资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
八年级上册压轴题专练13 勾股定理及其逆定理的七类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、以直角三角形三边为边长的图形面积
题型二、已知直角三角形的两边，求第三边长
题型三、等面积法求斜边上的高问题
题型四、勾股定理的验证方法
题型五、判断三边能否构成直角三角形
题型六、在网格中判断直角三角形
题型七、利用勾股定理的逆定理求解
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：直角三角形中知两边求第三边；或已知三边判断三角形形状；常与折叠、最值、网格问题结合。
- 解题方法：定理用a2+b2=c2（c为斜边）；逆定理用较小两边平方和与最大边平方比较；折叠问题设未知数，用勾股列方程。
- 易错提醒：未找对斜边就代入公式；逆定理忘记比较最大边；忽视三边能否构成三角形的前提；单位未统一。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、以直角三角形三边为边长的图形面积
典例1．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，，若，，则_________．
题型模版
1.特征：以直角三角形三边为边向外作相似图形（如正方形、半圆、等边三角形），面积关系。
2.方法：利用勾股定理a2+b2=c2，结合相似图形面积比等于相似比平方，推导两小图形面积和等于大图形面积。
变式1-1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．若，，则与之间满足的数量关系为______．
变式1-2．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______．
变式1-3．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形、正方形、正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为____________；分别以为边向外作正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为_______________．
题型二、已知直角三角形的两边，求第三边长
典例2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）在，，，，则_______________．
题型模版
1.特征：已知直角三角形任意两边（直角边或斜边），求剩余第三边长度。
2.方法：确定斜边后，用勾股定理a2+b2=c2列方程；若含特殊角（30°或45°），也可用三边比例关系直接求解。
变式2-1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在中，，是斜边上的高，，，则的长为______．
变式2-2．（25-26八年级下·湖北随州·期中）在中，，是边上的高，，则__________ ．
变式2-3．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______．
题型三、等面积法求斜边上的高问题
典例3．（25-26八年级上·全国·期末）在中，两条直角边的长分别为和，则第三边的长为______；斜边上的高为______．
题型模版
1.特征：已知直角三角形两直角边，求斜边上的高，常结合面积相等列方程。
2.方法：用面积法 = ，故高h = ，先由勾股定理求斜边c，再代入计算。
变式3-1．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个直角三角形斜边上的高为______．
变式3-2．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图在中，，于D，若，，则______．
变式3-3．（25-26八年级下·安徽淮南·期末）中．，，边上的高为12，则边的长为________．
题型四、勾股定理的验证方法
典例4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践
“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．
上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程．
题型模版
1.特征：通过拼图面积恒等或几何构造，直观证明a2+b2=c2，无需代数推导。
2.方法：用四个全等直角三角形拼成正方形（如赵爽弦图），利用面积相等（大正方形面积=小正方形面积+四个三角形面积）验证。
变式4-1．（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则．
(1)【探索求证】
数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理．
(2)【问题解决】
同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积．
变式4-2．（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】
如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________；
（2）【类比探究】
如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系．
（3）【应用结论】
如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证．
变式4-3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积．
题型五、判断三边能否构成直角三角形
典例5．（25-26八年级下·重庆开州·期末）三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C．，， D．
题型模版
1.特征：已知三条线段或三角形边长，判断是否满足勾股定理的逆定理。
2.方法：先找最大边c，若满足a2+b2=c2，则为直角三角形；否则不是（注意排除非三角形情况）。
变式5-1．（25-26八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式5-2．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知，，为的三条边，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则为直角三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为直角三角形
D．若， ，，则为直角三角形
变式5-3．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列选项中，正确的是（ ）
A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形
C．的三边分别为，若，则是直角
D．在中，若，则是直角三角形
题型六、在网格中判断直角三角形
典例6．（25-26八年级下·天津和平·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2
题型模版
1.特征：在方格纸中已知三点坐标，判断三角形形状，常通过计算三边平方判断。
2.方法：利用格点距离公式（横向差与纵向差的平方和）求三边平方，验证是否满足勾股定理的逆定理。
变式6-1．（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____．
变式6-2．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上．
