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第四章　数列
素养微专题　数列通项公式的求法
1.掌握利用累加、累乘法求数列的通项公式；
2.会用递推公式构造等差(比)数列解决求通项公式问题；
3.会用前n项和Sn与an的关系求通项公式.
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
用累加、累乘法求数列的通项公式
活学活用
C
an=n·2n
· ·
题后感悟
类型二
用递推公式构造等差(比)数列求通项公式
活学活用
· ·
题后感悟
· ·
题后感悟
类型三
用前n项和Sn与an的关系求通项公式
活学活用
C
an=n
· ·
题后感悟
2
2X3
以上各式累加
得n
1X7
2X3
…+-=(红-)+传-影
因为aF-1,所以a。+1=1-,所以a。=一≥2)
又因为当1时，=-1，符合上式，所以a一元
解：当n≥2时，因为(2n+12.-2n-3)a元-1所以=
2一3
一1
2n+1
所以色匙
一1
135
2一52一3
3
019名
一2一
5
十
所以
2m-12n+1
又-1，所以a.2-m+
当-1时，=1特合上式，所以-或
2m+1
【解折】"21=1，=m-1+3n-2≥2)，.0m-0a-1-3n-2≥2)
a-2++(2-+1
-3n-2)+6m-++4+1【m-2*2-2
又.当1时，11，符合上式，
3九
【解析】.a+1=2(1+
+1
2以1+
=2+少
0=2X
2X2、2X3
一1
又a=2符合上式，所以a=2严
1.求形如an+=an+fn)的通项公式
将原来的递推公式转化为an+1-amfm,再用累加法（逐差相加法）求解，
即a,=a1+(a2-a)+(a3-a)+.+(an-an-1=a1+1)+2)+f3)+…
+fn-1),n≥2.
2.求形如an+1fn)an的通项公式
将原来的递推公式转化为1)，再利用累乘法（逐商相乘法）求解，
an
即f1,f2),
,,m-1),n2,累柔可得
2m-D,即a=a1f2-D，n≥2
2026·东莞中学检测
解：已知a=4-1+2(≥2)，等号两边同时除以2，
+1,
即222片+1
划b=2bm-1+1(n≥2)
令b+=2bm-1+—2
-b.=2b-1+-2b-1+1,则1,--b.+1=2bn-1+1)
则b。+1为等比数列，且首项为b+1-之+1=2，
公比为2，
.b+1=22m-=2,--b2-1　　　　　数列通项公式的求法
1.掌握利用累加、累乘法求数列的通项公式;2.会用递推公式构造等差(比)数列解决求通项公式问题;3.会用前n项和Sn与an的关系求通项公式.
类型一　用累加、累乘法求数列的通项公式
例1(1)已知数列{an}满足a1=-1,=an+,n∈N*,求数列{an}的通项公式.
(2)已知在数列{an}中,a1=1,当n∈N*且n≥2时,(2n+1)an=(2n-3),求数列{an}的通项公式.
解:(1)因为an+1-an=,所以a2-a1=,a3-a2=,a4-a3=,…,an-,
以上各式累加,得an-a1=+…++…+=1-.
因为a1=-1,所以an+1=1-,
所以an=-(n≥2).
又因为当n=1时,a1=-1,符合上式,所以an=-.
(2)当n≥2时,因为(2n+1)an=(2n-3),所以,
所以···…·····…··,所以.
又a1=1,所以an=(n≥2).
当n=1时,a1=1符合上式,所以an=,n∈N*.
活学活用
(1)已知数列满足a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2),则的通项公式为(　C　)
A.an=3n2　　　　　　　B.an=3n2+n
C.an= D.an=
(2)在数列中,若a1=2,an+1=2an,则的通项公式为　an=n·2n　.
【解析】 (1)∵a1=1,an=an-1+3n-2(n≥2),∴an-an-1=3n-2(n≥2),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=(3n-2)+(3n-5)+…+4+1=(n≥2).
又∵当n=1时,a1=1,符合上式,∴an=.
(2)∵an+1=2an,
∴=2,
故an=a1××…×=2××…×=2n×n.
又a1=2符合上式,所以an=n·2n.
1.求形如=an+f(n)的通项公式
将原来的递推公式转化为-an=f(n),再用累加法(逐差相加法)求解,即an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-)=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1),n≥2.
2.求形如=f(n)an的通项公式
将原来的递推公式转化为=f(n),再利用累乘法(逐商相乘法)求解,即=f(1),=f(2),…,=f(n-1),n≥2,累乘可得=f(1)·f(2)·…·f(n-1),即an=a1f(1)·f(2)·…·f(n-1),n≥2.
