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第五章 一元一次方程 5.2 解一元一次方程 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 七年级上册
姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________
第五章 一元一次方程 · 第 2 节 · 4 课时 ·
一、【入笋林】本节导航 · 学习目标
上一节，我们把"方程"这个新朋友认了下来：知道什么是方程、什么是一元一次方程，知道方程的解要代进去检验，还知道等式有两条性质。这一节要学的，是把方程真正解出来。
不妨把方程看成一支竹笋。笋的外面裹着好几层壳：散着的项是一层，跨过等号的项是一层，括号是一层，分母又是一层。解方程，就是按顺序把这几层壳一层层剥掉；剥到最里面，笋心就是方程的解——左边只剩一个 x，右边只剩一个数，也就是 x = a 的样子。
剥壳有固定的次序：先并项，再移动，接着去括号，最后去分母。这四层壳，正好对应本节的四个课时。四层剥完，再回头看整支笋，就能把解方程的一般步骤说清楚。
（一）四课时与教材页码
课时 教材页码 这一课时要弄明白的事 打勾
第 1 课时　用合并同类项解方程 P119—P121 把含 x 的项合并成一项，化成 ax = b 的形式；用方程解决"各部分量的和等于总量"的问题；课本 P121 练习 ○
第 2 课时　用移项解方程 P122—P124 什么叫做移项；移项为什么必须变号；解 ax+b=cx+d 型的方程；课本 P124 练习 ○
第 3 课时　用去括号解方程 P124—P126 去括号法则在解方程里的用法；解含括号的方程；课本 P126 练习 ○
第 4 课时　用去分母解方程 P126—P129 去分母的依据是等式的性质 2；解含分数系数的方程；归纳解方程的一般步骤；课本 P129 练习 ○
（二）学习目标
1. 会用合并同类项把方程化成 ax = b 的形式，并求出方程的解。
2. 理解移项的意义，知道移项必须变号，会解 ax+b=cx+d 型的方程。
3. 会用去括号法则解含括号的方程，括号前是"-"时括号内各项都变号。
4. 理解去分母的依据是等式的性质 2，会把分数系数的方程化成整数系数的方程。
5. 能说出解一元一次方程的一般步骤，解方程的每一步都写得出依据。
6. 体会把新问题化成已经会做的老问题的化归思想，养成把解代回原方程检验的习惯。
（三）学习重点与难点
项目 内容
学习重点 合并同类项、移项、去括号、去分母这四种变形；解一元一次方程的一般步骤
学习难点 移项要变号；括号前是"-"时去括号要全变号；去分母时不能漏乘不含分母的项，分子是多项式要添括号
（四）起跑热身
1. 合并同类项：① 3x+5x = ____________；② -2a+7a = ____________；③ 4y-9y+3y = ____________。
2. 去括号：① 2(x+3) = ____________；② -(x-5) = ____________；③ -3(2x-1) = ____________。
3. 先填空，再说说这样做的依据：由 x-7 = 5，两边都加上 7，得 x = ____________。
4. 由 3x = 12 得 x = ____________，这一步用到了等式的哪一条性质？
5. 说一说：你觉得"解方程"这件事，说到底是要把方程变成什么样子？
我的热身答案:
【预习提醒】热身前两题是本节要反复用到的两件旧工具：合并同类项和去括号。第 5 题问的是方向——把方程化成 x = a（左边一个 x，右边一个数）；后面剥的四层壳，全都是朝这个方向剥的。
二、【剥壳一 · 合并同类项】把散着的项并成一项
笋的第一层壳，是"散着的项"。方程的一边常常挤着好几个含 x 的项，它们属于同类项，可以合并成一项。合并同类项的依据是乘法分配律：把系数加起来，字母和字母的指数都不变。
这一步为什么有用？因为方程一边并成一项之后，就变成了 ax = b 的样子，只要再用等式的性质 2 把系数化成 1，x 就露出来了。课本先用一道购买计算机的问题，把这种变形引出来。
（一）购机问题（教材 P119 引言）
某校三年共购买计算机 140 台，去年购买的数量是前年的 2 倍，今年购买的数量又是去年的 2 倍。前年这所学校购买了多少台计算机？
如图5.2-1，把三年购买的台数并排摆出来，关系就清楚了。
图5.2-1 三年购买的计算机（前年 x 台、去年 2x 台、今年 4x 台）
设前年购买了 x 台计算机，那么去年购买了 ____________ 台，今年购买了 ____________ 台。按"三年共购买 140 台"列方程，得 ____________。
我填的式子:
【小贴士】去年是前年的 2 倍，所以是 2x；今年又是去年的 2 倍，所以是 2 乘 2x，也就是 4x。三部分量的和等于总量 140，把三个式子相加再合并，得 7x = 140。
如图5.2-2，合并同类项把几个含 x 的项并成一项，方程就向 ax = b 的样子靠近了一步。
图5.2-2 合并同类项的作用（几个含 x 的项并成一项）
补完上面的方程：合并同类项得 (1+2+4)x = 7x，于是 7x = 140；再根据等式的性质 2，两边都除以 7，得 x = ____。所以前年购买了 ____ 台计算机。
我把过程补完整:
（二）例1（教材 P120）　用合并同类项解方程
解下列方程：(1) 2x - x = 6 - 8；(2) 7x - 2.5x + 3x - 1.5x = -15×4 - 6×3。
提示：第 (1) 小题中 x 表示 与 x 的积；第 (2) 小题中 -15×4 和 -6×3 要先算出结果。
我的解答:
【核对答案】第 (1) 小题：左边 2x - x = x = - x，右边 6-8 = -2，于是 - x = -2，两边同乘 -2，得 x = 4。第 (2) 小题：左边合并得 (7-2.5+3-1.5)x = 6x，右边 -15×4 - 6×3 = -60-18 = -78，于是 6x = -78，两边同除以 6，得 x = -13。
