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第五章　一元函数的导数及其应用
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第3课时　导数的综合应用
5.3　导数在研究函数中的应用
1.结合函数图象利用导数研究函数的零点；
2.利用导数证明不等式；
3.通过实际例子，体会导数在解决最优问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
类型一
利用导数研究函数的零点或方程的解
例1给定函数f(x)=ex－x.
(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域.
解：由题意易得函数f(x)的定义域为R，f'(x)=ex－1.
令f'(x)=0，解得x=0.
当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增.
当x=0时，f(x)取得极小值f(0)=1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞).
x (－∞，0) 0 (0，＋∞)
f'(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 1 单调递增
活学活用
x (0，e1－a) e1－a (e1－a，＋∞)
f'(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
数形结合确定函数零点个数的方法
(1)利用导数研究函数f(x)的单调性、极值及最值情况，并结合函数值的正负情况及变化趋势，作出函数f(x)的大致图象，然后根据图象判断零点个数.
(2)若函数f(x)的图象不易直接作出，可根据函数与方程思想将函数零点转化为方程的根，再将方程进行变形，转化为两个函数的图象交点问题，从而判断函数的零点个数.
· ·
题后感悟
类型二
利用导数证明不等式
活学活用
x [0，2) 2 (2，3]
g'(x) － 0 ＋
g(x) 单调递减 单调递增
· ·
题后感悟
类型三
导数在实际问题中的应用
活学活用
解决优化问题的步骤
(1)分析问题中各个量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域.
(2)通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最大(小)值，提出优化方案，使问题得以解决.在这个过程中，导数是一个有力的工具.
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.
· ·
题后感悟第3课时　导数的综合应用
1.结合函数图象利用导数研究函数的零点;2.利用导数证明不等式;3.通过实际例子,体会导数在解决最优问题中的应用,培养学生解决实际问题的能力.
类型一　利用导数研究函数的零点或方程的解
例1给定函数f(x)=ex-x.
(1)判断函数f(x)的单调性,并求出f(x)的值域.
(2)画出函数f(x)的大致图象.
(3)求出方程f(x)=m(m∈R)在区间[-1,2]上的根的个数.
解:(1)由题意易得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-1.
令f'(x)=0,解得x=0.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x (-∞,0) 0 (0,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 1 单调递增
所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增.
当x=0时,f(x)取得极小值f(0)=1,也是最小值,故函数f(x)的值域为[1,+∞).
(2)由(1)可知,函数的最小值为1.
又f(-1)=+1,f(2)=e2-2,f(0)=1,
当x→+∞时,f(x)→+∞,f'(x)→+∞;
当x→-∞时,指数函数y=ex越来越小,趋向于0,因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y=-x.
根据上述信息,画出函数f(x)的大致图象,如图1所示.
(3)截取函数f(x)在区间[-1,2]上的图象,如图2所示.
由图象知,当f(0)同理,当m=1或+1当m<1或m>e2-2时,方程f(x)=m在区间[-1,2]上无实根.
活学活用
[2026·三明一中检测] 已知函数f(x)=-1.
(1)求f(x)的单调区间.
(2)当a≤1时,求函数f(x)在区间(0,e]上零点的个数.
解:(1)由题意易得函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=.
令f'(x)=0,得x=e1-a.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0,e1-a) e1-a (e1-a,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
所以f(x)的单调递增区间为(0,e1-a),单调递减区间为(e1-a,+∞).
(2)由(1)可知f(x)的最大值为f(e1-a)=.
①当a=1时,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,e]上单调递减.
又f(1)=0,故f(x)在区间(0,e]上只有一个零点.
②当a<1时,1-a>0,e1-a>1,
则f(e1-a)=<0,所以f(x)在区间(0,e]上无零点.
综上,当a=1时,f(x)在区间(0,e]上只有一个零点;
当a<1时,f(x)在区间(0,e]上无零点.
数形结合确定函数零点个数的方法
(1)利用导数研究函数f(x)的单调性、极值及最值情况,并结合函数值的正负情况及变化趋势,作出函数f(x)的大致图象,然后根据图象判断零点个数.
