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第五章　一元函数的导数及其应用
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第2课时　函数的最大(小)值
5.3　导数在研究函数中的应用
1.理解函数最值的概念，会求某闭区间上函数的最值(多项式函数的次数不超过三次)；
2.能利用导数求简单的含参数的函数的最值问题；
3.能根据最值求参数的值或取值范围.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
端点
极值点
极值
端点处
最大值
最小值
(1)函数的最大值不一定是函数的极大值.(　　)
(2)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.
(　　)
(3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.(　　)
(4)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值.(　　)
(请在括号中打“√”或“×”)
√
×
×
√
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
求闭区间上函数的最值
x [－2，－1) －1
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
求下列函数的最值.
(1)f(x)=2x3－6x2＋3，x∈[－2，4].
解：由题意易得f'(x)=6x2－12x=6x(x－2).
令f'(x)=0，得x=0或x=2.
又f(0)=3，f(2)=－5，f(4)=35，f(－2)=－37，
∴当x=4时，f(x)取最大值35；当x=－2时，f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值为35，最小值为－37.
活学活用
x [1，2) 2 (2，3) 3
f'(x) ＋ 0 － 0
f(x) 单调递增 单调递减 2＋6ln 3
求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求方程f'(x)=0在(a，b)内的所有根.
(2)计算(1)中所有根对应的函数值.
(3)把(2)中计算出的函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
· ·
题后感悟
类型二
求含参数函数的最值
活学活用
对于含参数函数的最值问题，由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故解决此类问题时可通过导函数值为0时自变量的大小或通过比较函数值的大小等确定参数的分界.
· ·
题后感悟
类型三
根据最值求参数的值或范围
x －1 (－1，0) 0 (0，2) 2
f'(x) ＋ 0 －
f(x) －7a＋b 单调递增 极大值b 单调递减 －16a＋b
活学活用
1
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
· ·
题后感悟第2课时　函数的最大(小)值
1.理解函数最值的概念,会求某闭区间上函数的最值(多项式函数的次数不超过三次);2.能利用导数求简单的含参数的函数的最值问题;3.能根据最值求参数的值或取值范围.
(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的最大值不一定是函数的极大值.(　√　)
(2)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(　×　)
(3)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值.(　×　)
(4)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则f(x)在区间[a,b]上一定有最值,但不一定有极值.(　√　)
类型一　求闭区间上函数的最值
例1[2026·益阳一中检测] 求下列函数的最值.
(1)f=x3+x2-2x+1,x∈.
(2)f(x)=x+sin x,x∈[0,2π].
解:(1)由题意易得f'(x)=3x2+x-2=(x+1)(3x-2).
令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=.
由于x1和x2都在区间[-2,1]内,所以可列表如下:
x [-2,-1) -1
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又f(-2)=-1,f(1)=,将它们与极值比较可得,
该函数在[-2,1]上的最大值为,最小值为-1.
(2)由题意易得f'(x)=+cos x.
令f'(x)=0,得cos x=-.又x∈[0,2π],解得x=或x=.
又f(0)=0,f(2π)=π,f,f,
所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0;当x=2π时,f(x)有最大值f(2π)=π.
活学活用
求下列函数的最值.
(1)f(x)=2x3-6x2+3,x∈[-2,4].
(2)f(x)=+6ln x,x∈.
解:(1)由题意易得f'(x)=6x2-12x=6x(x-2).
令f'(x)=0,得x=0或x=2.
又f(0)=3,f(2)=-5,f(4)=35,f(-2)=-37,
∴当x=4时,f(x)取最大值35;当x=-2时,f(x)取最小值-37.
即f(x)的最大值为35,最小值为-37.
(2)∵f(x)=(x-5)2+6ln x,x∈[1,3],
∴f'(x)=x-5+.
令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x [1,2) 2 (2,3) 3
f'(x) + 0 - 0
f(x) 单调递增 极大值+6ln 2 单调递减 2+6ln 3
又f(1)=8,f(3)=2+6ln 3>8,f(2)=+6ln 2,
所以f(x)在[1,3]上的最小值为8,最大值为+6ln 2.
求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤
(1)求方程f'(x)=0在(a,b)内的所有根.
(2)计算(1)中所有根对应的函数值.
(3)把(2)中计算出的函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
类型二　求含参数函数的最值
例2已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a),求f(x)在区间[0,2]上的最大值.
解:由题意易得f'(x)=3x2-2ax.
令f'(x)=0,解得x1=0,x2=.
①当≤0,即a≤0时,f'(x)在区间[0,2]上满足f'(x)≥0,
所以f(x)在区间[0,2]上单调递增,
从而f(x)max=f(2)=8-4a.
②当≥2,即a≥3时,f'(x)在区间[0,2]上满足f'(x)≤0,
所以f(x)在区间[0,2]上单调递减,
从而f(x)max=f(0)=0.
③当0<<2,即0从而f(x)max=
综上所述,f(x)max=
活学活用
[2026·杭州高级中学检测] 已知函数f=aln x-x.
(1)若a=1,求函数f的单调区间.
(2)当a>0时,求函数f在上的最大值.
解: (1)函数定义域为(0,+∞),
当a=1时,f(x)=ln x-x,
则f'(x)=,x>0,
令f'(x)>0 0令f'(x)<0 x>1,
所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).
(2)f'(x)=-1=,x>0,
令f'(x)=0,解得x=a.
①设0当00,∴f(x)在区间(0,a)上单调递增,
当a∴f(x)max=f(a)=aln a-a.
②设a≥2,
当0∴f(x)max=f(2)=aln 2-2.
综上所述,当0当a≥2时,f(x)max=aln 2-2.
对于含参数函数的最值问题,由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化,故解决此类问题时可通过导函数值为0时自变量的大小或通过比较函数值的大小等确定参数的分界.
类型三　根据最值求参数的值或范围
例3已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,f(x)在[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
解:由题意知a≠0,否则f(x)=b为常数函数,与题意矛盾.
求导得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
①当a>0,且x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2
f'(x) + 0 -
f(x) -7a+b 单调递增 极大值b 单调递减 -16a+b
由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在[-1,2]上的最大值,
∴f(0)=b=3.
又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3∴f(2)=-16a+3=-29,
解得a=2.
②当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,
∴f(0)=b=-29.
又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),
∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.
综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
活学活用
若函数f(x)=a(ex+a)-x的最小值为2,则实数a的值是　1　.
【解析】 由f(x)=a(ex+a)-x,求导可得f'(x)=aex-1,
当a>0时,令f'(x)=0,可得x=-ln a,
由f'(x)<0可得x<-ln a,
由f'(x)>0可得x>-ln a,
所以函数f(x)在(-∞,-ln a)上单调递减,
在(-ln a,+∞)上单调递增,
故f(x)min=f(-ln a)=a+ln a=2,解得a=1;
当a=0时,f(x)=-x,显然函数f(x)在R上单调递减,故不合题意;
当a<0时,f'(x)=aex-1<0,函数f(x)在R上单调递减,故不合题意.
已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.
　　　　　课后请完成高效作业27

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