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3　带电粒子在匀强磁场中的运动
第一章　安培力与洛伦兹力
教材整体初识 构建与探源
知识点一　带电粒子在匀强磁场中的运动
1.洛伦兹力的作用效果:洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向,不改变带电粒子速度的________,或者说洛伦兹力不对带电粒子做功。
2. 带电粒子在匀强磁场中的运动规律
带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中时的运动轨迹:
(1)当v∥B时,带电粒子将做匀速直线运动。
(2)当v⊥B时,带电粒子将做匀速圆周运动。洛伦兹力总与速度方向垂直,正好起到了________力的作用。
大小
向心
知识点一　带电粒子在匀强磁场中的运动
[思辨]
1.判断题(正确的打“√”,错误的打“ ”)
(1)洛伦兹力垂直于电荷运动方向、磁感应强度方向决定的平面。(　 　)
(2)电荷运动的方向和磁场的方向不一定垂直。(　 　)
(3)决定洛伦兹力方向的因素:电荷的电性(正、负)、速度方向和磁感应强度的方向。(　 　)
√
√
√
知识点一　带电粒子在匀强磁场中的运动
2.思考题:当不计重力的带电粒子斜射入匀强磁场时,带电粒子的运动轨迹是怎样的
【答案】 带电粒子的运动轨迹为螺旋线。
知识点二 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期
1.轨迹圆心的两种确定方法
(1)已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时,作这两个速度方向的垂线,交点即为轨迹圆心,如图甲所示。
知识点二 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期
知识点二 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期
知识点二 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期

