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第五章　一元函数的导数及其应用
5.3.1　函数的单调性
第2课时　函数的单调性与导数(2)
5.3　导数在研究函数中的应用
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系；
2.能求简单的含参数的函数的单调区间；
3.根据函数的单调性求参数的取值范围.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
类型一
求含参数的函数的单调区间
活学活用
1.研究含参数的函数的单调性时，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
2.划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.
· ·
题后感悟
类型二
由单调性(或单调区间)求参数的取值范围
活学活用
B
A
· ·
题后感悟
解：易得函数的定义域为(0，
+∞
f=x+1-+1
a+x一+1
①当时，
由f)>0,得x>1;由fx)<0,得引←x<1
:fx)在(0,1)内单调递减，在1，+∞)内单调递增
②当a>0时，a+H
x-1
a>l
由)>0，得x>1,由f<0,得0x<1
f)在(0,1)内单调递减，在1，+∞)内单调递增
综上述，当≥0时，在0,1)内单调递减，在1，+o)内单调递塔
2026青岛二中检测
保：易得函数的定义域是0，+o,f时一子+-匹
①当a≤0时，f)<0在0，+o)上 成立，故)在0，+o上单调递减
②当a>0时，若0所以)在
上单调递减，
十00
上单调递塔
综上可知，当a≤0时，x的单调递减区问为0，
+o):当a>0时，的单调递减
区间为
解：由已知得fx)—32一4，因为fx)在（一0，+o)上是增函数，所以
(—3x2-c≥0在(-o,+oo上恒成立，即a≤3x对xeR 成立
因为32≥0，所以只需a≤0
又因为=时，x)一1在R上是增函数，
所以实数的取值范围为（一∞，
[迁移探究
解：由已知得fx—3x2一L,
①当a≤0时，≥0，)在(-o,+o)上为塔函数不符合题意
②当>0时，令3-=0，
当
3a
内单调递减，
3
3延时，)<.在区间
即fx)的单调递减区间为
解：由题意可知x一3只一≤0在区间（一1,1）内恒成立，
-00g-e8:2a
即a的取值范围是3，+o)
解：.fxx3-匹-1，fx-3-a
由x不单谓可知a>0.
由0，得x±
-)在区间(-1,1)内不单谓，.0
3
故a的取值苑范围为0,3)第2课时　函数的单调性与导数(2)
1.进一步理解函数的导数和其单调性的关系;2.能求简单的含参数的函数的单调区间;3.根据函数的单调性求参数的取值范围.
类型一　求含参数的函数的单调区间
例1讨论函数f(x)=ax2+x-(a+1)ln x(a≥0)的单调性.
解:易得函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=ax+1-.
①当a=0时,f'(x)=.
由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
②当a>0时,f'(x)=,
∵a>0,∴>0.
由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
活学活用
[2026·青岛二中检测] 求函数f(x)=+aln x(a∈R)的单调递减区间.
解:易得函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=-.
①当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当a>0时,若0,则f'(x)>0.所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.
综上可知,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞);当a>0时,f(x)的单调递减区间为.
1.研究含参数的函数的单调性时,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
2.划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.
类型二　由单调性(或单调区间)求参数的取值范围
例2已知函数f(x)=x3-ax-1为增函数,求实数a的取值范围.
解:由已知得f'(x)=3x2-a,因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又因为a=0时,f(x)=x3-1在R上是增函数,
所以实数a的取值范围为(-∞,0].
[迁移探究]
1.若函数f(x)=x3-ax-1的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值.
解:由已知得f'(x)=3x2-a,
①当a≤0时,f'(x)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.不符合题意.
②当a>0时,令3x2-a=0,得x=±,
当-f(x)在区间内单调递减,即f(x)的单调递减区间为,则=1,即a=3.
2.若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.
解:由题意可知f'(x)=3x2-a≤0在区间(-1,1)内恒成立,
∴即∴a≥3.
即a的取值范围是[3,+∞).
3.若函数f(x)=x3-ax-1在区间(-1,1)内不单调,求实数a的取值范围.
解:∵f(x)=x3-ax-1,∴f'(x)=3x2-a.
由f(x)不单调可知a>0.
由f'(x)=0,得x=±.
∵f(x)在区间(-1,1)内不单调,∴0<<1,即0故a的取值范围为(0,3).
活学活用
(1)已知函数f(x)=x2-16ln x在区间(2a-1,2a+1)上单调递减,则实数a的取值范围是(　B　)
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
A.
B.
C.
D.
(2)[2026·宿迁中学检测] 若函数f(x)=x2+aln x-x+1(a∈R)在上单调递增,则a的取值范围是(　A　)
A.
B.
C.
D.
【解析】 (1)易得f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-.令f'(x)<0,解得0由题意知(2a-1,2a+1) (0,4),所以解得≤a≤.
(2)由f(x)=x2+aln x-x+1,得f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=2x+-1=.
因为f(x)在上单调递增,故2x2-x+a≥0在上恒成立,
即a≥-2x2+x=-2在上恒成立.
又函数y=-2在上单调递减,所以ymax=-2×=0,故a≥0,即a的取值范围是[0,+∞).
1.利用函数的单调性求参数取值范围的两种基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,利用分离参数或函数性质求解参数范围,然后检验参数取“=”时f(x)是否满足题意.
(2)先令f'(x)>0(或f'(x)<0),求出参数的取值范围后,再验证参数取“=”时f(x)是否满足题意.
2.解决恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
3.若函数y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解(需验证函数的解的两侧导数是否异号).
　　　　　课后请完成高效作业25

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