合并同类项时有三个常踩的坑：① 把 2x - x 算成 - x（系数应是 2 - 2.5 = -0.5，即 -）；② 等号两边的同类项跨过等号去合并（等号两边不能直接合并）；③ 系数化为 1 时只改数字不改符号，如把 - x = -2 读成 x = -4。
（三）例2（教材 P121）　用合并同类项解决数的规律问题
有一列数 1，-3，9，-27，81，-243，…，其中第 n 个数是 （n>1）。如果这列数中某三个相邻数的和是 -1701，那么这三个数各是多少？
如图5.2-3，先看清这列数的规律：每相邻两个数之间都相差 -3 倍。
图5.2-3 一列有规律的数（相邻两数相差 -3 倍）
设所求三个相邻数中的第一个是 x，则后两个数分别是 ____________ 和 ____________；按"某三个相邻数的和是 -1701"列方程，得 ____________。
我的解答:
【核对答案】相邻的两个数相差 -3 倍，所以后两个数依次是 -3x 和 9x。合并同类项得 (1-3+9)x = 7x，于是 7x = -1701，两边同除以 7，得 x = -243。后两个数是 -3x = 729、9x = -2187。
（四）练一练
1. 课本 P121 的练习请照课本逐题作答，题号照课本写。
2. 补充同型练习（先合并同类项，再解方程）：
　　(1) 5x - 2x = 9；(2) -3x + 0.5x = 10；(3) x + x = 5。
我的练习答案:
【方法小结】第 (3) 题两个含 x 的项系数都是分数，先把 和 通分相加，得 x = 5，两边同乘 ，x = 6。三题的答案依次是 x = 3、x = -4、x = 6。
三、【剥壳二 · 移项】过等号，要变号
第一层壳剥完，新的麻烦来了：有些方程两边都含 x，例如 3x+20 = 4x-25。这时合并同类项走不通——等号两边的同类项不能直接合并。课本用"把书分给学生"的问题，引出第二种变形。
（一）分书问题（教材 P122—P123 探究）
把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分 3 本，则剩余 20 本；如果每人分 4 本，则缺 25 本。这个班有多少名学生？
如图5.2-4，两种分法分的是同一批书，书的总数是一个定值，可以用两种方式表示。
图5.2-4 同一批书的两种分法（剩下 20 本 / 缺少 25 本）
设这个班有 x 名学生。按第一种分法，这批书共有 ____________ 本；按第二种分法，这批书共有 ____________ 本。因为书的总数不变，所以得到方程 ____________。
我列的方程:
【小贴士】第一种分法：每人 3 本共分出 3x 本，加上剩下的 20 本，总数是 (3x+20) 本；第二种分法：每人 4 本共分出 4x 本，减去缺的 25 本，总数是 (4x-25) 本。书的总数不变，于是 3x+20 = 4x-25。
（二）什么是移项
如图5.2-5，把等式一边的某一项改变符号后移到另一边，叫做移项。
图5.2-5 移项要变号（越过等号搬到另一边）
移项的依据是等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。在 3x+20 = 4x-25 两边都减去 4x、都减去 20，就得到 3x-4x = -25-20。
把上面 3x+20 = 4x-25 解完：移项得 3x-4x = -25-20；合并同类项得 -x = -45；两边同乘 -1（即系数化为 1），得 x = ____。所以这个班有 ____ 名学生。
我把过程补完整:
【小贴士】移项的作用：把含未知数的项都放到等号左边、把常数项都放到等号右边，方程就更接近 x = a 了。口诀记牢："过等号，要变号；左未知，右常数。"注意：在等号同一边交换两项的位置，不用变号，那不是移项。
（三）例3（教材 P123）　用移项解方程
解下列方程：(1) 3x+7 = 32-2x；(2) x - 3 = x + 1。
我的解答:
【核对答案】第 (1) 小题：移项得 3x+2x = 32-7，合并同类项得 5x = 25，系数化为 1 得 x = 5。第 (2) 小题：移项得 x - x = 1+3，合并同类项得 - x = 4，系数化为 1 得 x = -8。
两个常踩的坑：① 移项忘了变号，例如把 (1) 写成 3x-2x = 32+7（右边 7 没有变号）；② 把 - x = 4 当成 x = -8 之外的值，应两边同乘 -2，得 x = -8。
（四）例4（教材 P123）　列方程解决实际问题
某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t。新、旧工艺的废水排量之比为 2:5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？
如图5.2-6，把两种工艺的排放量和环保限制的最大量摆到一起看。
图5.2-6 新旧工艺的废水排量与环保限制最大量
设新工艺的废水排量是 2x t，则旧工艺的废水排量是 ____________ t。按"旧工艺的排量 - 200 = 新工艺的排量 + 100"列方程，得 ____________。
我的解答:
【做法提醒】环保限制的最大量是一个不变的量，用它把两种工艺的排量连起来。解 5x-200 = 2x+100：移项得 5x-2x = 100+200，合并同类项得 3x = 300，x = 100。所以新工艺的废水排量是 200 t，旧工艺的是 500 t。比值是 2:5，与题设相符。
思考（教材 P123）：上面解方程的过程中，"移项"起了什么作用？请把你的想法写下来。
我的想法:
（五）练一练
1. 课本 P124 的练习请照课本逐题作答，题号照课本写。
2. 补充同型练习：
　　(1) 4x = 9 + x；(2) 8y - 3 = 5y + 3；(3) 4x + 5 = 3x + 3 - 2x。
我的练习答案:
【方法小结】第 (3) 题等号右边有两个含 x 的项，先把 -2x 移到左边变成 +2x，再合并。三题的答案依次是 x = 3、y = 2、x = -。
四、【剥壳三 · 去括号】符号要看清楚