(2)若函数f(x)的图象不易直接作出,可根据函数与方程思想将函数零点转化为方程的根,再将方程进行变形,转化为两个函数的图象交点问题,从而判断函数的零点个数.
类型二　利用导数证明不等式
例2已知函数f=xln.
(1)求f的极值.
(2)求证:f≥x2-.
解:(1)由题意可知,f(x)的定义域为(-1,+∞),
且f'(x)=ln(x+1)+=ln(x+1)-+1.
因为y=ln(x+1),y=-+1在定义域(-1,+∞)内单调递增,
所以f'(x)在(-1,+∞)上单调递增,又f'(0)=0,
当-10时,f'(x)>0,
所以f(x)在(-1,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,
所以函数f(x)的极小值为f(0)=0,无极大值.
(2)证明:f(x)≥x2- xln(x+1)≥x2- x≥0,
令h(x)=ln(x+1)-x+(x>-1),
则h'(x)=-1+x=>0在(-1,+∞)上恒成立,
可知h(x)为(-1,+∞)上的增函数,且h(0)=0.
当-10;
当x>0时,h(x)>0,则xh(x)>0;
当x=0时,xh(x)=0.
综上所述,x≥0,
即f(x)≥x2-.
活学活用
已知函数fx3-3x+4.
(1)求曲线y=f在点处的切线方程.
(2)当x∈时,求证:f≤x+4.
解:(1)由题可知f()=4-2,f'(x)=x2-3,
则f'()=0,
所以曲线y=f(x)在点(,f())处的切线方程为y=4-2.
(2)证明:令g(x)=f(x)-x-4=-4x(x∈[0,3]),
则g'(x)=x2-4,令g'(x)=0,解得x=-2或x=2,
当x∈[0,3]时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x [0,2) 2 (2,3]
g'(x) - 0 +
g(x) 单调递减 - 单调递增
又因为g(0)=0,g(3)=-3,
所以g(x)在区间[0,3]的最大值为0.
即当x∈[0,3]时,g(x)≤0恒成立,即f(x)≤x+4.
利用导数法证明不等式f(x)>g(x),可构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数h(x)的单调性或最值,证明h(x)>0恒成立.
类型三　导数在实际问题中的应用
例3[2026·安庆一中检测] 如图,四边形ABCD是边长为40 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,点E,F在AB上,是被切去的等腰直角三角形的斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,问:此时x应取何值
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,问:此时x应取何值 请求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
解: (1)设包装盒的底面边长为a cm,高为h cm,
则由题意可得,a=x,h=(20-x),其中0所以S=4ah=8x(20-x)=-8(x-10)2+800≤800,
因此,当x=10时,S取得最大值.
(2)根据题意,
由(1)有V=(40-2x)=2x2(20-x)(0所以V'=2[2x(20-x)-x2]=2x(40-3x),
令V'=0,得x=0(舍)或x=.
当x∈时,V'>0,函数V=2x2(20-x)单调递增;
当x∈时,V'<0,函数V=2x2(20-x)单调递减.
所以当x=时,函数V=2x2(20-x)取得极大值,也是最大值,
此时包装盒的高与底面边长的比值.
活学活用
已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元,每生产千件需另投入2.7万元,若该企业一年内共生产此种产品x千件,并且全部销售完,每千件的销售收入为f(x)万元,且f(x)=
(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式.
(2)年产量为多少千件时,该企业生产此产品所获年利润最大 最大利润是多少 (注:年利润=年销售收入-年总成本)
解:(1)由题意,当0当x>10时,W=x-2.7x-10=98-.
综上可得,W=
(2)①当0则W'=8.1-x2=.
所以当00,则W在(0,9)上单调递增;
当9所以当x=9时,W取最大值,且Wmax=38.6.
②当x>10时,W=98-≤98-2=38,
当且仅当=2.7x,即x=时等号成立.
综上,当年产量为9千件时,该企业生产此产品所获年利润最大,最大利润为38.6万元.
解决优化问题的步骤
(1)分析问题中各个量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域.
(2)通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最大(小)值,提出优化方案,使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.
(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.
　　　　　课后请完成高效作业28

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