解策略
(1)一般地，产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖问题等实际问题，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解.
(2)建立等比数列模型进行运算时，往往涉及指数、对数方程或不等式等问题，要注意运算的正确性，还要善于进行估算，对于近似计算问题，答案要符合实际问题的需要.
· ·
题后感悟
用函数思想理解等比数列的通项公式
当g>0且9≠1时，等比数列a的第n项a是函数-号·xcR当x=
n时的函数值，即a=fn)
等比数
列的通
等比数列的单调性
项公式
与指数
(1)当
fa>0,
或
1g>1
时，等比数列{an}为递增数列
等比数列的判定
函数的
关系
(2)当
时，等比数列{an}为递减数列
(3)当q=1时，等比数列{an}为常数列
判定与证
(1)
明等比数
定义法：是=g(m∈N且n2,9为不为0的常数)
(2)等比中项法：a=
(n∈N*且n≥2)
列的方法
(3)通项公式法：am=
q
·q=A·q(A≠0)
【解析】由已知a(
a∈R),则a-a
=1024,件得=2048，
a=248×(=月
010
【解折】在等比数列{am]中，a+1>am,即a1>1-1
因为≤0，所以m<-1,即-（夏一1）<0
因为数列aJ对任意正整数都有aa+1>aw,所以q>0,且q-1<0,解
得引2026·石家庄一中检测
【解析】
可得g>1,于是数列{a为递塔
数列：反之不成立，例如数列
是递增数列，但1=
:.“ 2>1>0”是“数列{a}为递增数列的充分不必要条件第2课时　等比数列的判定与实际应用
1.理解等比数列的通项公式与指数函数的关系; 2.掌握等比数列的判定及证明方法; 3.能根据实际情境构造等比数列模型,会运用等比数列的通项公式解决实际问题.
类型一　等比数列的通项公式与指数函数的关系
　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　
例1 (1)已知数列{an}满足a1=1 024,点(n,an)在函数y=a(a∈R)的图象上,则a10=(　A　)
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)在等比数列{an}中,首项a1<0,要使数列{an}对任意正整数n都有an+1>an,则公比q应满足(　B　)
A.q>1
B.0C.D.-1【解析】 (1)由已知an=a(a∈R),则a1=a=1 024,解得a=2 048,
∴an=2 048×,∴a10==2.
(2)在等比数列中,an+1>an,即a1qn>a1qn-1.
因为a1<0,所以qn因为数列对任意正整数n都有an+1>an,所以q>0,且q-1<0,解得0活学活用
(1)[2026·石家庄一中检测] 数列{an}是各项均为实数的等比数列,则“a2>a1>0”是“数列{an}为递增数列”的(　A　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知q是等比数列{an}的公比,则“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的(　D　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 (1)∵a2>a1>0,∴a1q>a1>0,可得q>1,于是数列{an}为递增数列;反之不成立,例如数列是递增数列,但a1=-<0.
∴“a2>a1>0”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.
(2)已知q是等比数列{an}的公比,当a1=1,q=-1时,满足a1(1-q)>0,但数列{an}不是递增数列.
当数列{an}是递增数列时,不妨令an=2n,则a1=2,q=2,不满足a1(1-q)>0.
故“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件.
若数列为“an=kan(k≠0)”的形式,如an=2n-1,an=3,则其为等比数列.
类型二　等比数列的判定与证明
例2已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=(an-1)(n∈N*).
(1)求a1,a2.
(2)求证:数列{an}是等比数列.
解:(1)由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),所以a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.
(2)证明:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),整理得=-.又a1=-,
所以数列{an}是首项为-,公比为-的等比数列.
活学活用
已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,公比为q,证明数列{}是等比数列,并求该数列的公比.
解:因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,公比为q,故=q(q>0,n≥2),所以为常数,故数列{}是等比数列,该数列的公比为.
判定一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或=q(n≥2,且n∈N*,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法:若=anan+2(n∈N*且an≠0),则数列{an}为等比数列.
需要说明的是:常用方法(1)(2)适用于任何题型,强调推理过程,而常用方法(3)适用于选择、填空题,强调结论的应用.
类型三　等比数列的实际应用
例3[2026·桐乡高级中学检测] 我国西部某地区进行沙漠治理,该地区有土地1万平方千米,其中70%是沙漠,从今年起,该地区进行绿化改造,每年把原有沙漠的16%改造为绿洲,同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设从今年起第n年绿洲面积为an万平方千米.
(1)求an与an-1(n≥2)的关系.
(2)至少经过几年,绿洲面积可超过60% (参考数据:lg 2≈0.301 0)
解:(1)由题意得an=(1-4%)an-1+(1-an-1)×16%=0.96an-1+0.16-0.16an-1=0.8an-1+0.16=an-1+,∴an=an-1+(n∈N*,n≥2).
(2)由(1)得an=an-1+,
∴an-.又a1=,
∴a1-=-,
∴是以-为首项,为公比的等比数列,
∴an-=-,即an=-.
令an>,得,
两边取常用对数得(n-1)lg∴n-1>≈≈4.1,∴n>5.1,
∴至少经过6年,绿洲面积可超过60%.
活学活用
某牧场今年年初牛的存栏数为1 200,预计以后每年存栏数的增长率为10%,且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn},且c1=1 200,则c10大约为(参考数据:1.18≈2.1,1.19≈2.4,1.110≈2.6,1.111≈2.9)(　B　)
A.1 420 B.1 480 C.1 520 D.1 580
【解析】 依题意,当n≥2时,cn=(1+10%)cn-1-100=1.1cn-1-100,则cn-1 000=1.1(cn-1-1 000),
于是数列是首项为c1-1 000=200,公比为1.1的等比数列,
则cn-1 000=200×1.1n-1,即cn=200×1.1n-1+1 000,所以c10=200×1.19+1 000≈200×2.4+1 000=1 480.
等比数列实际应用问题的求解策略
(1)一般地,产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖问题等实际问题,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解.
(2)建立等比数列模型进行运算时,往往涉及指数、对数方程或不等式等问题,要注意运算的正确性,还要善于进行估算,对于近似计算问题,答案要符合实际问题的需要.

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