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拓展与归类·专题研析5　带电粒子在叠加场中的运动
第一章　安培力与洛伦兹力
教材整体初识 构建与探源
知识点　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场:电场、磁场、重力场共存,或其中两种场共存。
2.求解带电粒子在叠加场中运动的基本思路
(1)弄清叠加场的组成。
(2)对带电粒子进行受力分析。
(3)确定带电粒子的运动状态,注意运动情况和受力情况的结合。
(4)当带电粒子做匀速直线运动时,根据受力平衡列方程求解。
知识点　带电粒子在叠加场中的运动
3.电场、磁场、重力场的比较
名称 力的特点 功和能的特点
电场 大小:F=qE
方向:正电荷所受静电力方向与电场强度方向相同,负电荷所受静电力方向与电场强度方向相反 静电力做功与路径无关,W=qU,静电力做功改变电势能
磁场 大小:F=qvB(v⊥B)
方向:可用左手定则判断 洛伦兹力不做功,不改变带电粒子的动能
重力场 大小:G=mg
方向:竖直向下 重力做功与路径无关,重力做功改变物体的重力势能
知识点　带电粒子在叠加场中的运动
4.分析方法
知识点　带电粒子在叠加场中的运动
5.关于是否考虑粒子重力的三种情况
(1)对于微观粒子,如电子、质子、离子等,因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小,可以忽略;而对于一些实际物体,如带电小球、液滴、尘埃等,一般应当考虑其重力。
(2)题目中有明确说明是否要考虑重力的,按题目要求处理。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的,在进行受力分析与运动分析时,要结合运动状态确定是否要考虑重力。
知识点　带电粒子在叠加场中的运动
[思辨]
1.判断题(正确的打“√”,错误的打“ ”)
(1)洛伦兹力的大小不仅与磁感应强度B有关,而且与带电体所带电荷量q有关,还与带电体的运动速度v有关。 ( 　 　)
(2)洛伦兹力属于性质力,在研究带电粒子在磁场中的运动时,应注意考虑带电粒子是否受洛伦兹力。(　 　)
(3)带电粒子的速度变化会影响洛伦兹力,洛伦兹力变化会导致带电粒子的合力和加速度也变化。(　 　)
√
√
√
知识点　带电粒子在叠加场中的运动
命题整体感知 尝试与研析
类型一 磁场、重力场并存
1.若重力和洛伦兹力平衡,则带电粒子做匀速直线运动。
2.若重力和洛伦兹力不平衡,则带电粒子做复杂的曲线运动。因F洛不做功,故机械能守恒,由此可求解问题。
类型一 磁场、重力场并存
例1 如图所示,带正电的小球竖直向下射入垂直于纸面向里的匀强磁场,关于小球的运动和受力的说法正确的是 (　 　)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
【解析】 根据左手定则,可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右,A正确;小球受洛伦兹力和重力的作用,则小球运动过程中速度和加速度的大小、方向都在变,B、C错误;洛伦兹力永不做功,D错误。
A
类型一 磁场、重力场并存
C
活学活用
[2026·金华一中检测]如图甲所示,一个带正电的小球M从光滑绝缘桌面的边缘以水平向右的速度v0抛出,离开桌面后进入方向垂直于纸面向外的匀强磁场,最后落到地板上,此过程中,小球M在水平方向的分速度一直向右;如图乙所示,一个带正电的小球N从光滑绝缘桌面的边缘以水平向右的速度v0抛出,离开桌面后进入水平向右的匀强电场,最后落到地板上。甲、乙两图中,桌面离地板的高度相同,两球的质量和带电荷量均相同,不计空气阻力,下列说法正确的是 (　 　)
A.小球M在空中运动的时间比小球N的长
B.小球M的落地速度比小球N的大
C.小球M在水平方向的分速度越来越小,小球N在水平方向的分速度越来越大
D.落地时小球M、N的速度方向可能相同
类型一 磁场、重力场并存
类型二 电场、磁场并存(不计微观粒子的重力)
1.若静电力和洛伦兹力平衡,则带电粒子做匀速直线运动。
2.若静电力和洛伦兹力不平衡,则带电粒子做复杂的曲线运动。因F洛不做功,故可用动能定理求解问题。
类型二 电场、磁场并存(不计微观粒子的重力)
C
类型二 电场、磁场并存(不计微观粒子的重力)
类型二 电场、磁场并存(不计微观粒子的重力)
活学活用
1.空间存在着匀强磁场和匀强电场,电场的方向沿x轴正方向,磁场的方向垂直于Oxy平面。一电子从坐标原点O由静止释放,运动过程中经过y轴上的A点。下列说法正确的是(　 　)
A.磁场方向垂直于Oxy平面向外
