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5.2.1　基本初等函数的导数
第五章　一元函数的导数及其应用
5.2　导数的运算
1.能根据导数的定义推导常用函数的导数；
2.掌握基本初等函数的导数公式；
3.能利用基本初等函数的导数公式解决有关问题.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
0
1
2x
3x2
0
αxα－1
cos x
－sin x
axln a
ex
(请在括号中打“√”或“×”)
×
×
×
×
×
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
利用导数公式求函数的导数
解： y'=0.
活学活用
解： y'=0.
· ·
题后感悟
类型二
导数公式的实际应用
活学活用
由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的瞬时速度，就是求相关函数在某点处的导数.
· ·
题后感悟
例3 已知函数f(x)=x3.
(1)求曲线y=f(x)在点M(－1，－1)处的切线方程.
解：因为f(x)=x3，
所以f'(x)=3x2，可得f'(－1)=3，
所以曲线y=f(x)在点(－1，－1)处的切线方程为y＋1=3(x＋1)，
即3x－y＋2=0.
类型三
利用导数公式解决切线问题
(2)求曲线y=f(x)过点E(2，0)的切线方程.
解：设所求切线在曲线y=f(x)上的切点为(m，m3)，则f'(m)=3m2，
所以切线方程为y－m3=3m2(x－m)，即3m2x－y－2m3=0.
又点E(2，0)在切线上，所以6m2－2m3=0，解得m=0或m=3，
所以切线方程为y=0或27x－y－54=0.
活学活用
(2)斜率为e且与曲线y=ex相切.
解：由y=ex，得y'=ex.
因为切线斜率为e，所以y'=ex=e，所以x=1，
则切点坐标为(1，e)，
所以切线方程为y－e=e(x－1)，即y=ex.
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式求解.
· ·
题后感悟5.2　导数的运算
5.2.1　基本初等函数的导数
1.能根据导数的定义推导常用函数的导数; 2.掌握基本初等函数的导数公式;3.能利用基本初等函数的导数公式解决有关问题.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若y=,则y'=×3=.(　×　)
(2)若f(x)=sin x,则[f(π)]'=-1.(　×　)
(3)若f(x)=log2x,则f'(x)=.(　×　)
(4)若f(x)=3x,则f'(x)=x·3x-1.(　×　)
(5)若f'(x)=1,则f'(x)的原函数一定是f(x)=x.(　×　)
类型一　利用导数公式求函数的导数
例1求下列函数的导数:
(1)y=sin .(2)y=.(3)y=.
(4)y=.(5)y=log3x.(6)y=2cos2-1.
解:(1)y'=0.
(2)y'=ln =-ln 2.
(3)y'=()'=-.
(4)y'=()'=.
(5)y'=.
(6)∵y=2cos2-1=cos x,
∴y'=(cos x)'=-sin x.
活学活用
求下列函数的导数:
(1) y=2 024.(2)y=lg x.(3)f(x)=.
(4)y=sin.
解:(1)y'=0.
(2)y'=.
(3)由f(x)=,可得f'(x)=.
(4)y=sin=cos x,y'=-sin x.
利用导数公式求函数导数的方法
(1)若所求函数符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
(3)要特别注意“与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数的区别.
类型二　导数公式的实际应用
例2[2026·烟台二中] 已知某质点的运动方程是s=sin t.
(1)求该质点在t=时的速度.
(2)求该质点运动的加速度方程.
解:(1)∵v(t)=s'(t)=cos t,
∴v=cos,即质点在t=时的速度为.
(2)∵v(t)=cos t,
∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t.
活学活用
若质点P的运动方程是s(t)=(s的单位:m;t的单位:s),求质点P在t=8 s时的瞬时速度.
解:s(t)=,故s'(t)=,
s'(8)=,
故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s.
由导数的定义可知,导数是瞬时变化率,所以求某个量的瞬时速度,就是求相关函数在某点处的导数.
类型三　利用导数公式解决切线问题
例3 已知函数f(x)=x3.
(1)求曲线y=f(x)在点M(-1,-1)处的切线方程.
(2)求曲线y=f(x)过点E(2,0)的切线方程.
解:(1)因为f(x)=x3,
所以f'(x)=3x2,可得f'(-1)=3,
所以曲线y=f(x)在点(-1,-1)处的切线方程为y+1=3(x+1),即3x-y+2=0.
(2)设所求切线在曲线y=f(x)上的切点为(m,m3),则f'(m)=3m2,所以切线方程为y-m3=3m2(x-m),即3m2x-y-2m3=0.
又点E(2,0)在切线上,所以6m2-2m3=0,解得m=0或m=3,所以切线方程为y=0或27x-y-54=0.
活学活用
[2026·雅礼中学检测] 求满足下列条件的直线l的方程.
(1)过原点且与曲线y=ln x相切.
(2)斜率为e且与曲线y=ex相切.
解:(1)由y=ln x,得y'=(x>0).
设切点坐标为(m,ln m),切线方程为y=kx,
所以k=,所以y=x.
因为切点(m,ln m)在切线上,所以ln m=·m=1,所以m=e.所以切线方程为y=x.
(2)由y=ex,得y'=ex.因为切线斜率为e,所以y'=ex=e,所以x=1,则切点坐标为(1,e),所以切线方程为y-e=e(x-1),即y=ex.
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式求解.
　　　　　课后请完成高效作业21

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