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拓展与归类·专题研析2　带电粒子在有界磁场中的临界和极值问题
知识点　常见的有界磁场
1.圆形边界:沿径向射入必沿径向射出;不沿径向射入时,轨迹与磁场边界交点处粒子速度方向与交点所在磁场圆半径的夹角相等。粒子运动轨迹如图所示。
2.直线边界:进出磁场具有对称性。进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。粒子运动轨迹如图所示。
3.平行边界:存在临界条件。粒子运动轨迹如图所示。
[思辨]
1.判断题(正确的打“√”,错误的打“ ”)
(1)运动电荷所受洛伦兹力的大小跟运动方向与磁场方向的夹角无关。 (　 　)
(2)电荷的运动方向与磁场方向斜交时电荷肯定受洛伦兹力。(　√　)
(3)公式F=qvB中的v是电荷垂直于磁场方向的运动速度。(　√　)
2.思考题:为什么运动电荷所受洛伦兹力永不做功
【答案】 因为运动电荷所受洛伦兹力方向始终与其运动方向垂直。
类型一 圆形磁场边界的临界、极值问题
　　当带电粒子在圆形磁场区域运动的轨道半径小于或等于磁场区域半径时,粒子射出圆形磁场的点与入射点的最远距离等于轨道直径。
例1 真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为(　C　)
A.
【解析】 磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示,设电子在磁场中做圆周运动的半径为r,由几何关系得a2+r2=(3a-r)2,解得r=,故选C。
例2 如图所示,圆形区域内有一垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出),P为磁场边界上的一点。无数带有相同电荷、具有相同质量的粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P点进入磁场。不计重力及带电粒子之间的相互作用。这些粒子射出磁场的位置均处于圆形边界的某一段圆弧上,这段圆弧的弧长是圆周长的。将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2,结果相应的弧长变为原来的一半,则等于(　B　)
A.
C.2 D.3
【解析】 当带电粒子在圆形磁场区域运动的轨道半径小于或等于磁场区域半径时,粒子射出圆形磁场的点与入射点的最远距离为轨道直径。如图所示,当粒子射出磁场的弧长等于
,故选B。
类型二直线磁场边界的临界、极值问题
　　粒子在边界为直线的匀强磁场中做匀速圆周运动,当轨迹与磁场边界交点的弦长等于直径时,粒子射出磁场的位置与入射点相距最远,或者粒子轨迹与边界相切时,粒子射出磁场的位置与入射点相距最远。
例3 如图所示,一足够长的矩形区域abcd内,有磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。现从矩形区域ad边的中点O处垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v的带正电粒子。已知带电粒子的质量为m,电荷量为q,ad边长为L,忽略重力。求:
(1)带电粒子能从ab边射出磁场的速度v的范围。
(2)带电粒子不受上述v大小范围的限制时在磁场中运动的最长时间。
【答案】 (1)
【解析】 (1)当速度v较小时,运动轨迹恰好与ab边相切;当速度v较大时,轨迹恰好与cd边相切,然后从ab边射出,如图所示。
当速度较小,为v1时,有
r1+r1sin 30°=L,
解得r1=;
当速度较大,为v2时,由几何关系知r2=L,
又由半径公式r=。
因此,带电粒子在磁场中从ab边射出时,其速度范围为。
(2)带电粒子在磁场中运动的周期T=,
要使带电粒子运动时间最长,其运动轨迹对应的圆心角应最大,所以粒子在磁场中运动一段时间后从Oa边射出时,对应的运动时间最长,即有
tmax=。
例4 如图所示,在水平荧光板MN的上方分布着磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,O为MN中点,O点正上方有一粒子源S,能够在纸面内向各个方向发射速度大小为v=的带正电的粒子。已知粒子的电荷量为q、质量为m,MN=2d,OS=d,不计粒子间的相互作用及粒子重力。求:
(1)从粒子源发射的粒子运动到荧光板的最短时间。
(2)粒子打到荧光板上的区域长度。
【答案】 (1)+1)d
【解析】 (1)设粒子在磁场中运动的轨道半径为R,由洛伦兹力提供向心力得qvB==d。
粒子在磁场中做圆周运动的周期T=,
当粒子从S点出发运动到O点时,其在磁场中运动的时间最短,相应轨迹对应的圆心角最小,为60°,如图甲所示,粒子从S点出发运动到荧光板的最短时间
t=。
(2)粒子做匀速圆周运动,当S点到出射点的弦是直径时,打到荧光板上的点最远,设为M',如图乙所示。由几何知识可知
OM'=d。
因此,只要粒子入射速度方向合适,可以使OM上全部有粒子打到。
若粒子沿着SO方向发射,则轨迹恰好与MN相切于A点,如图丙所示,A点为粒子打到荧光板上的最右边的点。由几何关系可知,OA=d。
所以,粒子打到荧光板上的区域长度为
OM+OA=(+1)d。(共20张PPT)
拓展与归类·专题研析2　带电粒子在有界磁场中的临界和极值问题
第一章　安培力与洛伦兹力
教材整体初识 构建与探源
知识点　常见的有界磁场
1.圆形边界:沿径向射入必沿径向射出;不沿径向射入时,轨迹与磁场边界交点处粒子速度方向与交点所在磁场圆半径的夹角相等。粒子运动轨迹如图所示。
知识点　常见的有界磁场
2.直线边界:进出磁场具有对称性。进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。粒子运动轨迹如图所示。
知识点　常见的有界磁场
3.平行边界:存在临界条件。粒子运动轨迹如图所示。
知识点　常见的有界磁场
[思辨]
1.判断题(正确的打“√”,错误的打“ ”)
(1)运动电荷所受洛伦兹力的大小跟运动方向与磁场方向的夹角无关。(　 　)
(2)电荷的运动方向与磁场方向斜交时电荷肯定受洛伦兹力。(　 　)
(3)公式F=qvB中的v是电荷垂直于磁场方向的运动速度。(　 　)
2.思考题:为什么运动电荷所受洛伦兹力永不做功
【答案】 因为运动电荷所受洛伦兹力方向始终与其运动方向垂直。

√
√
命题整体感知 尝试与研析
类型一 圆形磁场边界的临界、极值问题
当带电粒子在圆形磁场区域运动的轨道半径小于或等于磁场区域半径时,粒子射出圆形磁场的点与入射点的最远距离等于轨道直径。
类型一 圆形磁场边界的临界、极值问题
C
类型一 圆形磁场边界的临界、极值问题
类型一 圆形磁场边界的临界、极值问题
B
类型一 圆形磁场边界的临界、极值问题
类型二 直线磁场边界的临界、极值问题
粒子在边界为直线的匀强磁场中做匀速圆周运动,当轨迹与磁场边界交点的弦长等于直径时,粒子射出磁场的位置与入射点相距最远,或者粒子轨迹与边界相切时,粒子射出磁场的位置与入射点相距最远。
类型二 直线磁场边界的临界、极值问题
类型二 直线磁场边界的临界、极值问题
类型二 直线磁场边界的临界、极值问题
类型二 直线磁场边界的临界、极值问题
类型二 直线磁场边界的临界、极值问题
类型二 直线磁场边界的临界、极值问题
类型二 直线磁场边界的临界、极值问题

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