第二层壳剥完，第三层壳顶了上来：方程里出现了带括号的式子。遇到括号，第一步要先把它去掉——这要用到整式加减里学过的去括号法则：括号前是"+"，去掉括号后括号内各项都不变号；括号前是"-"，去掉括号后括号内各项都变号。
为什么必须先剥这一层？因为括号不打开，含 x 的项和常数项就被"关"在里面，既不能合并，也不能移项。
（一）用电量问题（教材 P124 问题 3）
某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少 2000 kW·h（千瓦时），全年用电 15 万 kW·h。这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少？
如图5.2-7，把上半年的用电量和下半年的用电量分开摆出来看。
图5.2-7 工厂两个半年的月平均用电量
设上半年平均每月用电 x kW·h，那么下半年平均每月用电 ____________ kW·h；上半年共用电 ____________ kW·h，下半年共用电 ____________ kW·h。按"全年用电 150000 kW·h"列方程，得 ____________。
我列的方程:
【核对答案】一年有 6 个月，所以上半年共 6x kW·h，下半年共 6(x-2000) kW·h，两式相加等于 150000。去括号得 6x+6x-12000 = 150000，移项、合并同类项得 12x = 162000，系数化为 1 得 x = 13500。所以上半年平均每月用电 13500 kW·h。
（二）去括号的两条规矩
如图5.2-8，去括号前先看括号前的符号，它决定括号里各项要不要变号。
图5.2-8 去括号时的符号（括号前是 + 或 -）
还有一条容易忘：括号外的数要乘到括号里的每一项。例如 -2(x+3) = -2x-6，不能只乘第一项；-7(x-1) = -7x+7，这里的 +7 来自 -7 乘 -1。
（三）例5（教材 P125）　用去括号解方程
解下列方程：(1) 2x - (x+10) = 5x + 2(x-1)；(2) 3x - 7(x-1) = 3 - 2(x+3)。
我的解答:
【核对答案】第 (1) 小题：去括号得 2x-x-10 = 5x+2x-2，移项得 2x-x-5x-2x = -2+10，合并同类项得 -6x = 8，系数化为 1 得 x = -。第 (2) 小题：去括号得 3x-7x+7 = 3-2x-6，移项得 3x-7x+2x = 3-6-7，合并同类项得 -2x = -10，系数化为 1 得 x = 5。
两个常踩的坑：① 括号前是"-"却漏变号，例如把 (1) 的左边写成 2x-x+10（应是 -10）；② (2) 中去括号时只变了一项，-7(x-1) 应是 -7x+7，-2(x+3) 应是 -2x-6。
（四）例6（教材 P125）　列方程解决行程问题
一艘船从甲码头到乙码头顺流而行用了 2 h，从乙码头返回甲码头逆流而行用了 2.5 h。已知水流的速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度。
如图5.2-9，甲、乙两个码头之间是同一段水路，往返走的路程相等。
图5.2-9 轮船在甲、乙两个码头之间往返
设船在静水中的平均速度是 x km/h，那么顺流速度是 ____________ km/h，逆流速度是 ____________ km/h。按"往返路程相等"列方程，得 ____________。
我的解答:
【做法提醒】顺流速度 = 静水速度 + 水流速度 = (x+3) km/h；逆流速度 = 静水速度 - 水流速度 = (x-3) km/h。往返路程相等，于是 2(x+3) = 2.5(x-3)。去括号得 2x+6 = 2.5x-7.5，移项、合并同类项得 -0.5x = -13.5，系数化为 1 得 x = 27。船在静水中的平均速度是 27 km/h。
（五）练一练
1. 课本 P126 的练习请照课本逐题作答，题号照课本写。
2. 补充同型练习：
　　(1) 3(x-4) = 12；(2) 2(3x-2) - 5x = 0；(3) 5 - (2x-1) = x。
我的练习答案:
【方法小结】第 (3) 题括号前是"-"，去括号后括号里各项都变号：5-2x+1 = x。三题的答案依次是 x = 8、x = 4、x = 2。
五、【剥壳四 · 去分母】两边同乘最小公倍数
最里面的一层壳是"分母"。当方程里出现分数系数时，直接通分计算很麻烦；如果在等式两边同乘各分母的最小公倍数，就能把分母一次化掉，变成整数系数的方程。这一步叫做去分母，依据是等式的性质 2（等式两边乘同一个数，结果仍相等）。
（一）三地路程问题（教材 P126 问题 4）
翠湖在青山、绿水两地之间，距青山 50 km，距绿水 70 km。某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如下表。王家庄距翠湖的路程有多远？
地名 王家庄 青山 绿水
时间 10:00 13:00 15:00
如图5.2-10，三地依次排列在同一条公路上。
图5.2-10 王家庄、青山、翠湖、绿水的沿途位置
设王家庄距翠湖的路程是 x km，那么王家庄距青山的路程是 ____________ km，王家庄距绿水的路程是 ____________ km。由表可知，汽车从王家庄到青山用了 3 h，从王家庄到绿水用了 5 h。按"汽车在各段的行驶速度相等"列方程，得 ____________。
我列的方程:
【核对答案】各段速度相等，也就是两段路程分别除以各自所用的时间，结果相等： = 。各分母 3 与 5 的最小公倍数是 15，两边同乘 15，得 5(x-50) = 3(x+70)；去括号得 5x-250 = 3x+210；移项、合并同类项得 2x = 460；系数化为 1 得 x = 230。王家庄距翠湖的路程是 230 km。
（二）去分母的规矩
如图5.2-11，去分母分两步：先找出各个分母的最小公倍数，再把等式两边都乘这个数。
图5.2-11 去分母的做法（两边同乘各分母的最小公倍数）
去分母有三条要记牢：① 每一项都要乘，不能漏乘不含分母的项（如常数项）；② 分子是多项式时，去分母后要给它添上括号；③ 去分母的依据是等式的性质 2，两边乘的必须是同一个数。