(1)求四边形的面积；
(2)求证：．
变式6-3．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段且使，连接；
(2)的长为____________；
(3)为______三角形；
(4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）．
题型七、利用勾股定理的逆定理求解
典例7．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为D，，，．
(1)求的长；
(2)判断支架外框的形状，并说明理由．
题型模版
1.特征：已知三角形三边（或边长表达式），判断是否为直角三角形，或反求参数使三角形为直角三角形。
2.方法：用勾股定理逆定理，验证较小两边平方和是否等于最大边平方，列方程求参数并检验。
变式7-1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在四边形中，，，，，．
(1)连接，判断的形状，并说明理由；
(2)求四边形的面积．
变式7-2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，点在点的正西方120米处，点在点的正北方60米处（即）．
(1)求证：；
(2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更短？
变式7-3．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）【问题情境】如图①，在中，为边上的高．
(1)【数学知识】若，，，求证：；
(2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（ ）
A．15 B．8 C．6 D．4
2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知三条线段的长分别为，，，下列条件中，不能判定它们能构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
3．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列选项中，正确的是（ ）
A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形
C．的三边分别为，若，则是直角
D．在中，若，则是直角三角形
4．（25-26八年级下·吉林·期末）图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，图2由主题图案中相邻两个直角三角形组合而成．当时，的长为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（ ）．
A． B．6 C．5 D．
二、填空题
6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________．
7．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______．
8．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，某学校甲、乙两栋教学楼分别位于校内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座垂直于道路两旁的过路天桥，要求天桥建成后甲到乙的路程最短．则甲到乙的最短路程为_________．
9．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，点 M 在上，且．点 N 是上的一动点，则的最小值为________(提示：作关于对称的点)．
10．（2026·湖南衡阳·二模）定义∶为某个三角形的边，若与其边上的高相等，则称该三角形为边的“伴随三角形”．为边的“伴随三角形”，．
①若，则______．
②若，过点作直线的高，垂足为点，则的长为________．
三、解答题
11．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知的三边长分别为，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积．
12．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，边上的高．
(1)根据图1，求的长；
(2)根据图2，求的长．
13．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，，，．求：
(1)的周长；
(2)判断是否是直角三角形？为什么？
14．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”．
(1)若，，则，的“调和数”_______．
(2)若，，求，的“调和数”；
(3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值．
15．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；…
分析这些勾股数组可以发现，，，，…
(1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组；
(2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明；
(3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值．
16．（25-26八年级下·重庆·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
(1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______；
(2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理．
(3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积．
17．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，四边形中，，分别以线段，，，边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，连接，利用勾股定理可以得到：．根据材料提示完成下列问题：
(1)如图2，是中边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，请写出，，，的等量关系___________；
(2)如图3，在中，，，点是上一点，且，若，求证：是直角三角形；
(3)如图4，在中，分别以线段，，为边向外作正方形，正方形的面积分别，，试求出的面积．
18．（25-26八年级下·山西晋中·期中）综合与实践
定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．
【初步感知】
(1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______；
【深入探究】
(2)如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点．
【拓展延伸】
(3)如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长．
答案与解析
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、以直角三角形三边为边长的图形面积
典例1．（25-26八年级下·湖北孝感·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，，若，，则_________．