√

知识点二 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期
命题整体感知 尝试与研析
类型一 轨道半径和周期公式的应用
类型一 轨道半径和周期公式的应用
BC
例1 (多选)在同一匀强磁场中,两个带等量电荷量的粒子仅受磁场力作用,做匀速圆周运动。下列说法正确的是 ( 　 　)
A.若速率相等,则轨道半径必相等
B.若质量相等,则周期必相等
C.若动量大小相等,则轨道半径必相等
D.若动能相等,则周期必相等
类型一 轨道半径和周期公式的应用
类型一 轨道半径和周期公式的应用
A
类型一 轨道半径和周期公式的应用
类型二 求解带电粒子在磁场中运动的半径、时间等的问题
研究带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动时,着重把握“一找圆心,二求半径,三定时间”的方法。
1.找圆心:两线定一“心”
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上。
(2)圆心一定在弦的中垂线上。
类型二 求解带电粒子在磁场中运动的半径、时间等的问题
类型二 求解带电粒子在磁场中运动的半径、时间等的问题
类型二 求解带电粒子在磁场中运动的半径、时间等的问题
类型二 求解带电粒子在磁场中运动的半径、时间等的问题
类型二 求解带电粒子在磁场中运动的半径、时间等的问题
C
活学活用
[2026·绍兴鲁迅中学检测]如图所示,在水平边界MN上方有垂直于纸面向外的匀强磁场,将两个比荷相同的带电粒子P、Q(不计重力)先后从同一位置平行于MN射入匀强磁场。粒子P、Q从边界MN飞出时速度方向分别偏转了90°、60°,则粒子P、Q在磁场中的运动时间之比和速度大小之比分别为(　 　)
A. tP∶tQ=1∶2,vP∶vQ=1∶2
B.tP∶tQ=1∶2,vP∶vQ=1∶3
C.tP∶tQ=3∶2,vP∶vQ=1∶2
D.tP∶tQ=3∶2,vP∶vQ=2∶1
类型二 求解带电粒子在磁场中运动的半径、时间等的问题3　带电粒子在匀强磁场中的运动
知识点一　带电粒子在匀强磁场中的运动
1.洛伦兹力的作用效果:洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向,不改变带电粒子速度的　大小　,或者说洛伦兹力不对带电粒子做功。
2. 带电粒子在匀强磁场中的运动规律
带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度大小为B的匀强磁场中时的运动轨迹:
(1)当v∥B时,带电粒子将做匀速直线运动。
(2)当v⊥B时,带电粒子将做匀速圆周运动。洛伦兹力总与速度方向垂直,正好起到了　向心　力的作用。
[思辨]
1.判断题(正确的打“√”,错误的打“ ”)
(1)洛伦兹力垂直于电荷运动方向、磁感应强度方向决定的平面。(　√　)
(2)电荷运动的方向和磁场的方向不一定垂直。(　√　)
(3)决定洛伦兹力方向的因素:电荷的电性(正、负)、速度方向和磁感应强度的方向。(　√　)
2.思考题:当不计重力的带电粒子斜射入匀强磁场时,带电粒子的运动轨迹是怎样的
【答案】 带电粒子的运动轨迹为螺旋线。
知识点二 带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径和周期
1.轨迹圆心的两种确定方法
(1)已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时,作这两个速度方向的垂线,交点即为轨迹圆心,如图甲所示。
甲　　乙
(2)已知粒子运动轨迹上的两点和其中一点的速度方向时,画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦),作它的中垂线,并画出已知速度方向的垂线,弦的中垂线与速度方向的垂线的交点即为轨迹圆心,如图乙所示。
2.运动半径大小的确定:洛伦兹力提供向心力,即qvB=m,轨道半径r=。
3.运动周期T的确定:将r=,解得T=。
4.两种求时间的方法
(1)利用圆心角求解:若求出这部分圆弧对应的圆心角θ,则运动时间t=T,周期T=。
(2)利用弧长s和速度v求解:t=。
[思辨]
1.判断题(正确的打“√”,错误的打“ ”)
(1)由T=知,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T与其轨道半径r成正比。(　 　)
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T与其轨道半径r无关。(　√　)
(3)由T=知,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T与其速率v成反比。(　 　)
2.思考题:带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期由什么决定
【答案】 由T=可知,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期由带电粒子的比荷和磁场的磁感应强度B决定。
类型一 轨道半径和周期公式的应用
1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,即qvB=m。
2.同一粒子在同一匀强磁场中,由r=知,r与速度v成正比;由T=知,T与速度无关,与轨道半径大小无关。
例1 (多选)在同一匀强磁场中,两个带等量电荷量的粒子仅受磁场力作用,做匀速圆周运动。下列说法正确的是 (　BC　)
A.若速率相等,则轨道半径必相等
B.若质量相等,则周期必相等
C.若动量大小相等,则轨道半径必相等
D.若动能相等,则周期必相等
【解析】 带电粒子仅受洛伦兹力作用做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=
,可知B正确,D错误。
活学活用
[2026·菱湖中学检测]如图所示,空间分布有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一质量为M、电荷量为q(q>0)的粒子静止在O点。某时刻,该粒子炸裂成P、Q两部分,P粒子质量为,Q粒子质量为。不计粒子重力及粒子间的相互作用,下列说法正确的是 (　A　)
A.P粒子与Q粒子的运动半径之比r1∶r2=2∶1
B.P粒子与Q粒子的运动半径之比r1∶r2=1∶2
C.P粒子与Q粒子的运动周期之比T1∶T2=2∶1
D.P粒子与Q粒子的运动周期之比T1∶T2=1∶2
【解析】 根据动量守恒定律有,结合上述解得T1∶T2=1∶1,C、D错误。
类型二 求解带电粒子在磁场中运动的半径、时间等的问题
研究带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动时,着重把握“一找圆心,二求半径,三定时间”的方法。
1.找圆心:两线定一“心”
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上。
(2)圆心一定在弦的中垂线上。
2.求半径
方法1:由公式qvB=m。
方法2:由轨迹和约束边界间的几何关系求解半径r。
3.定时间:粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时,其运动时间t=T(或t=T)。
4.圆心角与偏向角、圆周角的关系——两个重要结论
(1)带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角φ叫作偏向角,偏向角等于圆弧对应的圆心角α,即α=φ,如图所示。
(2)圆弧所对应圆心角α等于弦PM与切线的夹角(弦切角)θ的2倍,即α=2θ。
例2 如图所示,一束电子(电荷量为e)以速度v垂直射入磁感应强度大小为B、宽度为d的有界匀强磁场中,穿过磁场时的速度方向与原来电子入射方向间的夹角θ=30°,则电子的质量是多少 电子穿过磁场的时间又是多少 (忽略电子所受重力)
【答案】
【解析】 电子在磁场中运动时,只受洛伦兹力作用,故其轨迹是圆弧。又因为洛伦兹力与速度v垂直,故圆心应在电子穿入和穿出磁场时所受洛伦兹力延长线的交点上。从图中可以看出,AB弧所对的圆心角θ=30°==2d,
由半径公式r=。
电子通过AB弧所用的时间,即穿过磁场的时间
t=。
活学活用
[2026·绍兴鲁迅中学检测]如图所示,在水平边界MN上方有垂直于纸面向外的匀强磁场,将两个比荷相同的带电粒子P、Q(不计重力)先后从同一位置平行于MN射入匀强磁场。粒子P、Q从边界MN飞出时速度方向分别偏转了90°、60°,则粒子P、Q在磁场中的运动时间之比和速度大小之比分别为 (　C　)
A. tP∶tQ=1∶2,vP∶vQ=1∶2
B.tP∶tQ=1∶2,vP∶vQ=1∶3
C.tP∶tQ=3∶2,vP∶vQ=1∶2
D.tP∶tQ=3∶2,vP∶vQ=2∶1
【解析】 根据牛顿第二定律得qvB=,所以速度大小之比vP∶vQ=1∶2,故A、B、D错误,C正确。

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