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第五章　一元函数的导数及其应用
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
5.3　导数在研究函数中的应用
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系；
2.掌握函数极值的判定及求法；
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
极小值点
极小值
极大值点
极大值
极值点
极值
极大值
极小值
(1)函数的极值点是点.(　　)
(2)若函数在某点处的导数为零，那么此点一定是极值点. (　　)
(3)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点处不能成为极值点.
(　　)
(4)函数的极大值一定大于极小值.(　　)
(请在括号中打“√”或“×”)
√
×
×
×
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
函数图象与极值的关系
C
活学活用
A
(2)[2026·威海一中检测] 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数f(x)在x=－2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是(　　)
A. B. C. D.
C
1.对于导函数的图象，重点关注导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数值的变化情况.
2.对于函数的图象，重点关注函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个值是极大值点，哪个值是极小值点.
· ·
题后感悟
类型二
求函数的极值
x (－∞，－2) －2
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 极大值19 单调递减 单调递增
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求方程f'(x)=0的根.
(3)用方程f'(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列出表格.
(4)明确f'(x)在方程的根左右两侧值的符号，从而判断f(x)在这个根处取极值的情况.
· ·
题后感悟
活学活用
x
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
求解析式中含有参数的函数的极值时，有时需要用分类讨论的思想解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对f'(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f'(x)在其零点附近的符号，确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.
· ·
题后感悟
类型三
由极值(或极值点)求参数
C
活学活用
C
· ·
题后感悟5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
1.了解函数极值的概念,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系;2.掌握函数极值的判定及求法; 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的极值点是点.(　×　)
(2)若函数在某点处的导数为零,那么此点一定是极值点. (　×　)
(3)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点处不能成为极值点.(　√　)
(4)函数的极大值一定大于极小值.(　×　)
类型一　函数图象与极值的关系
例1如图,这是函数y=f'(x)的图象,则关于函数y=f(x)的说法正确的是(　C　)
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
A.函数y=f(x)有3个极值点
B.函数y=f(x)在区间(-∞,-4)上单调递增
C.函数y=f(x)在区间(-2,+∞)上单调递增
D.当x=0时,函数y=f(x)取得极大值
【解析】 结合导数与函数单调性的关系可知,当x<-5时,f'(x)>0,函数单调递增;当-5-2时,f'(x)≥0且不恒为0,函数单调递增.故当x=-5时,函数取得极大值,当x=-2时,函数取得极小值.
活学活用
(1)如图,这是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则函数y=f(x)在区间(a,b)上的极小值点的个数为(　A　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)[2026·威海一中检测] 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是(　C　)
　　A. B.
　　C. D.
【解析】 (1)如图,设y=f'(x)的图象与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c,d,其中c当a当c所以当x=c时,函数取得极大值,当x=d时,函数取得极小值,
则函数y=f(x)的极小值点的个数为1.
(2)由函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数f(x)在x=-2附近的左侧单调递减,f'(x)<0,即xf'(x)>0.在x=-2附近的右侧单调递增,f'(x)>0,即xf'(x)<0.又f'(-2)=0,则函数y=xf'(x)的图象可能是C.
1.对于导函数的图象,重点关注导函数的值在哪个区间上为正,在哪个区间上为负,在哪个点处与x轴相交,在交点附近导函数值的变化情况.
2.对于函数的图象,重点关注函数在哪个区间上单调递增,在哪个区间上单调递减,哪个值是极大值点,哪个值是极小值点.
类型二　求函数的极值
角度1　求不含参数的函数的极值
例2[2026·奉化中学检测] 求下列函数的极值.
(1)f(x)=.　(2)f(x)=x3+x2-8x+7.
解:(1)函数的定义域为(0,+∞),
f'(x)=.
令f'(x)=0,得x=.
当00;当x>时,f'(x)<0.
所以f(x)在x=处取得极大值f()=,无极小值.
(2)因为f(x)=x3+x2-8x+7,
所以f'(x)=3x2+2x-8=(3x-4)(x+2).
令f'(x)=(3x-4)(x+2)=0,可得x=-2或x=.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表,
x (-∞,-2) -2
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大 值19 单调 递减 极小 值 单调递增
所以函数的极大值为19,极小值为.
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求方程f'(x)=0的根.
(3)用方程f'(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列出表格.
(4)明确f'(x)在方程的根左右两侧值的符号,从而判断f(x)在这个根处取极值的情况.
角度2　求含参数的函数的极值
例3设函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值.
解:f(x)=x-aln x的定义域为(0,+∞),
f'(x)=1-,x>0.
①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值.
②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a.
当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.
从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
活学活用
[2026·舟山中学检测] 设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0),讨论函数f(x)的单调性与极值点.
解:由题意易得f'(x)=3(x2-a)(a≠0).
当a<0时,f'(x)>0恒成立,即函数f(x)在R上单调递增,此时函数f(x)没有极值点.
当a>0时,由f'(x)=0,得x1=-,x2=.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-) - (-,) (,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 f(-) 单调递减 f() 单调递增
因此,函数f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,)上单调递减,此时-是函数f(x)的极大值点,是函数f(x)的极小值点.
求解析式中含有参数的函数的极值时,有时需要用分类讨论的思想解决问题.讨论的依据有两种:一是看参数是否对f'(x)的零点有影响,若有影响,则需要分类讨论;二是看f'(x)在其零点附近的符号,确定是否与参数有关,若有关,则需要分类讨论.
类型三　由极值(或极值点)求参数
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
例4 若函数f的极大值为,则a=(　C　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
【解析】 f'(x)=(x-2)2+2(x-2)(x-a)=(x-2)·(3x-2a-2),
当=2时,f'(x)≥0恒成立,f(x)单调递增,无极值点,所以≠2,
所以2为f(x)的极大值点,或为f(x)的极大值点.
因为f(2)=0≠,所以2不是f(x)的极大值点,
所以为f(x)的极大值点,且<2,
所以f,
解得a=1.
活学活用
[2026·保定一中检测] 若函数f=ln x-m(x-1)2恰有两个极值点,则实数m的取值范围为(　C　)
A.∪
B.∪
C.
D.
【解析】 函数f(x)=ln x-m(x-1)2的定义域为(0,+∞),
且f'(x)=-2m(x-1)=,
函数f(x)恰有两个极值点,即-2mx2+2mx+1=0在(0,+∞)上有两个不同的解,
显然m≠0,即=x2-x在(0,+∞)上有两个不同的解,
即y=与y=x2-x的图象在(0,+∞)上有两个不同的交点.
又y=x2-x对应的抛物线开口向上,且对称轴为直线x=,且ymin=-,
如图所示,可得-<0,解得m<-2,所以实数m的取值范围为(-∞,-2).
1.已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤
(1)求函数的导数f'(x).
(2)由极值点处的导数值为0,列出方程(组),求解参数.求出参数后,一定要验证其是否满足题目的条件.
2.对于函数无极值的问题,往往转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在某区间内恒成立的问题,此时需注意不等式中的等号是否成立.
　　　　　课后请完成高效作业26

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