【答案】
【分析】连接，根据正方形的面积公式推出，根据勾股定理可得，据此代入求值即可．
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得，，，，，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
∴或（舍去）．
题型模版
1.特征：以直角三角形三边为边向外作相似图形（如正方形、半圆、等边三角形），面积关系。
2.方法：利用勾股定理a2+b2=c2，结合相似图形面积比等于相似比平方，推导两小图形面积和等于大图形面积。
变式1-1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．若，，则与之间满足的数量关系为______．
【答案】
【分析】先根据正方形面积公式得到边长与面积的关系，再在和中用勾股定理得，，最后将数据代入化简即可．
【详解】由题意可知，，，，．
是的边上的高，
在和中，由勾股定理得，，
即，，
可得，，
，，
，即．
变式1-2．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】根据勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解．
【详解】解：在中，，
∴由勾股定理得：，
∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
变式1-3．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，分别以为边向外作正方形、正方形、正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为____________；分别以为边向外作正方形，其面积分别为，则之间的等量关系为_______________．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
利用勾股定理可得；过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，证明，即可用表示出，即可解答．
【详解】解：设中，，则，
根据题意可得，
，
如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，
根据题意可得，即，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
根据勾股定理可得，即，
同理可得，
，，
，
根据勾股定理可得，即，
根据勾股定理可得， 即，
，
故答案为：；．
题型二、已知直角三角形的两边，求第三边长
典例2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）在，，，，则_______________．
【答案】4
【分析】已知中，以及直角边和斜边的长度，利用勾股定理即可求解的长度．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得．
题型模版
1.特征：已知直角三角形任意两边（直角边或斜边），求剩余第三边长度。
2.方法：确定斜边后，用勾股定理a2+b2=c2列方程；若含特殊角（30°或45°），也可用三边比例关系直接求解。
变式2-1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）在中，，是斜边上的高，，，则的长为______．
【答案】
【分析】利用勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，最后根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，
在中，，是斜边上的高，，，
∴，
∵，
∴
解得，
在中，．
变式2-2．（25-26八年级下·湖北随州·期中）在中，，是边上的高，，则__________ ．
【答案】21或11
【分析】分点在线段和线段延长线两种情况求解，根据勾股定理分别求出即可．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴，
分两种情况：
①如图1，点在线段上，由勾股定理得，
，
∴；
②如图2，点在线段延长线上，同①得：，
∴；
综上所述，的长为21或11．
变式2-3．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒．当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______．
【答案】5或
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，分是以为底边的等腰三角形和是以为底边的等腰三角形两种情况，结合等腰三角形的定义讨论求解即可．
【详解】解：当是以为底边的等腰三角形时，则，
由题意得，，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴当时，点P一定在的延长线上，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得；
当是以为底边的等腰三角形时，则，
∴；
综上所述，t的值为5或，
故答案为：5或．
题型三、等面积法求斜边上的高问题
典例3．（25-26八年级上·全国·期末）在中，两条直角边的长分别为和，则第三边的长为______；斜边上的高为______．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求解斜边长，再根据三角形面积的两种表示方法求解斜边上的高.
【详解】解：在中，两条直角边长为和，
∴斜边长为.
设斜边上的高为.
根据三角形面积公式，可得：，解得.
题型模版
1.特征：已知直角三角形两直角边，求斜边上的高，常结合面积相等列方程。
2.方法：用面积法 = ，故高h = ，先由勾股定理求斜边c，再代入计算。
变式3-1．（25-26八年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和，那么这个直角三角形斜边上的高为______．
【答案】/
【分析】根据勾股定理先求出斜边，再根据面积相等即可求出斜边上的高．
【详解】解：根据勾股定理，，
设斜边上的高为，直角三角形的面积有两种计算方式：
以两条直角边为底和高：，
以斜边和斜边上的高为底和高：，
联立得：，
解得：．
变式3-2．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图在中，，于D，若，，则______．
【答案】
【分析】利用勾股定理得出，利用等面积法即可求出．
【详解】解：∵在中，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
变式3-3．（25-26八年级下·安徽淮南·期末）中．，，边上的高为12，则边的长为________．
【答案】25或7
【分析】本题需分BC边上的高在内部和外部两种情况讨论，利用勾股定理分别计算和的长度，即可求出的长．
【详解】解：设边上的高为，为垂足，
①当、在点异侧时，高在内部，
∵是边上的高，
∴，
∵，，，
∴，，
∴；
②当、在点同侧时，高在外部，
∵，，，，
∴，，
∴；
综上，的长为或．
题型四、勾股定理的验证方法
典例4．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践
“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．
上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程．
【答案】解：选图1
，
，
，
；
或选图2
，
，
，
；
或选图3
，
，
，
，
．
【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简即可．
