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5.1.2　导数的概念及其几何意义
第五章　一元函数的导数及其应用
第1课时　导数的概念
5.1　导数的概念及其意义
1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数概念的实际背景；
2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
(请在括号中打“√”或“×”)
√
×
√
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
求平均变化率
活学活用
C
C
· ·
题后感悟
类型二
导数定义的应用
活学活用
A
－2
· ·
题后感悟
类型三
导数在实际问题中的意义
活学活用
在物理中，导数往往具有实际意义，如位移关于时间求导的意义是速度，速度关于时间求导的意义是加速度，等等.
· ·
题后感悟
对于函数y=fx),设自变量x从x变化到x+△x,相应地，函数值y就从
平均变
fxo)变化到fxo十△x).这时，x的变化量为△x,y的变化量为△y=fx十△x)一
化率
x我们把比值会，即
叫做函数y=fx)从xo
导数的概念
到十△x的平均变化率
如果当△x→0时，平均变化率
无限趋近于一个确定的值，即会智
有极限，则称y=fx)在x=x处可导，并把这个确定的值叫做y=fx)在
导数
x=处的导数（也称为瞬时变化率），记作∫'(xo)或yx=,即f(xo)=
lim Ay=lim
△x→0△X△x0
(1)函数在x=x处的导数反映了函数在区间[xo,x+△x上变化的快慢程
度.(
(2)函数y=fx)在x=x处的导数值与△x的正、负无关.(
(3)设=x,+△x,则△x=x-xo,当△x趋近于0时，x趋近于xo,因此，
f,)上Iim6o+4w)-f
lim
f()-fG
→0
解：因为x)一x-2x+1,所以从0.1到0.3的平均变化率为03
0.1
033-2x03+-013-2x01+1-187.
0.2
解：f0+△)-)+△y-20+△)+1-8-2+1)
=8+3Ax+3xAxy+x9-2-2Ax+1-8
=3x+3x△xy+(4x)-2△x,
所以函数)在区问，名+△x上的平均变化率为
3场x+3y+9-2s3场+3xAx+(△y-2
【解析】由题意得平均变化宰为②-（一卫
22+1一2-1一1
7
2一一1】
3
65.1.2　导数的概念及其几何意义
第1课时　导数的概念
1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,体会导数概念的实际背景;2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数在x=x0处的导数反映了函数在区间[x0,x0+Δx]上变化的快慢程度.(　×　)
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关.(　√　)
(3)设x=x0+Δx,则Δx=x-x0,当Δx趋近于0时,x趋近于x0,因此,f'(x0)=.(　√　)
类型一　求平均变化率
例1已知函数f(x)=x3-2x+1,求:
(1)f(x)从0.1到0.3的平均变化率.
(2)f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.
解: (1)因为f(x)=x3-2x+1,所以f(x)从0.1到0.3的平均变化率为=-1.87.
(2)f(x0+Δx)-f(x0)
=(x0+Δx)3-2(x0+Δx)+1-(-2x0+1)
=+3·Δx+3x0(Δx)2+(Δx)3-2x0-2Δx+1-+2x0-1
=3·Δx+3x0(Δx)2+(Δx)3-2Δx,
所以函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
=3+3x0·Δx+(Δx)2-2.
活学活用
(1)函数f(x)=2x+1在[-1,2]上的平均变化率是(　C　)
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
(2)
如图,这是函数y=f(x)的图象.设函数y=f(x)从-1到1的平均变化率为v1,从1到2的平均变化率
为v2,则v1与v2的大小关系为(　C　)
A.v1>v2 B.v1=v2
C.v1【解析】 (1)由题意得平均变化率为.
(2)记v1==tan α1,v2==tan α2,由题图易知0<α1<α2<,所以v1求函数平均变化率的三个步骤
第一步,求自变量的变化量Δx=x2-x1.
第二步,求函数值的变化量Δy=f(x2)-f(x1).
第三步,求平均变化率.
类型二　导数定义的应用
例2[2026·缙云中学检测] 已知f(x)=x2+2.求:
(1)f(x)在x=1处的导数f'(1).
(2)f(x)在x=a处的导数f'(a).
解:(1)因为f'(1)==
(2+Δx)=2,
所以f(x)在x=1处的导数等于2,即f'(1)=2.
(2)因为f'(a)=
==
(2a+Δx)=2a,
所以f(x)在x=a处的导数等于2a,即f'(a)=2a.
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
活学活用
(1)若定义在R上的可导函数y=f(x)在x=x0处满足=3,则f'(x0)=(　A　)
A.6 B. C.3 D.
(2)函数y=在x=1处的导数为　-2　.
【解析】 (1)因为
=f'(x0)=3,
所以f'(x0)=6.
(2)因为Δy=,所以,
所以y'|x=1==-2,
即函数y=在x=1处的导数为-2.
用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的变化量,Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率,.
(3)求极限.
类型三　导数在实际问题中的意义
例3柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要加热沥青,使其由固体变成黏稠液体,如果开始加热后第x h时的沥青温度(单位:℃)为y=f(x)=80x2+20,0≤x≤1,求f'(0.25),并说明它的实际意义.
解:因为f(x)=80x2+20,0≤x≤1,
所以
=
==40+80Δx,
所以f'(0.25)= (40+80Δx)=40.
它的实际意义是在开始加热后第0.25 h时,沥青温度的瞬时变化率为40℃/h,说明在第0.25 h附近,沥青的温度大约以40 ℃/h的速率上升.
活学活用
[2026·深圳中学检测] 将一杯80℃的热红茶置于室温为20℃的房间里,红茶的温度会逐渐下降,温度T(单位:℃)与时间t(单位:min)之间的关系由函数T=f(t)给出.
(1)f'(t)是正数还是负数 有什么实际意义
(2)f'(3)=-4的实际意义是什么
解: (1)f'(t)<0,f'(t)的意义为在第t min时红茶的温度的瞬时变化率,f'(t)为负数,说明在第t min附近红茶的温度降低.
(2)f'(3)=-4的实际意义是在第3 min附近红茶的温度以4 ℃/min的速率下降.
在物理中,导数往往具有实际意义,如位移关于时间求导的意义是速度,速度关于时间求导的意义是加速度,等等.
　　　　　课后请完成高效作业19

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