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(共20张PPT)
第五章　一元函数的导数及其应用
素养微专题　三次函数的图象与性质
1.理解三次函数的定义域、值域和图象特点；
2.掌握三次函数的导数与单调性关系；
3.判断三次函数的极值点及其个数；
4.熟练运用三次函数的对称中心的性质.
教材整体初识
构建与探源
学科素养
对基本问题充分掌握
项目

项目
f(x)的图象

2.三次函数的零点
对于三次函数f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R且a≠0)，其导数为f'(x)=3ax2＋2bx＋c.
命题整体感知
尝试与研析
学科素养
对学科素养融会贯通
类型一
三次函数的单调性、极值、最值、零点
AB
BCD
活学活用
BCD
(3)若函数y=f(x)－m有三个零点，求m的取值范围.
解：由(2)知f(x)=x3－9x2＋24x，f(x)的极小值为f(4)=16，
结合f(x)的单调性可作其草图，如图所示，
函数y=f(x)－m有三个零点等价于直
线y=m与y=f(x)的图象有三个交点，
所以m的取值范围为(16，20).
类型二
三次函数图象的切线、对称中心
活学活用
AC
综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；
令h(x)=x3－x，该函数的定义域为R，
h(－x)=(－x)3－(－x)=－x3＋x=－h(x)，
则h(x)是奇函数，(0，0)是h(x)的对称中心，
将h(x)的图象向上移动一个单位长度得到f(x)的图象，
所以点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；
令f'(x)=3x2－1=2，可得x=±1，又f(1)=f(－1)=1，
当切点为(1，1)时，切线方程为y=2x－1，当切点为(－1，1)时，切线方程为y=2x＋3，故D错误.故选AC.　　　　　三次函数的图象与性质
1.理解三次函数的定义域、值域和图象特点;2.掌握三次函数的导数与单调性关系;3.判断三次函数的极值点及其个数;4.熟练运用三次函数的对称中心的性质.
1.三次函数的图象
对于三次函数f=ax3+bx2+cx+d,f'=3ax2+2bx+c,f'的判别式为Δ=4(b2-3ac),若Δ>0,不妨设f'=0的两个实根是x1,x2,且x1项目 a>0 a<0
Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0
f'的图象
f(x)的图象
2.三次函数的零点
对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R且a≠0),其导数为f'(x)=3ax2+2bx+c.
当Δ=4(b2-3ac)>0时,其导数f'(x)=0有两个解x1,x2,原函数有两个极值点x1,x2,即.
(1)当f(x1)·f(x2)>0时,原方程有且只有一个实根.
(2)当f(x1)·f(x2)=0时,原方程有两个实数根.
(3)当f(x1)·f(x2)<0时,原方程有三个实数根.
3.三次方程中根与系数的关系
若一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)存在三个实数根,则
4.三次函数图象的对称性
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象关于点对称,并且f'(x)在x=-处取得最小值,其图象关于直线x=-对称.
类型一　三次函数的单调性、极值、最值、零点
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
例1(1)[多选题]已知函数f=2x3-x2,则下列说法正确的是(　AB　)
A.f在上单调递增
B.f的极大值为0
C.f有三个零点
D.曲线y=f在x=1处的切线方程为4x-y+3=0
(2)[多选题]已知a∈R,函数f=ax3-x+1有两个极值点x1,x2,则(　BCD　)
A.a可能是负数
B.x1+x2=0
C.曲线y=f在点处的切线方程为y=-x+1
D.f+f为定值
【解析】 (1)函数f(x)=2x3-x2,f'(x)=6x2-2x=2x(3x-1),由f'(x)>0得x>或x<0,
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),,A选项正确;
当x=0时,f(x)有极大值f(0)=0,B选项正确;
当x=时,f(x)有极小值f=-,又f(2)=12>0,
所以f(x)的图象与x轴有两个交点,C选项错误;
f'(1)=4,f(1)=1,所以切线方程为y-1=4(x-1),
即4x-y-3=0,D选项错误.故选AB.
(2)由f(x)=ax3-x+1,则f'(x)=3ax2-1,
当a≤0时,f'(x)<0,则f(x)在R上单调递减,没有极值,故A错误;
当a>0时,令f'(x)=0,得x=±,
不妨设x1=-,x2=,则x1+x2=0,故B正确;
当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时,f'(x)>0,当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递增,在区间(x1,x2)上单调递减,
所以x1是f(x)的极大值点,x2是f(x)的极小值点,
而3a-1=0,3a-1=0,则a,a,
所以f(x1)+f(x2)=a-x1+1+a-x2+1=x1-x1+1+x2-x2+1=-(x1+x2)+2=2,为定值,故D正确;
由f(x)=ax3-x+1,则f(0)=1,而f'(0)=-1,
则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1,故C正确.故选BCD.
活学活用