【详解】略
题型模版
1.特征：通过拼图面积恒等或几何构造，直观证明a2+b2=c2，无需代数推导。
2.方法：用四个全等直角三角形拼成正方形（如赵爽弦图），利用面积相等（大正方形面积=小正方形面积+四个三角形面积）验证。
变式4-1．（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则．
(1)【探索求证】
数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理．
(2)【问题解决】
同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解；
（2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积．
【详解】（1）解：，
且，
，
．
（2）解：由题意设，
，
．
，
．
在中，
在中，
，
解得，
，
．
．
变式4-2．（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】
如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________；
（2）【类比探究】
如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系．
（3）【应用结论】
如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证．
【答案】（1）；
（2）；
（3）由（2）得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质：
（1）根据面积的不同算法即可得乘法公式；
（2）结合全等三角形的性质可得到，再由，即可解答；
（3）由（2）得：，根据，可得，从而得到，即可求证．
【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
由面积的不同算法可得乘法公式：；
故答案为：
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（3）略
变式4-3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；
(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)已知中，，，为边上的高，且，请直接写出的面积．
【答案】(1)
解：梯形的面积为，梯形面积也等于，
∴，
∴，
∵左边：，
∴；
(2)新路比原路少千米
(3)24或84
【分析】本题主要考查勾股定理的计算和运用，理解图示，掌握勾股定理是关键．
（1）根据梯形的面积的表示方法计算即可；
（2）设千米，则，由勾股定理即可求解；
（3）根据题意，作图分析，结合勾股定理即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵，千米，千米，，
∴设千米，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴千米，千米，
∴千米，
∴新路比原路少千米；
（3）解：如图所示，
∵是边上的高，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
如图所示，，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
综上所述，的面积为24或84．
题型五、判断三边能否构成直角三角形
典例5．（25-26八年级下·重庆开州·期末）三边分别为、、，在下列条件下，不是直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C．，， D．
【答案】A
【分析】若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，根据该定理逐一判断各选项即可．
【详解】解：选项A：，，，
，，
，即，
不是直角三角形，符合题意；
选项B：，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意；
选项C：，，，
，
是直角三角形，不符合题意；
选项D：设，，（），
，
是直角三角形，不符合题意．
题型模版
1.特征：已知三条线段或三角形边长，判断是否满足勾股定理的逆定理。
2.方法：先找最大边c，若满足a2+b2=c2，则为直角三角形；否则不是（注意排除非三角形情况）。
变式5-1．（25-26八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴长度为7，24，25的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25的小棒是斜边；
长度为15，20，25的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25的小棒是斜边．
符合条件的图形为选项B．
变式5-2．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知，，为的三条边，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，则为直角三角形
B．若，则为直角三角形
C．若，则为直角三角形
D．若， ，，则为直角三角形
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【详解】Ａ、因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题；
B、移项得，符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，该命题为真命题；
C、设，，，，是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题；
D、是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题．
变式5-3．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列选项中，正确的是（ ）
A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形
C．的三边分别为，若，则是直角
D．在中，若，则是直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可.
【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误；
对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确；
对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误；
对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误；
故选：B.
题型六、在网格中判断直角三角形
典例6．（25-26八年级下·天津和平·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2
【答案】C
【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．
【详解】解：A、，正确，不符合题意；
B、，，，
，
，正确，不符合题意；
C、，结论错误，符合题意；
D、设点到直线的距离为，
，
，
则，
解得，即点到直线的距离是2，正确，不符合题意．
题型模版
1.特征：在方格纸中已知三点坐标，判断三角形形状，常通过计算三边平方判断。
2.方法：利用格点距离公式（横向差与纵向差的平方和）求三边平方，验证是否满足勾股定理的逆定理。
变式6-1．（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____．
