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第五章　一元函数的导数及其应用
素养微专题　不等式恒成立、能成立问题
1.了解利用导数研究不等式恒成立、能成立问题的方法；
2.初步运用导数解决不等式恒成立、能成立问题.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
由不等式恒成立求参数的值(取值范围)
活学活用
· ·
题后感悟
(2)分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
· ·
题后感悟
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题后感悟
类型二
由不等式能成立求参数的值(取值范围)
· ·
题后感悟
1.单变量恒成立与有解问题
(1)x∈D,fx)≥M→fx)mim≥M
(2)x∈D,fx)≤M→fx)max≤M.
(3)x∈D,fx)≥gx)→[fx)-gc]min≥0.
(4)x∈D,fx)≤g)→[x)-g)]max≤0.
(S)1x∈D,fx)≥M→fx)max≥M.
(6)门.x∈D,fx)≤M→fx)min≤M.
(T)门x∈D,fx)≥gc)→[x)-g(c)]max≥0.
(8)闩x∈D.fx≤g(x)→[fx)-g(x)I
≤0
2.双变量恒成立与有解问题
(1)x1∈D1,Vx2∈D2,fc1)≥gc2)→fx)min≥gx)max
(2)x1∈D1,32∈D2,fc)≥gcz)→fx)min≥g(x)mim
(3)Hx1∈D1,3x2∈D2,fc1)≤gc2)→fx)mas≤g(x)mas
(4)归x1∈D1,3x2∈D2,fx1)≥g(2)→fx)mx≥g(x)
min
2026乐平中学检测
解：当a=-1时，xnx+二，定义域为0，+w)
听-是=01时，>，
则x)在0,1)上单调递减，在1，+o)上单调递塔
所以)有极小值)一1，无极大值
解：由fx)≥0恒成立，得x>0,a≤xnx
令gx—血x,x>0,则g'x—1+nx
当0时，g>0
所以函数g在(0，月上单调递减，在(（，+∞)上单调递增，
因此g(目
所以a的取值范围为
解：当=-27时，函数x-x-27x+16,定义域为R,—32-27,
当x∈(-o,一3)时，)>0：当x∈(-3,3)时，<0：
当x∈3，+o)时，>0
所以函数x)的单调递增区间为（一0，一3）和3，+o),
单谓递减区问为（一3,3），
所以x)的极大值为-3)-0，x的极小值为3)-一38.　　　　　不等式恒成立、能成立问题
1.了解利用导数研究不等式恒成立、能成立问题的方法;2.初步运用导数解决不等式恒成立、能成立问题.
1.单变量恒成立与有解问题
(1) x∈D,f(x)≥M f(x)min≥M.
(2) x∈D,f(x)≤M f(x)max≤M.
(3) x∈D,f(x)≥g(x) [f(x)-g(x)]min≥0.
(4) x∈D,f(x)≤g(x) [f(x)-g(x)]max≤0.
(5) x∈D,f(x)≥M f(x)max≥M.
(6) x∈D,f(x)≤M f(x)min≤M.
(7) x∈D,f(x)≥g(x) [f(x)-g(x)]max≥0.
(8) x∈D,f(x)≤g(x) [f(x)-g(x)]min≤0.
2.双变量恒成立与有解问题
(1) x1∈D1, x2∈D2,f(x1)≥g(x2) f(x)min≥g(x)max.
(2) x1∈D1, x2∈D2,f(x1)≥g(x2) f(x)min≥g(x)min.
(3) x1∈D1, x2∈D2,f(x1)≤g(x2) f(x)max≤g(x)max.
(4) x1∈D1 , x2∈D2 ,f(x1)≥g(x2) f(x)max≥g(x)min.
类型一　由不等式恒成立求参数的值
(取值范围)
角度1　分离参数法
例1[2026·乐平中学检测] 已知函数f(x)=ln x-.
(1)当a=-1时,求f(x)的极值.
(2)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=-1时,f(x)=ln x+,定义域为(0,+∞),
则f'(x)=.
当01时,f'(x)>0,
则f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)有极小值f(1)=1,无极大值.
(2)由f(x)≥0恒成立,得 x>0,a≤xln x.
令g(x)=xln x,x>0,则g'(x)=1+ln x.
当0时,g'(x)>0.
所以函数g(x)在上单调递减,在上单调递增,
因此g(x)min=g=-,则a≤-,
所以a的取值范围为.
活学活用
已知函数f(x)=x3+ax+16.
(1)若a=-27,求f(x)的极值.
(2)若f(x)≥0在(1,4)上恒成立,求a的取值范围.
解:(1)当a=-27时,函数f(x)=x3-27x+16,定义域为R,f'(x)=3x2-27,
当x∈(-∞,-3)时,f'(x)>0;当x∈(-3,3)时,f'(x)<0;当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-3)和(3,+∞),单调递减区间为(-3,3),
所以f(x)的极大值为f(-3)=70,f(x)的极小值为f(3)=-38.