B.电子到A点时的速度为0
C.电子可能会经过第一象限
D.电子会重新回到O点
B
类型二 电场、磁场并存(不计微观粒子的重力)
【解析】 电场的方向沿x轴正方向,电子受到的静电力方向沿x轴负方向,且由静止向x轴负方向运动,能经过y轴上的A点,说明运动过程中受到的洛伦兹力方向向上,由左手定则可知磁场方向垂直于Oxy平面向里,A错误;从O点到A点,静电力做功为0,洛伦兹力不做功,所以电子到A点时的速度为0,B正确;根据分析,电子从O点经过第二象限运动到A点,从A点又重复之前的运动向上偏转,不会经过第一象限,也不会重新回到O点,C、D错误。
类型二 电场、磁场并存(不计微观粒子的重力)
BC
类型二 电场、磁场并存(不计微观粒子的重力)
类型三 电场、磁场、重力场并存
1.若静电力、洛伦兹力和重力平衡,则带电粒子一定做匀速直线运动。
2.若重力与静电力平衡,则带电粒子一定做匀速圆周运动(磁场方向与带电粒子运动方向垂直)。
3.若合力不为0且与速度方向不垂直,则带电粒子做复杂的曲线运动。因F洛不做功,故可用能量守恒定律或动能定理求解问题。
类型三 电场、磁场、重力场并存
例3 [2026·东阳中学检测]如图所示,在重力、静电力和洛伦兹力作用下,一带电液滴做直线运动。下列关于带电液滴的带电性质和运动的说法不正确的是 (　 　)
A.液滴可能带负电
B.液滴一定做匀速直线运动
C.不论液滴带正电还是负电,运动轨迹均为同一条直线
D.液滴不可能在垂直于电场的方向上运动
C
类型三 电场、磁场、重力场并存
【解析】 若液滴带正电,则液滴受到竖直向下的重力、水平向右的静电力,两个力的合力斜向右下方,根据洛伦兹力总与带电体运动方向垂直的特点可知,若要液滴做直线运动,则液滴所受洛伦兹力方向固定,由平衡条件可知,洛伦兹力与重力和静电力的合力必定等大反向,由左手定则判断可知,液滴向右上方做匀速直线运动;同理可知,若液滴带负电,则液滴向左上方做匀速直线运动。由以上分析可知,液滴可能带正电,也可能带负电,一定做匀速直线运动,且其运动方向一定不会与电场方向垂直,但是液滴带正电和带负电时的运动轨迹不是同一条直线,故A、B、D正确,C错误。本题选错误选项,故选C。
类型三 电场、磁场、重力场并存
ACD
类型三 电场、磁场、重力场并存
类型三 电场、磁场、重力场并存
活学活用
如图所示,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场方向垂直于纸面向里。在该区域内,有四个质量相同的带正电的微粒甲、乙、丙、丁。微粒甲静止不动;微粒乙在纸面内向右做匀速直线运动;微粒丙在纸面内向左做匀速直线运动;微粒丁在纸面内做匀速圆周运动。已知微粒之间互不影响,则四个微粒中所带电荷量最小的是 ( 　 　)
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
B
类型三 电场、磁场、重力场并存拓展与归类·专题研析5　带电粒子在叠加场中的运动
知识点　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场:电场、磁场、重力场共存,或其中两种场共存。
2.求解带电粒子在叠加场中运动的基本思路
(1)弄清叠加场的组成。
(2)对带电粒子进行受力分析。
(3)确定带电粒子的运动状态,注意运动情况和受力情况的结合。
(4)当带电粒子做匀速直线运动时,根据受力平衡列方程求解。
3.电场、磁场、重力场的比较
名称 力的特点 功和能的特点
电场 大小:F=qE 方向:正电荷所受静电力方向与电场强度方向相同,负电荷所受静电力方向与电场强度方向相反 静电力做功与路径无关,W=qU,静电力做功改变电势能
磁场 大小:F=qvB(v⊥B) 方向:可用左手定则判断 洛伦兹力不做功,不改变带电粒子的动能
重力场 大小:G=mg 方向:竖直向下 重力做功与路径无关,重力做功改变物体的重力势能
4.分析方法
5.关于是否考虑粒子重力的三种情况
(1)对于微观粒子,如电子、质子、离子等,因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小,可以忽略;而对于一些实际物体,如带电小球、液滴、尘埃等,一般应当考虑其重力。
(2)题目中有明确说明是否要考虑重力的,按题目要求处理。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的,在进行受力分析与运动分析时,要结合运动状态确定是否要考虑重力。
[思辨]
1.判断题(正确的打“√”,错误的打“ ”)
(1)洛伦兹力的大小不仅与磁感应强度B有关,而且与带电体所带电荷量q有关,还与带电体的运动速度v有关。 (　√　)