（三）例7（教材 P127）　用去分母解方程
解方程： - 2 = - 。
提示：先观察各个分母，2、10、5 的最小公倍数是 10，等式两边都乘 10。
我的解答:
【核对答案】去分母（两边都乘 10）得 5(3x+1) - 20 = (3x-2) - 2(2x+3)，注意常数项 2 也要乘 10。去括号得 15x+5-20 = 3x-2-4x-6；移项得 15x-3x+4x = -2-6-5+20；合并同类项得 16x = 7；系数化为 1 得 x = 。
两个常踩的坑：① 去分母时漏乘不含分母的项，例如左边只算了 而把 -2 原样抄下来（它也要乘 10，得 -20）；② 分子是多项式却不加括号，例如把 (3x-2) 写成 3x-2 之后又乘错符号。
（四）练一练
1. 课本 P129 的练习请照课本逐题作答，题号照课本写。
2. 补充同型练习：
　　(1) = 3；(2) = ；(3) - = 1。
我的练习答案:
【方法小结】第 (2) 题两边同乘 12，得 4(2x-1) = 3(x+2)，去括号、移项、合并得 5x = 10。第 (3) 题各分母 2、3 的最小公倍数是 6，两边同乘 6 得 3(x-1) - 2(2x+1) = 6，去括号得 3x-3-4x-2 = 6，合并得 -x = 11，x = -11。三题的答案依次是 x = 5、x = 2、x = -11。
六、【见笋心 · 化为 x = a】解方程的一般步骤
四层壳都剥过一遍，现在回过头来把整支笋看清楚：解一元一次方程，说到底就是按一定次序做几种变形，让方程一步一步朝着 x = a 的样子走。这种把新问题化成已经会做的老问题的想法，叫做化归。
如图5.2-12，解方程的一般步骤有五个，它们把方程一步一步推向 x = a。
图5.2-12 解方程的一般步骤（五步流程）
步骤 做什么 依据
去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数，把分数系数化成整数系数 等式的性质 2
去括号 按去括号法则去掉括号，括号外的数要乘到括号内的每一项 乘法分配律
移项 把含未知数的项移到等号左边、常数项移到等号右边，移项要变号 等式的性质 1
合并同类项 把等号同侧的同类项分别合并，化成 ax = b 的样子 乘法分配律
系数化为 1 方程两边同除以未知数的系数，得到 x = a 等式的性质 2
五个步骤不必每题都用全：原方程没有分母就省去去分母，没有括号就省去去括号。判断的依据是方程本来的样子，而不是死记五步的次序。
走一遍全五步，解完还要检验： - = 1。
我的解答与检验:
【核对答案】去分母（两边同乘 6）得 2(x+2) - 3(x-1) = 6；去括号得 2x+4-3x+3 = 6；移项得 2x-3x = 6-4-3；合并同类项得 -x = -1；系数化为 1 得 x = 1。检验：左边 = - = 1-0 = 1，右边 = 1，左边等于右边，所以 x = 1 是原方程的解。
把解代回原方程检验，是解方程的最后一道保险。检验时左、右两边分别算，两边的值相等才说明解对了。
七、【品笋】当堂自测（三关）
笋剥完了，尝一口。下面三关按由易到难排，前三题只考解方程，后几题要先想相等关系再列方程。做完把答案写到留白处。
（一）第一关 · 基础过关（解方程）
1. 解下列方程：(1) 4x + 3x = 14；(2) -2x + 6x = 12；(3) 9 - 5y = 3y + 1；
2. 解下列方程：(1) 2x + 5 = 4x - 7；(2) 2(x - 3) = 8；(3) 5 - (3x - 1) = x。
3. 解下列方程：(1) 3(x + 1) - 2(x - 1) = 6；(2) = 4；(3) = 1。
我的答案:
（二）第二关 · 应用提升（先列方程，再求解）
4. 一件商品的成本价是 x 元，按成本价提高 40% 后标价，再打八折卖出，售价是 224 元。求这件商品的成本价。
5. 某数的 3 倍减去 7，等于这个数加上 5。求这个数。
6. 甲、乙两站相距 450 km。一列慢车从甲站开出，每小时行驶 65 km；一列快车从乙站开出，每小时行驶 85 km。两车同时出发相向而行，几小时后相遇？
7. 三个连续整数的和是 72，求这三个数。
我的答案:
（三）第三关 · 拓展挑战
8. 已知关于 x 的方程 3x + 2a = 5x - 4 的解是 x = 3，求 a 的值。
9. 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大 3。如果把个位与十位上的数字对调，所得的新数与原数的和是 121。求这个两位数。
我的答案:
八、【装筐】知识梳理 · 自评 · 作业
（一）四层壳与它们的依据
剥的哪层壳 怎么剥 依据 最容易在哪出错
合并同类项 把等号同侧含 x 的项合并成一项 乘法分配律 让等号两边的项跨过等号去合并
移项 把某项改变符号后从一边移到另一边 等式的性质 1 移过去了却忘了变号
去括号 括号前是"+"各项不变号，是"-"各项都变号 去括号法则（乘法分配律） 括号前是"-"时漏变号、括号外的数只乘第一项
去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数 等式的性质 2 漏乘不含分母的项、分子是多项式不添括号
（二）本节自评
自评项目 能说清 基本会 还不会
用合并同类项解方程（如 7x-2.5x+3x-1.5x = -78） ○ ○ ○
移项要变号（解 ax+b = cx+d 型的方程） ○ ○ ○
去括号解方程（括号前是"-"也不出错） ○ ○ ○
去分母解方程（不漏乘、分子添括号） ○ ○ ○
说出解方程五个步骤的名称与依据 ○ ○ ○
（三）作业：《习题5.2》（教材 P130—P131）
课本《习题5.2》共 17 题，分复习巩固、综合运用、拓广探索三栏。题面请照课本，下面按层次布置，答案放在板块九。
【必做 · 复习巩固】
1. 解下列方程：(1) x + 3x = -16；(2) 16y - 2.5y - 7.5y = 5；(3) 3x + 5 = 4x + 1；(4) 9 - 3y = 5y + 5。
