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4.3.2　等比数列的前n项和公式
第四章　数列
第1课时　等比数列的前n项和公式及性质
4.3　等比数列
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式；
2.会求解与等比数列前n项和有关的基本运算；
3.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
对应项积
错位相减法
(请在括号中打“√”或“×”)
√
×
×
×
×
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
等比数列前n项和公式及其应用
活学活用
在等比数列前n项和公式的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除以达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.(注意q=1和q≠1的讨论)
· ·
题后感悟
类型二
等比数列前n项和的性质及应用
活学活用
D
2
1.“片段和”性质，即Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，注意：q=－1且n为偶数时不适用，公比为qn.
2.在等比数列{an}中，若项数为偶数，则有S偶=qS奇，且Sn=S偶＋S奇.
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题后感悟4.3.2　等比数列的前n项和公式
第1课时　等比数列的前n项和公式及性质
1.探索并掌握等比数列的前n项和公式;2.会求解与等比数列前n项和有关的基本运算;3.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=.(　×　)
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列,则其前n项和Sn=na.(　√　)
(3)在等比数列{an}中,Sn是其前n项和,则S2n,S4n,S6n成等比数列.(　×　)
(4)已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,则S10,S20-S10,S30-S20,…仍是等比数列.(　×　)
(5)等比数列的前n项和Sn不可能为0.(　×　)
类型一　等比数列前n项和公式及其应用
例1 [2026·温州中学检测] 在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn.
(1)若a1=8,an=,Sn=,求n.
(2)若S3=,S6=,求an及Sn.
解:(1)显然q≠1.
由Sn=,得,解得q=.
又因为an=a1qn-1,
即8×,所以n=6.
(2)由S6≠2S3知q≠1.
由题意得
②÷①,得1+q3=9,所以q3=8,即q=2.
代入①,得a1=,
所以an=a1qn-1=×2n-1=2n-2,Sn==2n-1-.
活学活用
已知数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn.
(1)若a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
(2)若a1=1,S6=4S3,求Sn.
解:(1)设等比数列的公比为q,由题设得
解得或
当a1=3,q=2时,an=3×2n-1,Sn=3×(2n-1);
当a1=2,q=3时,an=2×3n-1,Sn=3n-1.
(2)设等比数列的公比为q,
当q=1时,S6=6≠4S3=12,不符合题意;
当q≠1时,由S6=4S3,
得,
所以1-q6=4(1-q3),则(q3-1)(q3-3)=0,
则q3=3或q3=1(舍去),
解得q=,所以Sn=.
在等比数列前n项和公式的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除以达到整体消元的目的,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.(注意q=1和q≠1的讨论)
类型二　等比数列前n项和的性质及应用
例2(1)在等比数列中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.
(2)[2026·宣城中学检测] 一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.
解:(1)∵为等比数列,由Sn=48,S2n=60知数列的公比不等于-1,
∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,
∴,则,
∴S3n=×12+60=63.
(2)设等比数列的公比为q,项数为2n(n∈N*).
记S偶=a2+a4+…+a2n,S奇=a1+a3+…+a2n-1,
则S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇q,
∴q==2,则S2n=S奇+S偶=85+170=255.
根据S2n=,得=255,解得2n=8.
∴此数列的公比为2,项数为8.
活学活用
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
(1)记Sn为等比数列的前n项和,若a4+a5+a6=-3,a7+a8+a9=9,则S15=(　D　)
A.-81 B.81
C.50 D.61
(2)若等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+)-(a2+a4+…+)=80,则公比q=　2　.
【解析】 (1)由题可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,S15-S12成等比数列,
所以=S3(S9-S6),即(-3)2=S3×9,得S3=1,所以=-3,
则S12-S9=a10+a11+a12=9×(-3)=-27,S15-S12=a13+a14+a15=-27×(-3)=81,
所以S15=1+(-3)+9+(-27)+81=61.
(2)由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,∴S奇=-80,S偶=-160,
∴q==2.
1.“片段和”性质,即Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列,注意:q=-1且n为偶数时不适用,公比为qn.
2.在等比数列{an}中,若项数为偶数,则有S偶=qS奇,且Sn=S偶+S奇.

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