(2)洛伦兹力属于性质力,在研究带电粒子在磁场中的运动时,应注意考虑带电粒子是否受洛伦兹力。 (　√　)
(3)带电粒子的速度变化会影响洛伦兹力,洛伦兹力变化会导致带电粒子的合力和加速度也变化。 (　√　)
2.思考题:垂直于匀强磁场的通电导线所受的安培力F=IlB,由此,我们用B=来定义磁感应强度。同样,运动方向垂直于匀强磁场的带电粒子所受的洛伦兹力F=qvB,由此也可以用洛伦兹力来定义磁感应强度。这样得到磁感应强度的定义式是怎样的
【答案】 B=。
类型一 磁场、重力场并存
1.若重力和洛伦兹力平衡,则带电粒子做匀速直线运动。
2.若重力和洛伦兹力不平衡,则带电粒子做复杂的曲线运动。因F洛不做功,故机械能守恒,由此可求解问题。
例1 如图所示,带正电的小球竖直向下射入垂直于纸面向里的匀强磁场,关于小球的运动和受力的说法正确的是 (　A　)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
【解析】 根据左手定则,可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右,A正确;小球受洛伦兹力和重力的作用,则小球运动过程中速度和加速度的大小、方向都在变,B、C错误;洛伦兹力永不做功,D错误。
活学活用
[2026·金华一中检测]如图甲所示,一个带正电的小球M从光滑绝缘桌面的边缘以水平向右的速度v0抛出,离开桌面后进入方向垂直于纸面向外的匀强磁场,最后落到地板上,此过程中,小球M在水平方向的分速度一直向右;如图乙所示,一个带正电的小球N从光滑绝缘桌面的边缘以水平向右的速度v0抛出,离开桌面后进入水平向右的匀强电场,最后落到地板上。甲、乙两图中,桌面离地板的高度相同,两球的质量和带电荷量均相同,不计空气阻力,下列说法正确的是 (　C　)
A.小球M在空中运动的时间比小球N的长
B.小球M的落地速度比小球N的大
C.小球M在水平方向的分速度越来越小,小球N在水平方向的分速度越来越大
D.落地时小球M、N的速度方向可能相同
【解析】 小球M在下落过程中,在竖直方向上要受重力和洛伦兹力竖直向下的分力共同作用,加速度大于重力加速度,小球N在下落过程中,在竖直方向只受重力的作用,加速度等于重力加速度,两球下落的高度相同,竖直方向的初速度都为0,小球M在空中运动的时间比小球N的短,由
,其中x为小球N沿水平方向运动的距离,可知vM类型二 电场、磁场并存(不计微观粒子的重力)
1.若静电力和洛伦兹力平衡,则带电粒子做匀速直线运动。
2.若静电力和洛伦兹力不平衡,则带电粒子做复杂的曲线运动。因F洛不做功,故可用动能定理求解问题。
例2 [2026·长兴中学检测]如图所示,两平行极板水平放置,两板间有垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场,磁场的磁感应强度大小为B。一束质量均为m、电荷量均为+q的粒子,以不同速率沿着两板中轴线PQ方向进入板间后,速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动,速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示,A为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置,乙粒子全程速率在之间变化。研究一般的曲线运动时,可将曲线分割成许多很短的小段,这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分,采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用,下列说法正确的是(　C　)
A.两板间电场强度的大小为
B.乙粒子从进入板间至运动到A位置的过程中,在水平方向上做匀速运动
C.乙粒子偏离中轴线的最远距离为
D.乙粒子的运动轨迹A处对应圆周的半径为
【解析】 速率为v的甲粒子恰好做匀速直线运动,则有qvB=Eq,可得两板间电场强度的大小E=vB,故A错误;速率为
,故D错误。
活学活用
1.空间存在着匀强磁场和匀强电场,电场的方向沿x轴正方向,磁场的方向垂直于Oxy平面。一电子从坐标原点O由静止释放,运动过程中经过y轴上的A点。下列说法正确的是(　B　)
A.磁场方向垂直于Oxy平面向外
B.电子到A点时的速度为0
C.电子可能会经过第一象限
D.电子会重新回到O点
【解析】 电场的方向沿x轴正方向,电子受到的静电力方向沿x轴负方向,且由静止向x轴负方向运动,能经过y轴上的A点,说明运动过程中受到的洛伦兹力方向向上,由左手定则可知磁场方向垂直于Oxy平面向里,A错误;从O点到A点,静电力做功为0,洛伦兹力不做功,所以电子到A点时的速度为0,B正确;根据分析,电子从O点经过第二象限运动到A点,从A点又重复之前的运动向上偏转,不会经过第一象限,也不会重新回到O点,C、D错误。