2. 解下列方程：(1) 5c + (2 - 4c) = 0；(2) 25b - (b - 5) = 29；(3) 7x + 2(3x - 3) = 20；(4) 8y - 3(3y + 2) = 6。
3. 解下列方程：(1) = ；(2) = ；(3) - 1 = ；(4) + = 2 - 。
4. 用方程解答下列问题：(1) x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 3 倍与 4 的差，求 x；(2) y 与 -5 的积等于 y 与 5 的和，求 y；(3) x 与 4 的和的 1.2 倍等于 x 与 14 的差的 3.6 倍，求 x；(4) y 的 3 倍与 1.5 的和的 等于 y 与 1 的差的 ，求 y。
5. 用一根 60 m 长的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的 1.5 倍。长方形的长和宽各应是多少米？
6. 几个人共同种一批树苗，如果每人种 10 棵，则剩下 6 棵树苗未种；如果每人种 12 棵，则缺 6 棵树苗。求参加种树的人数。
7. 买两种布料共 64 m，花了 550 元，其中蓝布料每米 8 元，黑布料每米 9 元。两种布料各买了多少米？
必做部分作答区:
【选做 · 综合运用】第 8—14 题
8. 一个两位数的个位上数字的 3 倍加 1 是十位上的数字，个位上的数字与十位上数字的和等于 9。这个两位数是多少？
9. 灌溉三块同样大的田地，第一块用漫灌，第二块用喷灌，第三块用滴灌，后两种方式的用水量分别是漫灌的 25% 和 15%。(1) 设第一块田地用水 x t，则另两块田地的用水量各如何表示？(2) 如果三块田地共用水 420 t，三块田地各用水多少吨？
10. 某造纸厂去年 10 月生产再生纸 2050 t，比前年 10 月再生纸产量的 2 倍还多 150 t。前年 10 月该造纸厂生产再生纸多少吨？
11. 张华和李明登一座山。张华平均每分钟登高 10 m，并且先出发 30 min；李明平均每分钟登高 15 m，两人同时登上山顶。设张华登山用了 x min。(1) 如何用含 x 的代数式表示李明登山所用时间？(2) 试用方程求 x 的值。由 x 的值能求出山高吗？如果能，山高多少米？
12. 两辆汽车从相距 84 km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快 20 km/h，半小时后两车相遇。两车的速度各是多少？
13. 在风速为 24 km/h 的条件下，一架飞机顺风从 A 机场飞到 B 机场要用 2.8 h，它逆风飞行同一航线要用 3 h。求：(1) 无风时这架飞机在这一航线的平均航速；(2) 两机场之间的航程。
14. 在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为 30？如果能，这三个日期数分别是多少？（月历图见课本 P131 第 14 题，请照课本原图作答）
选做部分作答区:
【挑战 · 拓广探索】第 15—17 题
15. 有一些相同的房间需要粉刷墙面。一天 3 名一级技工去粉刷 8 个房间，结果有 50 墙面没来得及粉刷；同样时间内 5 名二级技工除了粉刷 10 个房间，还多粉刷了另外的 40 墙面。每名一级技工比二级技工每天多粉刷 10 墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积。
16. 李明骑自行车从 A 地到 B 地，刘伟骑自行车从 B 地到 A 地，两人沿同一公路匀速前进。已知两人在上午 8 时同时出发，到上午 8 时半，两人相距 9 km；到上午 9 时，两人又相距 9 km。求 A、B 两地相距的路程。
17. 一列火车匀速行驶，经过一条长 300 m 的隧道需要 20 s；隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是 10 s。(1) 设火车长 x m，用含 x 的代数式表示：从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程和这段时间内火车的速度；(2) 从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是多少？这段时间内火车的速度是多少？(3) 这列火车有多长？
如图5.2-13，第 (3) 问先想清楚"灯光照在火车上"和"火车穿过隧道"这两件事各自走了多长的一段路。
图5.2-13 火车穿过隧道（车长 x m、隧道长 300 m）
挑战部分作答区:
（四）作业自查登记表
做完一题就在表里打一个"○"，有疑问的写进右栏，第二天带到课堂解决。
题号 完成 我的疑问
1 ○
2 ○
3 ○
4 ○
5 ○
6 ○
7 ○
8 ○
9 ○
10 ○
11 ○
12 ○
13 ○
14 ○
15 ○
16 ○
17 ○
九、【参考答案】
以下答案按前面板块的顺序排列。请先独立完成，再逐条对照；对不上的地方，要在题目旁边把错因写清楚——找出错在哪一步，比只改一个得数有用得多。
【对照提醒】对照答案时留意三类地方：一类是"合并同类项时让等号两边的项跨过等号去合并"（等号两边不能直接合并）；一类是"移项忘了变号、去括号时括号前是"-"却漏变号"；还有一类是"去分母时漏乘不含分母的项，或分子是多项式却不添括号"。凡是解方程的题，答案里都要有依据和检验。
（一）入笋林　本节导航与起跑热身
题号 参考答案
热身1 ① 3x+5x = 8x；② -2a+7a = 5a；③ 4y-9y+3y = -2y。
热身2 ① 2(x+3) = 2x+6；② -(x-5) = -x+5；③ -3(2x-1) = -6x+3。
热身3 由 x-7 = 5，两边都加上 7，得 x = 12。依据是等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数，结果仍相等。
热身4 由 3x = 12 得 x = 4，这一步用到了等式的性质 2：等式两边除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。