【答案】/45度
【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答．
【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，
则点的对应点为点，点的对应点为，，
，
，，，
，，
为等腰直角三角形，
．
变式6-2．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图是由边长都为1的小正方形组成的网格，四边形的四个顶点均在格点(小正方形的顶点)上．
(1)求四边形的面积；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形的面积；
（1）根据正方形的面积减去4个三角形的面积以及1个正方形面积即可求解；
（2）根据已知边长得出，进而可得出．
【详解】（1）解：四边形的面积为：．
（2）证明：如图，连接．
∵，
，
∴，
是直角三角形，且．
变式6-3．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段且使，连接；
(2)的长为____________；
(3)为______三角形；
(4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）．
【答案】(1)解：如图所示，即为所求；
(2)5
(3)直角
(4)10
【分析】（1）根据题意结合网格的特点作图即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
（4）利用割补法求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：由勾股定理和网格的特点可得；
（3）解：由勾股定理和网格的特点可得，，，
∴，
∴是直角三角形；
（4）解：．
题型七、利用勾股定理的逆定理求解
典例7．（25-26八年级下·江西赣州·期末）如图，在三角形支架中，，垂足为D，，，．
(1)求的长；
(2)判断支架外框的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是直角三角形，
理由：由（1）知，
，，
，
是直角三角形．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】（1）解：，，，
，
又，
；
（2）略
题型模版
1.特征：已知三角形三边（或边长表达式），判断是否为直角三角形，或反求参数使三角形为直角三角形。
2.方法：用勾股定理逆定理，验证较小两边平方和是否等于最大边平方，列方程求参数并检验。
变式7-1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在四边形中，，，，，．
(1)连接，判断的形状，并说明理由；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)是直角三角形，见解析
(2)
【分析】（1）在中，由勾股定理求出的长度；通过计算与的关系，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形；
（2）将四边形的面积转化为和的面积之和，分别计算两个三角形的面积后相加．
【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下：连接．
，
，
在中，，，
，
在中，，，，
，
是直角三角形，
（2）解：．
四边形的面积为．
变式7-2．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从点到点有两条路线，分别是和．已知，点在点的正西方120米处，点在点的正北方60米处（即）．
(1)求证：；
(2)请通过计算比较这两条路线中，哪一条更短？
【答案】(1)∵在中，，，，
∴ （）， （），
∴，
∴是直角三角形，．
(2)路线更短．
【分析】（1）先明确已知的三边长度，因为要证明直角，所以用勾股定理的逆定理，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方即可．
（2）先根据已知，判断是直角，因为要求的长度，所以在中用勾股定理计算．根据（1）的结论分别计算两条路线的总长度，再比较两个总长度的大小，即可得出哪条路线更短．
【详解】（1）略
（2）解：设路线的总长度为，路线的总长度为，
．
∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得：，
∴路线总长度：．
∵，
∴路线更短．
变式7-3．（25-26八年级下·广东肇庆·期末）【问题情境】如图①，在中，为边上的高．
(1)【数学知识】若，，，求证：；
(2)【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由．
【答案】(1)证明：∵为边上的高，
∴，
∴，，
∵，，
∴，则，
∴，
∴是直角三角形，且．
(2)小华设计的房梁不安全，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴与不垂直，
∴小华设计的房梁不安全．
【分析】（1）先利用勾股定理求得，，然后求得，则；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论；
（2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可．
【详解】（1）略
（2）略
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（ ）
A．15 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项．
【详解】解：分两种情况讨论.
∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边，
∴第三边长为；
∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边，
∴第三边长为．
∴D选项符合题意．
2．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知三条线段的长分别为，，，下列条件中，不能判定它们能构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形三边关系，利用勾股定理的逆定理及三角形三边关系逐项判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、∵ 三角形任意两边之和必须大于第三边，，
∴不满足三角形三边关系，
∴ 不能构成三角形，更不能判断为直角三角形，该选项符合题意；
、∵，
∴设，， ，
∴，
∴是直角三角形，该选项不符合题意；
、∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，该选项不符合题意；
、∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，该选项不符合题意；
故选：．
3．（25-26八年级上·甘肃·期末）下列选项中，正确的是（ ）
A．在中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10
B．若三角形的三边之比为，则该三角形是直角三角形
C．的三边分别为，若，则是直角
D．在中，若，则是直角三角形
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，以及三角形内角和定理；根据各选项条件逐一判断即可.
【详解】解：对于A：∵在中，两边长分别为6和8，∴已知的两边6和8可能是两条直角边，或一条直角边和斜边，∴第三边不一定为10，故A错误；
对于B：设三边为，∴满足勾股定理逆定理，该三角形是直角三角形，故B正确；
对于C：∵，∴由勾股定理逆定理，（对），而非，故C错误；
对于D：设，则∴，故不是直角三角形，D错误；
故选：B.
