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第五章　一元函数的导数及其应用
素养微专题　导数中的函数构造问题
1.了解导数中几种常见的构造函数的形式；
2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
已知条件式 可构造的函数
F(x)=xnf(x)
F(x)=enxf(x)
F(x)=f(x)sin x
F(x)=f(x)cos x
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
构造具体函数
C
要从“结构同构”处入手，通过函数的相同结构，观察、归纳、总结“同构”规律.
· ·
题后感悟
类型二
构造抽象函数
B
C
· ·
题后感悟
B
A
(－∞，1)
· ·
题后感悟
A
D
· ·
题后感悟
已知条件式
可构造的函数
xfx)+nfx)>0(或<0)
F(x)=x"f(x)
f(x)+nfx)>0(或<0)
F(x)=efx)
f(x)sin x+f(x)cos x>0)
F(x)=f)sin x
f(x)cos x+fx)sin x>0(0)
F(x)-
f(x)
cosx
f'x)-nfx)>0(或<0)
F))
xn
f'x)-fx)>0(或≤0)
F(x)
f(&)
ex
f(x)sin x-f(x)cosx>0(0)
F(x)=

sinx
f(x)cos x-f(x)sin x>0(0)
F(x)=fx)cos x
【解析】构造函数H血x+1
其
所以)在0，+o)上单明递增
1+。+ihe+,血3+)，h4+
e+1
因为4>3>e,所以)>3>)，所以c>b>
【解折】设函数严，1一严，令f0,解得=e
x>e→f)K0,0所以函数f)在(e,+o)上单谓递减，在0，e)上单谓递增，
所以225>f220,即225
n2026
2025
2026
n2025
n2026
知2025X2026X
2025×2026,
2025
2026
所以n2025子26>n2026&25
因为场数=n本0.40上单谓鸿培
斤以2025226>2026225
【新】设，则②@当>时，-九0，
-当x>0时，F)是奇函数，风-才二型-因，是偶函数，
.在(-o,上单调递塔.又)=-10，
当x<-1或x>1时，以日<0，当-1.-当-11时，<0即不等式<0的解集为(-1，)U(1,
十∞　　　　　导数中的函数构造问题
1.了解导数中几种常见的构造函数的形式;2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题.
已知条件式 可构造的函数
xf'(x)+nf(x)>0(或<0) F(x)=xnf(x)
f'(x)+nf(x)>0(或<0) F(x)=enxf(x)
f'(x)sin x+f(x)cos x>0(或<0) F(x)=f(x)sin x
f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0) F(x)=
xf'(x)-nf(x)>0(或<0) F(x)=
f'(x)-f(x)>0(或<0) F(x)=
f'(x)sin x-f(x)cos x>0(或<0) F(x)=
f'(x)cos x-f(x)sin x>0(或<0) F(x)=f(x)cos x
类型一　构造具体函数
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
例1(1)已知a=1+,b=ln 3+,c=ln 4+,则a,b,c的大小关系为(　C　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
(2)比较两数的大小:2 0252 026　>　2 0262 025.
【解析】 (1)构造函数f(x)=ln x+,其中x>0,
则f'(x)=>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,a=1+=ln e+=f(e),b=ln 3+=f(3),c=ln 4+=f(4),因为4>3>e,所以f(4)>f(3)>f(e),所以c>b>a.
(2)设函数f(x)=,f'(x)=,令f'(x)=0,解得x=e.x>e f'(x)<0,00,所以函数f(x)在(e,+∞)上单调递减,在(0,e)上单调递增,所以f(2 025)>f(2 026),即,
即2 025×2 026××2 025×2 026,
所以ln2 0252 026>ln2 0262 025.因为函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以2 0252 026>2 0262 025.
要从“结构同构”处入手,通过函数的相同结构,观察、归纳、总结“同构”规律.
类型二　构造抽象函数
角度1　利用f(x)与x构造函数(幂函数与抽象构造)
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
例2(1)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则不等式f(x)<0的解集为(　B　)
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
(2)已知f'是定义在上的函数f的导函数,且f+xf'>0,则a=2f,b=ef,c=3f的大小关系为(　C　)
A.bC.a【解析】 (1)设F(x)=,则F'(x)=.