热身5 把方程化成"左边只剩一个 x、右边只剩一个数"的样子，也就是 x = a。后面剥的四层壳，全都是朝这个方向去做的。
（二）剥壳一　合并同类项
题号 参考答案
购机问题 设前年购买了 x 台，则去年购买了 2x 台，今年购买了 4x 台。由"三年共购买 140 台"得 x+2x+4x = 140（教材 P119）。
购机问题（解） 合并同类项得 7x = 140，两边同除以 7，得 x = 20。所以前年购买了 20 台计算机。
例1 (1) 2x - x = 6 - 8。左边合并得 x = - x，右边 6-8 = -2，于是 - x = -2，两边同乘 -2，得 x = 4（教材 P120）。
例1 (2) 7x - 2.5x + 3x - 1.5x = -15×4 - 6×3。左边合并得 (7-2.5+3-1.5)x = 6x，右边 -15×4 - 6×3 = -60-18 = -78，于是 6x = -78，两边同除以 6，得 x = -13。
例2 相邻两数相差 -3 倍，设所求三个数中的第一个是 x，则后两个依次是 -3x 和 9x。由"和是 -1701"得 x-3x+9x = -1701，合并得 7x = -1701，x = -243。所以这三个数是 -243、729、-2187（教材 P121）。
练一练 (1) 5x-2x = 9，合并得 3x = 9，x = 3。
练一练 (2) -3x+0.5x = 10，合并得 -2.5x = 10，x = -4。
练一练 (3) x + x = 5，两个系数通分相加得 x = 5，两边同乘 ，x = 6。
课本练习 课本 P121 的练习请照课本逐题核对。
（三）剥壳二　移项
题号 参考答案
分书问题 设这个班有 x 名学生。第一种分法书的总数是 (3x+20) 本，第二种分法书的总数是 (4x-25) 本。书的总数不变，于是 3x+20 = 4x-25（教材 P122—P123）。
分书问题（解） 移项得 3x-4x = -25-20，合并同类项得 -x = -45，两边同乘 -1，得 x = 45。所以这个班有 45 名学生。
例3 (1) 3x+7 = 32-2x。移项得 3x+2x = 32-7，合并同类项得 5x = 25，系数化为 1 得 x = 5（教材 P123）。
例3 (2) x - 3 = x + 1。移项得 x - x = 1+3，合并同类项得 - x = 4，系数化为 1（两边同乘 -2）得 x = -8。
例4 设新工艺的废水排量是 2x t，则旧工艺的废水排量是 5x t（两者之比为 2:5）。环保限制的最大量不变：旧工艺比它多 200 t，新工艺比它少 100 t，于是 5x-200 = 2x+100。移项得 5x-2x = 100+200，合并得 3x = 300，x = 100。所以新工艺排放 200 t，旧工艺排放 500 t（教材 P123）。
思考 移项的作用是把含未知数的项都集中到等号左边、把常数项都集中到等号右边，使方程向 x = a 的样子靠近。移项的依据是等式的性质 1，移过去的项必须变号。
练一练 (1) 4x = 9+x，移项得 4x-x = 9，合并得 3x = 9，x = 3。
练一练 (2) 8y-3 = 5y+3，移项得 8y-5y = 3+3，合并得 3y = 6，y = 2。
练一练 (3) 4x+5 = 3x+3-2x。先把右边的 -2x 移到左边变 +2x，得 4x+5+2x = 3x+3；再把左边整理得 6x+5 = 3x+3，移项得 6x-3x = 3-5，合并得 3x = -2，x = -。
（四）剥壳三　去括号
题号 参考答案
用电量问题 设上半年平均每月用电 x kW·h，则下半年平均每月用电 (x-2000) kW·h。一年 12 个月，上半年共用电 6x kW·h，下半年共用电 6(x-2000) kW·h。由"全年用电 150000 kW·h"得 6x + 6(x-2000) = 150000（教材 P124）。
用电量问题（解） 去括号得 6x+6x-12000 = 150000，移项、合并同类项得 12x = 162000，系数化为 1 得 x = 13500。所以上半年平均每月用电 13500 kW·h。
例5 (1) 2x - (x+10) = 5x + 2(x-1)。去括号得 2x-x-10 = 5x+2x-2；移项得 2x-x-5x-2x = -2+10；合并同类项得 -6x = 8；系数化为 1 得 x = -（教材 P125）。
例5 (2) 3x - 7(x-1) = 3 - 2(x+3)。去括号得 3x-7x+7 = 3-2x-6；移项得 3x-7x+2x = 3-6-7；合并同类项得 -2x = -10；系数化为 1 得 x = 5。
例6 设船在静水中的平均速度是 x km/h，则顺流速度是 (x+3) km/h，逆流速度是 (x-3) km/h。往返走的是同一段水路，路程相等，于是 2(x+3) = 2.5(x-3)。去括号得 2x+6 = 2.5x-7.5；移项、合并同类项得 -0.5x = -13.5；系数化为 1 得 x = 27。所以船在静水中的平均速度是 27 km/h（教材 P125）。
练一练 (1) 3(x-4) = 12。去括号得 3x-12 = 12，移项得 3x = 24，x = 8。
练一练 (2) 2(3x-2) - 5x = 0。去括号得 6x-4-5x = 0，合并同类项得 x-4 = 0，x = 4。
练一练 (3) 5 - (2x-1) = x。括号前是"-"，去括号后括号里各项都变号，得 5-2x+1 = x；移项、合并得 -3x = -6，x = 2。
课本练习 课本 P126 的练习请照课本逐题核对。
（五）剥壳四　去分母
题号 参考答案
三地路程问题 设王家庄距翠湖的路程是 x km。青山在翠湖一侧 50 km 处，绿水在另一侧 70 km 处，所以王家庄距青山 (x-50) km，距绿水 (x+70) km。从王家庄到青山用 3 h，到绿水用 5 h，各段速度相等，于是 = （教材 P126）。