(2)f(x)≥0在(1,4)上恒成立等价于a≥-x2-在(1,4)上恒成立.
令g(x)=-x2-(1当x∈(1,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(2,4)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
所以g(x)max=g(2)=-12,于是a≥-12,
所以a的取值范围为[-12,+∞).
利用导数研究含参数的不等式问题,若能够分离参数,则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式,通过求函数y=f(x)的最值求得参数范围.
(1)若函数f(x)在区间D上存在最小值f(x)min和最大值f(x)max,则不等式f(x)>a在区间D上恒成立 f(x)min>a;不等式f(x)≥a在区间D上恒成立 f(x)min≥a;不等式f(x)(2)分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
角度2　等价转化法
例2已知函数f(x)=x2+(a+1)x-ln x,g(x)=x2+x+2a+1.
(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)当x∈[1,e)时,f(x)解:(1)∵f(x)=x2+(a+1)x-ln x,
∴f'(x)=2x+(a+1)-.
依题意知,当x∈(1,+∞)时,f'(x)≥0恒成立,即a+1≥-2x.
令k(x)=-2x,x∈(1,+∞),则k'(x)=--2<0,
∴k(x)=-2x在(1,+∞)上单调递减,
∴k(x)∴a+1≥-1,解得a≥-2,
∴实数a的取值范围为[-2,+∞).
(2)令φ(x)=f(x)-g(x)=ax-ln x-2a-1,x∈[1,e),
∴φ'(x)=a-.
由f(x)当a≤0时,φ'(x)<0,∴φ(x)在[1,e)上单调递减,
∴φ(x)max=φ(1)=-a-1,
∴-a-1<0,即a>-1,∴-1当a>0时,
当x∈时,φ'(x)<0;
当x∈时,φ'(x)>0.
∴φ(x)在上单调递减,在x∈上单调递增,
∴要使φ(x)max<0,只需即解得0综上,实数a的取值范围为.
1.将f(x)≥g(x)恒成立问题转化为f(x)min≥g(x)max.(适合于具有“绝对大小”的两个函数)
2.通过作差构造:F(x)=f(x)-g(x),将f(x)≥g(x)问题转化为F(x)≥0.(适合于具有“相对大小”的两个函数)
类型二　由不等式能成立求参数的值
(取值范围)
例3[2026·深圳外国语学校检测] 已知f(x)=ax-ln x,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性和极值.
(2)若x∈(0,e]时,f(x)≤3有解,求a的取值范围.
解:(1)由题意易知f'(x)=a-(x>0).
当a≤0时,f'(x)<0恒成立,函数在区间(0,+∞)上单调递减,无极值.
当a>0时,令f'(x)=0,得x=.
由f'(x)<0,得0由f'(x)>0,得x>,则函数在区间上单调递增.
所以当x=时,函数f(x)取得极小值f=1+ln a.
综上可知,当a≤0时,函数的单调递减区间是(0,+∞),无单调递增区间,无极值;
当a>0时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是,极小值为1+ln a,无极大值.
(2)由题意可知,ax-ln x≤3在(0,e]上有解,
则a≤在(0,e]上有解,即a≤,x∈(0,e].
设g(x)=,x∈(0,e],则g'(x)=-.
令g'(x)=0,得x=.
当00,g(x)单调递增;
当所以g(x)的最大值为g=e2,即a≤e2,
所以实数a的取值范围是(-∞,e2].
例4已知函数f(x)=.
(1)当x∈时,求函数f(x)的最小值.
(2)若g(x)=-x3+3x-a,且对 x1∈, x2∈,使得f≤g成立,求实数a的取值范围.
解:(1)∵f(x)=,∴f'(x)=.
设u(x)=xcos x-sin x,x∈,
则u'(x)=-xsin x<0,故u(x)在上单调递减,
∴u(x)∴f(x)在上单调递减,
∴f(x)的最小值为f.
(2)令h(x)=sin x-x,x∈,
则h'(x)=cos x-1<0在上恒成立,
∴函数h(x)在上单调递减,∴h(x)∴sin x又g'(x)=-3(x2-1)=(1-x),
当x∈[0,2]时,3x+3+>0,
∴当x∈[0,1)时,g'(x)>0,g(x)在区间[0,1)上单调递增;
当x∈(1,2]时,g'(x)<0,g(x)在区间(1,2]上单调递减.
函数g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(1)=-1+3-a=+2-a.
综上,只需+2-a≥1,解得a≤+1,
即实数a的取值范围是.
1.含参数的能成立(存在性)问题的解题方法
a≥f(x)在x∈D上能成立,则a≥f(x)min;
a≤f(x)在x∈D上能成立,则a≤f(x)max.
2.含全称、存在量词的不等式能成立问题
(1)存在x1∈A,任意x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max.
(2)任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min.
　　　　　课后请完成高效作业31

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