2.(多选)如图所示,空间存在着正交的匀强磁场和匀强电场,已知电场强度大小为E,方向竖直向下,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面(图中未画出)。一电子从O点以一定初速度v0水平向右飞入其中,运动轨迹如图所示,其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点,不计电子的重力。下列说法正确的是(　BC　)
A.磁感应强度方向垂直于纸面向外
B.磁感应强度方向垂直于纸面向里
C.电子的初速度v0大于
D.由O点至P点的运动过程中,电子的速率在增大
【解析】 电子进入正交的匀强磁场和匀强电场时,受向上的静电力,电子向下偏转,则洛伦兹力方向向下,根据左手定则可知,磁感应强度方向垂直于纸面向里,A错误,B正确;进入正交的匀强磁场和匀强电场时,电子受向下的洛伦兹力大于向上的静电力,可知ev0B>eE,即电子的初速度v0>,C正确;电子由O点至P点的运动过程中,静电力做负功,洛伦兹力不做功,则电子的速率在减小,D错误。
类型三 电场、磁场、重力场并存
1.若静电力、洛伦兹力和重力平衡,则带电粒子一定做匀速直线运动。
2.若重力与静电力平衡,则带电粒子一定做匀速圆周运动(磁场方向与带电粒子运动方向垂直)。
3.若合力不为0且与速度方向不垂直,则带电粒子做复杂的曲线运动。因F洛不做功,故可用能量守恒定律或动能定理求解问题。
例3 [2026·东阳中学检测]如图所示,在重力、静电力和洛伦兹力作用下,一带电液滴做直线运动。下列关于带电液滴的带电性质和运动的说法不正确的是 (　C　)
A.液滴可能带负电
B.液滴一定做匀速直线运动
C.不论液滴带正电还是负电,运动轨迹均为同一条直线
D.液滴不可能在垂直于电场的方向上运动
【解析】 若液滴带正电,则液滴受到竖直向下的重力、水平向右的静电力,两个力的合力斜向右下方,根据洛伦兹力总与带电体运动方向垂直的特点可知,若要液滴做直线运动,则液滴所受洛伦兹力方向固定,由平衡条件可知,洛伦兹力与重力和静电力的合力必定等大反向,由左手定则判断可知,液滴向右上方做匀速直线运动;同理可知,若液滴带负电,则液滴向左上方做匀速直线运动。由以上分析可知,液滴可能带正电,也可能带负电,一定做匀速直线运动,且其运动方向一定不会与电场方向垂直,但是液滴带正电和带负电时的运动轨迹不是同一条直线,故A、B、D正确,C错误。本题选错误选项,故选C。
例4 (多选)空间存在竖直向上的匀强电场和垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出),一质量为m、电荷量为q的带电小球在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动,最高点为a,最低点为b,不计空气阻力,重力加速度为g。下列说法正确的是(　ACD　)
A.小球带正电,且电场强度大小E=
B.磁场方向垂直于纸面向外
C.小球在从a点运动到b点的过程中,电势能增加
D.运动过程中突然将磁场反向,小球仍能做匀速圆周运动
【解析】 小球在竖直平面内做匀速圆周运动,受到重力、静电力和洛伦兹力的作用,静电力与重力平衡,则知小球带正电,且qE=mg,解得E=,故A正确;小球在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由左手定则可知,磁场方向垂直于纸面向里,故B错误;小球在从a点运动到b点的过程中,静电力做负功,小球的电势能增加,故C正确;运动过程中突然将磁场反向,重力与静电力仍平衡,洛伦兹力反向,小球仍做匀速圆周运动,故D正确。
活学活用
如图所示,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场方向垂直于纸面向里。在该区域内,有四个质量相同的带正电的微粒甲、乙、丙、丁。微粒甲静止不动;微粒乙在纸面内向右做匀速直线运动;微粒丙在纸面内向左做匀速直线运动;微粒丁在纸面内做匀速圆周运动。已知微粒之间互不影响,则四个微粒中所带电荷量最小的是 (　B　)
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
【解析】 对于微粒甲,根据平衡条件有mg=q1E,解得q1=,综上可得q3>q1=q4>q2,故选B。

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