三地路程问题（解） 两边同乘 15，得 5(x-50) = 3(x+70)；去括号得 5x-250 = 3x+210；移项、合并同类项得 2x = 460；系数化为 1 得 x = 230。所以王家庄距翠湖的路程是 230 km。
例7 - 2 = - 。各分母 2、10、5 的最小公倍数是 10，两边都乘 10，得 5(3x+1) - 20 = (3x-2) - 2(2x+3)（常数项 2 也要乘 10）。去括号得 15x+5-20 = 3x-2-4x-6；移项得 15x-3x+4x = -2-6-5+20；合并同类项得 16x = 7；系数化为 1 得 x = （教材 P127）。
练一练 (1) = 3，两边同乘 2，得 x+1 = 6，x = 5。
练一练 (2) = ，两边同乘 12，得 4(2x-1) = 3(x+2)；去括号得 8x-4 = 3x+6；移项、合并得 5x = 10，x = 2。
练一练 (3) - = 1，各分母的最小公倍数是 6，两边同乘 6，得 3(x-1) - 2(2x+1) = 6；去括号得 3x-3-4x-2 = 6；合并得 -x = 11，x = -11。
课本练习 课本 P129 的练习请照课本逐题核对。
（六）见笋心　化为 x = a
题号 参考答案
五步演练 - = 1。去分母（两边同乘 6）得 2(x+2) - 3(x-1) = 6；去括号得 2x+4-3x+3 = 6；移项得 2x-3x = 6-4-3；合并同类项得 -x = -1；系数化为 1 得 x = 1。
检验 把 x = 1 代入原方程：左边 = - = 1-0 = 1，右边 = 1，左边等于右边，所以 x = 1 是原方程的解。
五步名称 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。各步依据依次是：等式的性质 2、乘法分配律、等式的性质 1、乘法分配律、等式的性质 2。
用几步 五步不必每题都用全：原方程没有分母就省去去分母，没有括号就省去去括号。判断的依据是方程本来的样子，而不是死记五步的次序。
（七）品笋　当堂自测
题号 参考答案
第一关 1 (1) 4x+3x = 14，合并得 7x = 14，x = 2；(2) -2x+6x = 12，合并得 4x = 12，x = 3；(3) 9-5y = 3y+1，移项得 -5y-3y = 1-9，合并得 -8y = -8，y = 1。
第一关 2 (1) 2x+5 = 4x-7，移项得 2x-4x = -7-5，合并得 -2x = -12，x = 6；(2) 2(x-3) = 8，去括号得 2x-6 = 8，移项得 2x = 14，x = 7；(3) 5-(3x-1) = x，去括号得 5-3x+1 = x，移项得 -3x-x = -6，合并得 -4x = -6，x = 。
第一关 3 (1) 3(x+1) - 2(x-1) = 6，去括号得 3x+3-2x+2 = 6，合并得 x+5 = 6，x = 1；(2) = 4，两边同乘 2，得 x+1 = 8，x = 7；(3) = 1，两边同乘 3，得 2x-1 = 3，x = 2。
第二关 4 设成本价是 x 元，提高 40% 后标价是 1.4x 元，打八折后的售价是 1.4x×0.8 = 1.12x 元。由"售价是 224 元"得 1.12x = 224，x = 200。答：成本价是 200 元。
第二关 5 设这个数是 x，由"3 倍减 7 等于这个数加 5"得 3x-7 = x+5，移项得 3x-x = 5+7，合并得 2x = 12，x = 6。答：这个数是 6。
第二关 6 设 t h 后两车相遇。两车相向而行，合起来的速度是 (65+85) km/h，由"路程和等于 450 km"得 (65+85)t = 450，即 150t = 450，t = 3。答：3 h 后相遇。
第二关 7 设中间的一个整数是 x，则另两个是 x-1 和 x+1。由"三数和是 72"得 (x-1)+x+(x+1) = 72，合并得 3x = 72，x = 24。答：这三个数是 23、24、25。
第三关 8 把 x = 3 代入方程 3x+2a = 5x-4，得 3×3 + 2a = 5×3 - 4，即 9+2a = 11，移项得 2a = 2，a = 1。答：a = 1。
第三关 9 设十位上的数字是 x，则个位上的数字是 x+3，原数是 10x+(x+3) = 11x+3；对调后新数是 10(x+3)+x = 11x+30。由"新数与原数的和是 121"得 (11x+3)+(11x+30) = 121，合并得 22x+33 = 121，移项得 22x = 88，x = 4，个位数字是 7。答：这个两位数是 47。
题号 参考答案
1 (1) x+3x = -16，合并得 4x = -16，x = -4；(2) 16y-2.5y-7.5y = 5，合并得 6y = 5，y = ；(3) 3x+5 = 4x+1，移项得 3x-4x = 1-5，合并得 -x = -4，x = 4；(4) 9-3y = 5y+5，移项得 -3y-5y = 5-9，合并得 -8y = -4，y = 。
2 (1) 5c+(2-4c) = 0，去括号得 5c+2-4c = 0，合并得 c+2 = 0，c = -2；(2) 25b-(b-5) = 29，去括号得 25b-b+5 = 29，合并得 24b = 24，b = 1；(3) 7x+2(3x-3) = 20，去括号得 7x+6x-6 = 20，合并得 13x = 26，x = 2；(4) 8y-3(3y+2) = 6，去括号得 8y-9y-6 = 6，合并得 -y = 12，y = -12。
3 (1) = ，两边同乘 6，得 3(3x+5) = 2(2x-1)，去括号得 9x+15 = 4x-2，移项、合并得 5x = -17，x = -；(2) = ，两边同乘 15，得 -3(x-3) = 3x+4，去括号得 -3x+9 = 3x+4，移项、合并得 -6x = -5，x = ；(3) - 1 = ，两边同乘 12，得 3(3y-1) - 12 = 2(5y-7)，去括号得 9y-3-12 = 10y-14，移项、合并得 -y = 1，y = -1；(4) + = 2 - ，两边同乘 12，得 4(5y+4) + 3(y-1) = 24 - (5y-5)，去括号得 20y+16+3y-3 = 24-5y+5，移项、合并得 28y = 16，y = 。