4．（25-26八年级下·吉林·期末）图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，图2由主题图案中相邻两个直角三角形组合而成．当时，的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
5．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（ ）．
A． B．6 C．5 D．
【答案】D
【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度．
【详解】解： 大正方形的边长为，，
直角三角形另一条直角边．
，
，
，
∴在正方形中，，
在直角三角形中，．
二、填空题
6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组．古希腊哲学家柏拉图发现了蕴含某种共性规律的勾股数组：①，，；②，，；③，，；④，，；…，分析其中的规律，第⑤个勾股数组为________．
【答案】，，
【分析】先观察已知四组勾股数组，分别归纳三个数的变化规律，再根据规律计算得到第⑤个勾股数组．
【详解】解：观察已知勾股数组第一个数的规律：
第①组第一个数：
第②组第一个数：
第③组第一个数：
第④组第一个数：
可得第组勾股数组的第一个数为，因此第⑤组第一个数为；
观察第二个数和第三个数的规律，可得：第二个数为，第三个数为，
验证规律：
第①组：，，符合；
第②组：，，符合；
第③组：，，符合；
第④组：，，符合；
将第⑤组第一个数代入得：
第二个数：
第三个数：
故答案为 ．
7．（25-26八年级下·贵州黔南·期末）如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______．
【答案】9
【详解】解：∵所有的四边形都是正方形，
∴图中所有三角形都为直角三角形，
由勾股定理得：正方形E的面积．
【点睛】
8．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，某学校甲、乙两栋教学楼分别位于校内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座垂直于道路两旁的过路天桥，要求天桥建成后甲到乙的路程最短．则甲到乙的最短路程为_________．
【答案】
【分析】利用平移的性质解决最短路径问题，将点乙向上平移路宽的距离，连接甲与平移后的点，利用勾股定理求出线段长，再加上路宽即可．
【详解】解：如图，将点乙（点）沿垂直于道路方向向上平移得到点，连接，
由平移的性质可知，除去天桥长度外，甲到乙的最短路径即为线段的长度，天桥长度等于的长度，
，，
根据勾股定理，得，
则甲到乙的最短路程为．
9．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在中，，点 M 在上，且．点 N 是上的一动点，则的最小值为________(提示：作关于对称的点)．
【答案】
【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接，根据轴对称的性质确定当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，然后利用勾股定理以及线段的和差进行求解．
【详解】解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接交于点，连接，
∴，
∴，
当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
由轴对称的性质可得，
∴，
由勾股定理得，
∴的最小值为．
10．（2026·湖南衡阳·二模）定义∶为某个三角形的边，若与其边上的高相等，则称该三角形为边的“伴随三角形”．为边的“伴随三角形”，．
①若，则______．
②若，过点作直线的高，垂足为点，则的长为________．
【答案】 或
【分析】①根据“伴随三角形”的定义可得，根据等腰直角三角形的性质，即可求解；
②分为两种情况：当是锐角三角形时，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据线段的数量关系，即可求解；当是钝角三角形，，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据，即可求解．
【详解】解：①如图，∵为边的“伴随三角形”
∴上的高等于的长度，
∵,
∴是边的高，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②如图，是锐角三角形，交于点，
∵为边的“伴随三角形”，
∴上的高等于的长度，
∴
在中，，
∴；
；
如图，是钝角三角形，交于点，
∵为边的“伴随三角形”，
∴上的高等于的长度，
∴，
在中，，
∴；
综上所述，的长为或．
三、解答题
11．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知的三边长分别为，，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆．求图中着色部分的面积．
【答案】
【分析】设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，可得， 根据圆的面积公式以及直角三角形的面积公式，分别求得、、、的面积，即可解答．
【详解】解：如图，设以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，以为直径的半圆的面积为，
的三边长分别为，，，
，，，，
；
12．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，边上的高．
(1)根据图1，求的长；
(2)根据图2，求的长．
【答案】(1)21
(2)9
【分析】（1）利用勾股定理求出，再由求解；
（2）利用勾股定理求出，再由求解．
【详解】（1）解：如图1，当在三角形的内部时，
在中,
在中,
∴；
（2）如图2，当在三角形的外部时，
在 中,
在 中,
∴．
13．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，，，．求：
(1)的周长；
(2)判断是否是直角三角形？为什么？
【答案】(1)
(2)直角三角形，原因见详解
【分析】（1）先由勾股定理分别求出长度，再求的周长即可；
（2）由（1）中求出的的三边长度，由勾股定理的逆定理判定即可．
【详解】（1）解：，
，
在中，，，，则由勾股定理可得；
在中，，，，则由勾股定理可得；
的周长为；
（2）解：是直角三角形，
原因如下：
由（1）知，，
，
即，
是直角三角形．
14．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）定义：任意三个数，，若满足，则称为，的“调和数”．
(1)若，，则，的“调和数”_______．
(2)若，，求，的“调和数”；
(3)若，的“调和数”满足且，，均为正整数，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或
【分析】（1）根据“调和数”的定义得出关于的一元一次方程，求解即可；
（2）利用完全平方公式计算得出或，分两种情况，分别利用“调和数”的定义，计算即可得出结果；
（3）求出，再结合且，，均为正整数，得出，，为勾股数组合，由此计算即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得；
（2）解：∵，
∴或，
当时，，
∴，
当时，，
∴；
综上所述，或；
（3）解：由题意可得，
∴，
∵，
∴，
整理得，
∵，，均为正整数，
∴，
∴将两边同时除以得，
∴，
