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第四章　数列
4.4*　数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理；
2.掌握用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤；
3.能用数学归纳法证明一些数学命题.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
n=k＋1
(1)数学归纳法的第一步中n0的初始值一定为1.(　　)
(2)数学归纳法的两个步骤缺一不可.(　　)
(3)与自然数n有关的问题都可以用数学归纳法来证明.(　　)
(4)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，就可以不用进行假设.(　　)
(5)用数学归纳法证明等式时，由n=k到n=k＋1，等式的项数一定增加了一项.(　　)
(请在括号中打“√”或“×”)
√
×
×
×
×
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
数学归纳法的理解
6
未用归纳假设进行递推
活学活用
D
数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律.
(3)利用假设是核心：在第二步证明当n=k＋1也成立时，一定要利用归纳假设.
· ·
题后感悟
类型二
数学归纳法证明等式、不等式问题
活学活用
用数学归纳法证明与正整数n有关的等式问题时，要“先看项”，即弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n=k到n=k＋1，等式两边会增加哪些项，减少哪些项.
· ·
题后感悟
活学活用
用数学归纳法证明不等式的注意事项
(1)在归纳递推证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明.
(2)在推证“n=k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当地放缩、变形，便于应用所作假设，变换出要证明的结论.
· ·
题后感悟
类型三
归纳—猜想—证明
活学活用4.4*　数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理;2.掌握用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤;3.能用数学归纳法证明一些数学命题.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数学归纳法的第一步中n0的初始值一定为1.(　×　)
(2)数学归纳法的两个步骤缺一不可.(　√　)
(3)与自然数n有关的问题都可以用数学归纳法来证明.(　×　)
(4)在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,就可以不用进行假设.(　×　)
(5)用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的项数一定增加了一项.(　×　)
类型一　数学归纳法的理解
例1(1)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于　6　.
(2)用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下:
①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,
则当n=k+1时,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1,所以当n=k+1时等式也成立.
由此可知对于任何n∈N*,等式都成立.
上述证明中出现的错误是　未用归纳假设进行递推　.
【解析】 (1)由题意,得当n=1时,21<(1+1)2;当n=2时,22<(2+1)2;当n=3时,23<(3+1)2;当n=4时,24<(4+1)2;当n=5时,25<(5+1)2;当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于6.
(2)本题在由n=k成立证明n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用归纳假设进行递推,这与数学归纳法的要求不符.
活学活用
对于不等式(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1且k∈N*)时,不等式成立,即<
==(k+1)+1,
∴当n=k+1时,不等式成立,则上述证法(　D　)
A.过程全部正确
B.n=1验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
【解析】 在n=k+1时,没有应用n=k时的归纳假设,不是数学归纳法.
数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,要正确分析式子中项数的变化,弄清式子两边的构成规律.
(3)利用假设是核心:在第二步证明当n=k+1也成立时,一定要利用归纳假设.
类型二　数学归纳法证明等式、不等式问题
角度1　用数学归纳法证明等式问题
例2[2026·福州高级中学检测] 用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)(n∈N*).
证明:(1)当n=1时,左边=1+1=2,右边=2×1=2,∴左边=右边,故当n=1时,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)=2k×1×3×…×(2k-1),
则当n=k+1时,(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=×(2k+1)(2k+2)=2k+1×1×3×…×(2k-1)×(2k+1),
∴当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知,对任意n∈N*,等式都成立.
活学活用
用数学归纳法证明:(12+1)+(22+2)+…+(n2+n)=n(n+1)(n+2)(n为正整数).
证明:(1)当n=1时,左边=2,右边=×1×2×3=2,∴左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,
即(12+1)+(22+2)+…+(k2+k)=k(k+1)(k+2),
那么当n=k+1时,
(12+1)+(22+2)+…+(k2+k)+k(k+1)(k+2)+(k+1)2+(k+1)=k(k+1)(k+2)+(k+1)(1+k+1)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2],
故当n=k+1时,等式也成立.
由(1)(2)可知,等式对任意正整数n都成立.
用数学归纳法证明与正整数n有关的等式问题时,要“先看项”,即弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k到n=k+1,等式两边会增加哪些项,减少哪些项.
角度2　用数学归纳法证明不等式问题
例3已知n∈N*,n>2,求证:1++…+.
证明: (1)当n=3时,左边=1+,右边==2,左边>右边,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*,k>2)时,不等式成立,即1++…+,
则当n=k+1时,
1++…+ .
因为,
所以1++…+,
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由(1)(2)知,对一切n∈N*,n>2,不等式恒成立.
活学活用
用数学归纳法证明:2n+2>n2.
证明: (1)当n=1时,21+2>12,不等式成立;
当n=2时,22+2>22,不等式成立;
当n=3时,23+2>32,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N*,k>3)时不等式成立,即2k+2>k2,
则当n=k+1时,2k+1+2=2(2k+2)-2>2k2-2=(k+1)2+k2-2k-3.
因为k>3,所以k2-2k-3=(k-3)(k+1)>0,
从而2k+1+2>(k+1)2+k2-2k-3>(k+1)2,
所以2k+1+2>(k+1)2,
即当n=k+1时,原不等式也成立.
根据(1)和(2)可知,2n+2>n2对任意n∈N*都成立.
用数学归纳法证明不等式的注意事项
(1)在归纳递推证明过程中,方向不明确时,可采用分析法完成,经过分析找到推证的方向后,再用综合法、比较法等其他方法证明.
(2)在推证“n=k+1时不等式也成立”的过程中,常常要将表达式作适当地放缩、变形,便于应用所作假设,变换出要证明的结论.
类型三　归纳—猜想—证明
例4[2026·天一中学检测] 设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2-an(n∈N*).
(1)计算a1,a2,a3,a4,并猜想an.
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
解:(1)当n=1时,S1=2-a1,∴a1=1;
当n=2时,S2=a1+a2=2-a2,∴a2=;
当n=3时,S3=a1+a2+a3=2-a3,∴a3=;
当n=4时,S4=a1+a2+a3+a4=2-a4,∴a4=.
故猜想an=.
(2)下面用数学归纳法证明(1)中的猜想:
①当n=1时,a1==1,猜想成立.
②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=成立,
那么,当n=k+1时,-Sk=(2-)-(2-ak),
∴2=ak=,
∴,
即当n=k+1时,猜想成立.
由①②可知,猜想的an=对任意n∈N*均成立.
活学活用
已知数列{an}的前n项和为Sn,其中an=且a1=(n∈N*).
(1)求a2,a3的值,并猜想数列{an}的通项公式an.
(2)用数学归纳法加以证明.
解:(1)因为an=且a1=(n∈N*),
所以a2=,解得a2=.
因为a3=.
所以14a3=a1+a2=,解得a3=.
由a1=,a2=,a3=,…,猜想:an=.
(2)证明:①当n=1时,a1=,猜想成立;
②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=.
那么当n=k+1时,
由题设an=,得ak=,ak+1=,
所以Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1),
Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1,
则ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-,
因此k(2k+3)ak+1=,
所以ak+1=
=,
故当n=k+1时猜想也成立.
由①②可知,猜想的an=对任何n∈N*都成立.

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