∵当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,∴当x>0时,F'(x)<0,即F(x)在(0,+∞)上单调递减.
∵f(x)是奇函数,∴F(-x)==F(x),∴F(x)是偶函数,∴F(x)在(-∞,0)上单调递增.
又f(1)=f(-1)=0,
当x<-1或x>1时,F(x)=<0,
当-10,
∴当-11时,f(x)<0.
即不等式f(x)<0的解集为(-1,0)∪(1,+∞).
(2)构造函数g(x)=xf(x),其中x>0,
则g'(x)=f(x)+xf'(x)>0,
所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为3>e>2>0,且a=2f(2)=g(2),b=ef(e)=g(e),c=3f(3)=g(3),因此a利用f(x)与x构造函数
(1)对于xf'(x)+f(x)>0,构造h(x)=xf(x).
(2)对于xf'(x)-f(x)>0,构造h(x)=.
角度2　利用f(x)与ex构造函数(指数函数与抽象构造)
例3(1)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且3f(x)+f'(x)<0,f(ln 3)=1,则不等式f(x)>27e-3x的解集为(　B　)
A.(-∞,3) B.(-∞,ln 3)
C.(ln 3,+∞) D.(3,+∞)
(2)设定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)-f'(x)>2,f(0)=2 026,则不等式f(x)>2 024·ex+2(其中e为自然对数的底数)的解集为(　A　)
A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(2 026,+∞)
D.(-∞,0)∪(2 026,+∞)
(3)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)-f(x)<0,f(1)=e,则不等式f(x)>ex的解集为　(-∞,1)　.
【解析】 (1)不妨设g(x)=e3xf(x),函数定义域为R,可得g'(x)=3e3xf(x)+e3xf'(x)=e3x[3f(x)+f'(x)],因为3f(x)+f'(x)<0,所以g'(x)<0,则函数g(x)在R上单调递减,又f(ln 3)=1,此时g(ln 3)=e3ln 3f(ln 3)=27,要求不等式f(x)>27e-3x,即求g(x)>g(ln 3),解得x(2)令g(x)=,则g'(x)=,
因为f(x)-f'(x)>2,所以g'(x)=<0,故g(x)在R上单调递减.
因为f(0)=2 026,所以g(0)=2 024.
因为f(x)>2 024·ex+2,所以>2 024,
即g(x)>2 024=g(0),
故不等式f(x)>2 024·ex+2的解集为(-∞,0).
(3)令函数g(x)=,由f'(x)-f(x)<0,得g'(x)=<0,因此函数g(x)在R上单调递减,而g(1)==1,不等式f(x)>ex >1 g(x)>g(1),解得x<1,所以不等式f(x)>ex的解集为(-∞,1).
利用f(x)与ex构造函数
(1)出现f'(x)-nf(x)的形式,构造函数F(x)=.
(2)出现f'(x)+nf(x)的形式,构造函数F(x)=f(x)enx.
角度3　利用f(x)与sin x,cos x构造函数(三角函数与抽象构造)
例4[2026·学军中学检测] (1)已知函数f的定义域为,其导函数是f',且满足f'·cos x+fsin x<0,则关于x的不等式f<2fcos x的解集为(　A　)
A. B.
C. D.
(2)设函数f'是定义在上的函数f的导函数,有f'cos x-fsin x<0,若a=0,b=-f,c=f,则a,b,c的大小关系是(　D　)
A.aC.c【解析】 (1)令g(x)=,x∈,
则g'(x)=,因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0,所以g'(x)<0,所以g(x)在上单调递减,所以f(x)<2fcos x等价于,即g(x)所以(2)令g(x)=f(x)cos x,则g'(x)=f'(x)cos x-f(x)·sin x,当x∈(0,π)时,g'(x)<0,所以g(x)为减函数,所以g因为sin x,cos x的导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考查的内容,下面是常考的几种形式:
(1)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0,构造函数h(x)=f(x)sin x.
(2)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0,构造函数h(x)=.
(3)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0,构造函数h(x)=f(x)cos x.
(4)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0,构造函数h(x)=.
　　　　　课后请完成高效作业32

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