∴，
∵且，，均为正整数，
∴，，为勾股数组合，
当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意；
当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意；
当，，为勾股数，，时，，，，满足和，符合题意；
验证其他常见勾股数均不满足条件，因此的取值为或或．
15．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如果把看作关于，，的方程，那么满足这个方程的正整数解，，通常叫作勾股数组，可以记作．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：；；；…
分析这些勾股数组可以发现，，，，…
(1)分析其中的规律，请写出一组满足上述规律的勾股数组；
(2)小红将移项并因式分解得，请写出满足上述规律的第个勾股数组(用含的式子表示)，并尝试用小红的方法证明；
(3)若是满足上述规律的一组勾股数组，求的值．
【答案】(1)
(2)第个勾股数组为 ．
证明：由题意可知：第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，
令，
，
，
则 ，
即，
所以 是满足上述规律的第个勾股数组．
(3)的值为
【分析】（1）根据算式规律写出下一个等式，从而得出对应的勾股数组；
（2）先根据最小数字(勾股数组第一个数字)总结规律可知第个勾股数组的最小数字(第一个数字)是，再利用题干中等式规律可知第个勾股数组的第二个数字是即，则第个勾股数组的第三个数字，从而总结出第个勾股数组为．验证是否成立即可证明．
（3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，故令，则，利用作差法消元求出n和m，继而求出x．
【详解】（1）由，，的规律可知：下一个等式是，
则对应的勾股数组是；
（2）略
（3）因为 是满足上述规律的一组勾股数组，
故令，则，
∴，，
∴，，
解得：(负值舍去)，，
∴，，
此时，符合题意，
所以，的值为
16．（25-26八年级下·重庆·期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．
(1)如图②，直角中，，，，则斜边上的高的长为______；
(2)图③为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图③推导勾股定理．
(3)如图④，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外轮廓（粗线）的周长为48，，求该“勾股风车”图案的面积．
【答案】(1)
(2)
梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，
即．
(3)96
【分析】（1）根据勾股定理求出，利用面积法求出即可；
（2）分别用梯形的面积公式和三个直角三角形面积求出梯形的面积，再根据两次求出的面积相等列出关系式，最后化简即可证明；
（3）设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c，由题意及图形可知，，因为外轮廓周长为48，得，求得，在中，由勾股定理列等式求出x的值，即可解答
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵
∴；
（2）解：略；
（3）解：设直角三角形的较长直角边为x，较短直角边为 y，斜边为c，
由题意及图形可知，为较短直角边，即，
因为外轮廓周长为48，且由4个全等的部分组成，每部分为斜边与较长直角边减6之和， 所以，
解得，即，
在中，由勾股定理得：，
代入数据得，
解得
所以该图案的面积为：
答：该"勾股风车"图案的面积为96
17．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，四边形中，，分别以线段，，，边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，连接，利用勾股定理可以得到：．根据材料提示完成下列问题：
(1)如图2，是中边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，，请写出，，，的等量关系___________；
(2)如图3，在中，，，点是上一点，且，若，求证：是直角三角形；
(3)如图4，在中，分别以线段，，为边向外作正方形，正方形的面积分别，，试求出的面积．
【答案】(1)
(2)证明：∵，
∴设，则，
∵
∴，
∵，，
∴在和中，
，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
∵，
，
∴，
∴是直角三角形；
(3)
【分析】（1）在两个直角三角形中利用勾股定理分别表示，得出各边平方的关系，将正方形面积转化为边长平方，即可得出四个面积的等量关系；
（2）设表示出，利用双直角三角形共高列方程求出，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形即可；
（3）由正方形面积得三边平方与长，作高设元，利用共高列方程求高，最后用面积公式计算的面积即可．
【详解】（1）解：在和中，
，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴；
（2）略
（3）解：如图，过点作于点，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴和中，
，
解得，
∴，
∴，
∴．
18．（25-26八年级下·山西晋中·期中）综合与实践
定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．
【初步感知】
(1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______；
【深入探究】
(2)如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点．
【拓展延伸】
(3)如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长．
【答案】(1)13
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据勾股分割点的定义可知，以，，为边的三角形是一个直角三角形，且是斜边，，是直角边，于是直接利用勾股定理即可得解；
（2）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理即可得出结论；
（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理可得到一个关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：以，，为边的三角形是一个直角三角形，且，，
是斜边，，是直角边，
；
（2）证明：，
，
又，
，
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可知：
，，，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
点，是线段的勾股分割点；
（3），
，
又，
，
，
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可知：
，，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
解得：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