类型二　用递推公式构造等差(比)数列求通项公式
例2[2026·东莞中学检测] 已知数列满足an=4an-1+2n,a1=2,求数列的通项公式.
解:已知an=4an-1+2n(n≥2),等号两边同时除以2n,
得+1,即=2·+1.
令bn=,则bn=2bn-1+1(n≥2).
令bn+t=2(bn-1+t)=2bn-1+2t,
∴bn=2bn-1+t=2bn-1+1,则t=1,
∴bn+1=2(bn-1+1),n≥2,
则{bn+1}为等比数列,且首项为b1+1=+1=2,公比为2,
∴bn+1=2·2n-1=2n,
∴bn=2n-1,
∴=2n-1,即an=4n-2n.
活学活用
(1)若数列满足a1=1,且an=an-1+,则数列的通项公式an= 　.
(2)若数列满足a1=,且an+1=,则数列的通项公式为an= 　.
【解析】 (1)∵an=an-1+(n≥2),
∴3nan=3n-1an-1+1(n≥2),即3nan-3n-1an-1=1(n≥2).
又a1=1,∴31·a1=3,
∴数列是以3为首项,1为公差的等差数列,
∴3nan=3+(n-1)×1=n+2,
∴数列的通项公式an=.
(2)由an+1=两边取倒数可得+3,即=3,
所以数列是首项为2,公差为3的等差数列,
所以=2+3(n-1)=3n-1,所以an=.
an-1和an的递推关系较为复杂时,我们往往对原数列的递推关系进行变形,重新构造数列,使其变为我们熟悉的数列.具体有以下几种常见方法:
1.待定系数法
(1)一般地,对于an+1=kan+m(k,m为非零常数)型,可化为an+1+λ=k的形式.
(2)对于an+1=Aan+f(A为非零常数)型,一般我们讨论两种情况:
①当f为一次多项式时,即数列的递推关系为an+1=Aan+Bn+C型,可化为an+1+λ1+λ2=A的形式来求通项.
②对于an+1=Aan+B·Cn(A,B,C为常数)这种形式的递推关系求an时,我们可以采取等式左、右两边同除以Cn+1,当A=C时,得.当A≠C时,得·.
2.倒数法
(1)形如an=,b为非零常数,an≠0,n≥2),可采用取倒数的方法转化为+k的形式.
(2)形如man·an-1=an-1-an为非零常数,an≠0,n≥2),可两边同除以anan-1,转化为m=的形式,求出的表达式,再求an.
类型三　用前n项和Sn与an的关系求通项公式
例3[2026·慈溪中学检测] 已知数列,a1=,其前n项的和为Sn,且满足3·an=0,求数列的通项公式.
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
又因为3+(1-3Sn)·an=0,
所以3+(1-3Sn)·(Sn-Sn-1)=0,
即Sn-Sn-1+3SnSn-1=0,则=3.
又=3,所以数列是以3为首项,3为公差的等差数列,
所以=3+3(n-1)=3n,则Sn=,
从而当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-,
显然a1=不符合上式,
故数列的通项公式为an=
活学活用
(1)已知数列的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn,则an=(　C　)
A.3×4n　　 　　　　 B.3×4n+1
C. D.
(2)已知各项均为正数的数列的前n项和为Sn,且+an=2Sn,则数列的通项公式为　an=n　.
【解析】 (1)由an+1=3Sn可得an=3Sn-1(n≥2),两式相减得an+1-an=3an,即an+1=4an,n≥2.
又由a1=1可得a2=3a1=3,a2≠4a1,
∴当n≥2时,an=a2×4n-2=3×4n-2,
综上,an=
(2)由+an=2Sn得+an+1=2Sn+1,故两式相减可得+an+1-(+an)=2Sn+1-2Sn,化简得=an+1+an.
因为数列的各项均为正数,所以an+1+an>0,故an+1-an=1(常数).
又当n=1时,+a1=2S1=2a1,由于a1>0,故a1=1,
所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列,故an=n.
1.利用an=求通项公式时,要注意检验n=1时的情况.
2.已知数列的前n项和Sn的相关条件,求数列通项公式的基本思路有两条:①将和Sn转化为项an,即利用an=Sn-Sn-1将和转化为项.②将条件看作是数列的递推公式,先求出Sn,然后题目即转化为已知数列的前n项和Sn,再求数列的通项公式an.

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