4 (1) 5x+2 = 3x-4，移项得 5x-3x = -4-2，合并得 2x = -6，x = -3；(2) y 与 -5 的积是 -5y，由"-5y = y+5"移项得 -5y-y = 5，合并得 -6y = 5，y = -；(3) 1.2(x+4) = 3.6(x-14)，去括号得 1.2x+4.8 = 3.6x-50.4，移项、合并得 -2.4x = -55.2，x = 23；(4) (3y+1.5) = (y-1)，两边同乘 4，得 2(3y+1.5) = y-1，去括号得 6y+3 = y-1，移项、合并得 5y = -4，y = -。
5 设宽是 x m，则长是 1.5x m。由"周长是 60 m"得 2(x+1.5x) = 60，去括号得 2x+3x = 60，合并得 5x = 60，x = 12，长是 1.5×12 = 18。答：长是 18 m，宽是 12 m。
6 设参加种树的有 x 人。按第一种方法树苗总数是 (10x+6) 棵，按第二种是 (12x-6) 棵。树苗总数不变，于是 10x+6 = 12x-6，移项得 10x-12x = -6-6，合并得 -2x = -12，x = 6。答：参加种树的有 6 人。
7 设蓝布料买了 x m，则黑布料买了 (64-x) m。蓝布料每米 8 元，黑布料每米 9 元，由"共花 550 元"得 8x+9(64-x) = 550，去括号得 8x+576-9x = 550，合并得 -x = -26，x = 26，黑布料是 64-26 = 38。答：蓝布料 26 m，黑布料 38 m。
8 设个位上的数字是 x，则十位上的数字是 3x+1。由"个位与十位数字之和等于 9"得 x+(3x+1) = 9，合并得 4x+1 = 9，移项得 4x = 8，x = 2，十位数字是 3×2+1 = 7。答：这个两位数是 72。
9 (1) 设第一块田地用水 x t（漫灌），则第二块（喷灌）用水 0.25x t，第三块（滴灌）用水 0.15x t。(2) 由"三块田地共用水 420 t"得 x+0.25x+0.15x = 420，合并得 1.4x = 420，x = 300。所以漫灌用水 300 t，喷灌用水 75 t，滴灌用水 45 t。
10 设前年 10 月生产再生纸 x t，则"比它的 2 倍还多 150 t"可表示为 2x+150。由"去年 10 月生产 2050 t"得 2x+150 = 2050，移项得 2x = 1900，x = 950。答：前年 10 月生产再生纸 950 t。
11 (1) 张华先出发 30 min，两人同时登上山顶，所以李明登山所用时间是 (x-30) min。(2) 两人登山的路程（山高）相等，得 10x = 15(x-30)，去括号得 10x = 15x-450，移项、合并得 -5x = -450，x = 90。把 x = 90 代入 10x，得山高 10×90 = 900 m。答：x = 90，能求出山高，山高 900 m。
12 设乙车的速度是 v km/h，则甲车的速度是 (v+20) km/h。两车相向而行，半小时相遇，由"路程和是 84 km"得 0.5[v+(v+20)] = 84，去括号、合并得 v+10 = 84，v = 74，甲车速度是 94。答：甲车 94 km/h，乙车 74 km/h。
13 设无风时飞机的平均航速是 x km/h，则顺风速度是 (x+24) km/h，逆风速度是 (x-24) km/h。顺风、逆风飞的是同一航线，路程相等，于是 2.8(x+24) = 3(x-24)，去括号得 2.8x+67.2 = 3x-72，移项、合并得 0.2x = 139.2，x = 696。航程是 2.8×(696+24) = 2.8×720 = 2016 km。答：无风时平均航速 696 km/h，两机场之间的航程 2016 km。
14 能。月历中相邻三行同一列的三个日期依次相差 7，设中间的一个日期是 x，则另两个是 x-7 和 x+7。由"三数之和是 30"得 (x-7)+x+(x+7) = 30，合并得 3x = 30，x = 10。答：能，这三个日期分别是 3、10、17。
15 设每个房间需要粉刷的墙面面积是 x 。3 名一级技工一天粉刷 8 个房间还差 50 ，即 3 名一级技工一天共粉刷 (8x-50) ；5 名二级技工一天粉刷 10 个房间还多 40 ，即 5 名二级技工一天共粉刷 (10x+40) 。每名一级技工比每名二级技工每天多粉刷 10 ，于是 - = 10。两边同乘 15，得 5(8x-50) - 3(10x+40) = 150；去括号得 40x-250-30x-120 = 150；合并得 10x-370 = 150，x = 52。答：每个房间需要粉刷的墙面面积是 52 。
16 设 A、B 两地相距 S km，两人速度之和是 v km/h。从 8 时到 8 时半（0.5 h），两人共走了 0.5v km，还相距 9 km，得 S - 0.5v = 9；从 8 时到 9 时（1 h），两人已经相遇又相距 9 km，得 v - S = 9。由第二式得 S = v-9，代入第一式：(v-9) - 0.5v = 9，合并得 0.5v = 18，v = 36，S = 36-9 = 27。答：A、B 两地相距 27 km。
17 (1) 从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车正好走了一个车身的长度，路程是 x m；这段时间是 10 s，所以速度是 m/s。(2) 从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车走的路程是隧道长加车长，即 (300+x) m；这段时间是 20 s，速度是 m/s。(3) 火车匀速行驶，两次求得的速度相等，于是 = 。两边同乘 20，得 2x = 300+x，移项得 x = 300。答：这列火车长 300 m。

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