[多选题][2026·知临中学检测] 设函数f=x3-3x2+a,则下列结论正确的是(　BCD　)
A.0是f的极小值点
B.当且仅当0C.若f>0的解集为∪,则a=4
D.f+f+4=2a
【解析】 ∵f(x)=x3-3x2+a,∴f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=2,
当x<0时,f'(x)>0,当02时,f'(x)>0,
所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,
所以0是f(x)的极大值点,2是f(x)的极小值点,故A错误;
当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,
要使f(x)恰有三个零点,则需满足
即解得0∵f(x)>0的解集为(-1,2)∪(2,+∞),
∴f(-1)=0,解得a=4,∴f(x)=x3-3x2+4=(x+1)(x-2)2满足题意,故C正确;
由f(x)=x3-3x2+a,
可知f(2-x)=(2-x)3-3(2-x)2+a=(8-12x+6x2-x3)-3(4-4x+x2)+a=-x3+3x2-4+a,
∴f(x)+f(2-x)=x3-3x2+a+(-x3+3x2-4+a)=2a-4,
∴f(x)+f(2-x)+4=2a,故D正确.故选BCD.
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
例2已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx的极大值是20,其导函数y=f'(x)的图象经过点(2,0),(4,0),如图.
(1)求f(x)的单调区间.
(2)求a,b,c的值.
(3)若函数y=f(x)-m有三个零点,求m的取值范围.
解:(1)根据图象可知,当x∈(2,4)时,f'(x)<0,即f(x)单调递减;当x∈(-∞,2)和(4,+∞)时,f'(x)>0,即f(x)单调递增.
故f(x)的单调递减区间是(2,4),f(x)的单调递增区间是(-∞,2)和(4,+∞).
(2)由已知可得f'(x)=3ax2+2bx+c,x=2和x=4是f'(x)=0的两个根,
由(1)可得f(x)的极大值在x=2处取得,故
解得a=1,b=-9,c=24.
(3)由(2)知f(x)=x3-9x2+24x,f(x)的极小值为f(4)=16,
结合f(x)的单调性可作其草图,如图所示,
函数y=f(x)-m有三个零点等价于直线y=m与y=f(x)的图象有三个交点,
所以m的取值范围为(16,20).
类型二　三次函数图象的切线、对称中心
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　
例3已知函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+2(a∈R),f(x)满足f(x)+f(-x)=4,M是曲线y=f(x)上任意一点,曲线在点M处的切线为l.
(1)求切线l的倾斜角α的取值范围.
(2)若过点P(1,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,求实数m的取值范围.
解:(1)∵f(x)+f(-x)=4,
∴x3-ax2+(a-1)x+2-x3-ax2-(a-1)x+2=4,解得a=0,
∴f(x)=x3-x+2,则f'(x)=x2-1≥-1,故切线l的斜率k≥-1,即tan α≥-1,
∴α∈∪,
∴切线l的倾斜角α的取值范围是∪.
(2)设曲线y=f(x)与过点P(1,m)的切线相切于点,
则切线的斜率k=-1,
∴切线方程为y-=(-1)(x-x0).
∵点P(1,m)在切线上,
∴m-=(-1)(1-x0),
即m=-+1.
由题意,关于x的方程-x3+x2+1=m有三个解.
设g(x)=-x3+x2+1,
则g'(x)=-2x2+2x=-2x(x-1).
令g'(x)=0,解得x=0或x=1.
当x<0或x>1时,g'(x)<0;当00.
∴g(x)在(-∞,0)和(1,+∞)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
故g(x)的极小值为g(0)=1,极大值为g(1)=,
∴实数m的取值范围是.
活学活用
[多选题]已知函数f(x)=x3-x+1,则(　AC　)
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有三个零点
C.点是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
【解析】 由题意,f'(x)=3x2-1,令f'(x)>0得x>或x<-,
令f'(x)<0得-所以f(x)在,上单调递增,在上单调递减,所以±是极值点,故A正确;
因为f=1+>0,f=1->0,f(-2)=-5<0,
所以,函数f(x)在上有一个零点,
当x≥-时,f(x)≥f>0,即函数f(x)在上无零点,
综上所述,函数f(x)有一个零点,故B错误;
令h(x)=x3-x,该函数的定义域为R,h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-h(x),
则h(x)是奇函数,(0,0)是h(x)的对称中心,
将h(x)的图象向上移动一个单位长度得到f(x)的图象,
所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心,故C正确;
令f'(x)=3x2-1=2,可得x=±1,又f(1)=f(-1)=1,
当切点为(1,1)时,切线方程为y=2x-1,当切点为(-1,1)时,切线方程为y=2x+3,故D错误.故选AC.
　　　　　课后请完成高效作业29

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