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习题课三　电磁感应中的综合问题
素养 目标定位
目标素养
1.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和基本解题思路;掌握电磁感应现象中感应电荷量求解的方法和基本思路
2.会分析导体棒、线框在磁场中的受力,能根据电流的变化分析导体棒、线框受力的变化情况和运动情况,能利用牛顿运动定律和平衡条件分析有关问题
3.理解电磁感应现象中的能量转化,会用动能定理、能量守恒定律分析有关问题
目标素养
4.会用动量定理、动量守恒定律分析电磁感应的有关问题
5.进一步掌握楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律的应用;综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决图像问题
课堂 要点解读
知识讲解
1.电磁感应中的电路。
(1)内电路和外电路。
①切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源。
②该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻,其余部分是外电路。
一 电磁感应中的电路问题
(2)电源的正、负极。
①根据右手定则或楞次定律判断电源的正、负极,电动势的方向与感应电流的方向相同。
②在电源(导体)内部,电流由负极(低电势)流向电源的正极(高电势),在外部由正极流向负极。
(3)电源电动势和路端电压。
①电源电动势:E=Blv或
②路端电压:U=E-Ir。
2.电磁感应电路中的常见问题。
(1)确定等效电源的正负极、感应电流的方向、电势高低、电容器极板带电性质等问题。
(2)根据电路规律求解电路中的总电阻、路端电压、电功率等问题。
(3)根据电磁感应的平均感应电动势求解电路中通过的电荷量:
3.电磁感应中电路问题的分析方法。
(1)明确哪一部分导体或电路产生感应电动势,该导体或电路就是电源,其他部分是外电路。
(2)用法拉第电磁感应定律及推导公式计算感应电动势大小。
(3)将发生电磁感应现象的导体看作电源,与电路整合,作出等效电路。
(4)运用闭合电路欧姆定律,部分电路欧姆定律,串、并联电路的性质及电压、电功率分配等公式进行求解。
典型例题
【例1】如图所示,MN、PQ为平行
光滑金属导轨(金属导轨电阻忽略不
计),MN、PQ相距l=50 cm,导体棒
AB在两轨道间的电阻为r=1 Ω,且
可以在MN、PQ上滑动,定值电阻
R1=3 Ω,R2=6 Ω,整个装置放在磁感应强度为B=1.0 T的匀强磁场中,磁场方向垂直于整个导轨平面,现用外力F拉着AB棒向右以v=5 m/s的速度做匀速运动。
(1)求导体棒AB在两轨道间的部分产生的感应电动势E和AB棒上的感应电流方向。
(2)求导体棒AB在两轨道间的部分两端的电压UAB。
答案:(1)2.5 V　B→A方向　(2)1.7 V
解析:(1)导体棒AB在两轨道间的部分产生的感应电动势E=Blv=2.5 V
由右手定则知,AB棒上的感应电流方向向上,即沿B→A方向。
思路点拨
解答电磁感应电路问题的思路:
二 电磁感应中的动力学和能量问题
知识讲解
1.电磁感应中的动力学问题。
(1)电学对象和力学对象的相互关系。
(2)解决电磁感应中的动力学问题的基本方法步骤。
①用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向。
②求回路中的感应电流的大小和方向。
③分析研究导体受力情况(包括安培力)。
④列动力学方程或平衡方程求解。
2.电与磁中的能量问题。
(1)电磁感应现象中的能量转化。
(2)求解焦耳热Q的三种方法。
典型例题
【例2】 如图所示,空间存在B=0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场,MN、PQ是不计电阻水平放置的平行长直导轨,其间距l=0.2 m,电阻R=0.3 Ω接在导轨一端,ab是跨接在导轨上质量m=0.1 kg、电阻r=0.1 Ω、长度与导轨间距相等的导体棒,已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2。从零时刻开始,对ab棒施加一个大小为F=0.45 N、方向水平向左的恒定拉力,使其从静止开始沿导轨滑动,过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好。g取10 m/s2。
(1)求导体棒所能达到的最大速度。
(2)试定性画出导体棒运动的速度—时间图像。
答案:(1)10 m/s　(2)见解析
(2)导体棒运动的速度—时间图像如图所示。
规律方法
电磁感应的动力学问题中动态分析的过程:
【例3】 如图所示,两根光滑金属导轨MN和PQ平行,间距L=1.0 m,与水平面之间的夹角α=37°,匀强磁场磁感应强度B=2.0 T,方向垂直于导轨平面向上,MP间接有阻值R=3.6 Ω的电阻,质量m=1 kg、电阻r=0.4 Ω的金属杆ab垂直导轨放置,导轨足够长且电阻不计,sin 37°=0.6,g取10 m/s2。
(1)若将金属杆从静止释放,求其下滑能达到的最大速度大小vm。
(2)若用恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab,使其由静止开始运动,当金属杆上滑的位移s=2 m时达到稳定速度2 m/s,求恒力F的大小。
(3)求在第(2)问所述过程中,金属杆ab中产生的焦耳热Q。
答案:(1)6 m/s　(2)8 N　(3)0.2 J
规律总结
解决电磁感应能量问题的策略
“先源后路、先电后力,再运动、能量”,即
三 电磁感应中的动量问题
知识讲解
1.对于单杆模型,一般与动量定理结合。例如在光滑水平轨道上运动的单杆(不受其他力作用),由于在磁场中运动的单杆为
变速运动,故运动过程所受的安培力为变力,依据动量定理有
由以上四式将流经杆的电荷量q、杆位移x及速度变化结合在一起。
2.对于双杆模型,受到安培力和其他外力之和为零时,则考虑应用动量守恒定律处理问题。
当题目中涉及电荷量或平均电流时,可应用动量定理来解决问题。
典型例题
【例4】 如图所示,两光滑平行金属导轨abc和efg固定,间距L=1 m,其中ab、ef是半径为R=0.8 m的四分之一圆弧导轨,bc、fg是与圆弧轨道相切的水平导轨,水平导轨所在的区域有磁感应强度大小为B=1 T,方向竖直向上的匀强磁场。初始时刻,质量为mQ=1 kg的金属棒Q与水平导轨垂直放置,与bf之间的距离为d=1.5 m。现将另一根质量为mP=3 kg的金属棒P从ae位置由静止释放。已知P、Q接入电路的电阻分别为rP=0.1 Ω、rQ=0.3 Ω,P、Q运动过程中始终与导轨垂直且接触良好,导轨电阻不计,导轨长度无限长,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求P进入磁场瞬间,Q的加速度大小。
(2)求从P进入磁场到速度恒定的过程中,Q上产生的焦耳热。
(3)求P、Q之间的最小距离。
答案:(1)10 m/s2　(2)4.5 J　(3)0.3 m
典型模型
常见模型分析。
比较项 光滑平行等间距 光滑平行不等间距
示
意
图
质量m1、m2,电阻R1、R2,其他电阻不计,导轨间距l,F恒力
质量m1、m2,电阻R1、R2,其他电阻不计,导轨间距l
质量m1、m2,电阻R1、R2,其他电阻不计, lMN=2lPQ
比较项 光滑平行等间距 光滑平行不等间距
力学
分析 开始两杆做变加速运动。稳定时,两杆做加速度相同的匀加速运动 MN杆做加速度减小的减速运动,PQ杆做加速度减小的加速运动。稳定时两杆做速度相同的匀速直线运动 MN杆做加速度减小的减速运动,PQ杆做加速度减小的加速运动。稳定时,两杆均做匀速直线运动,满足vPQ=2vMN
动量分析 系统动量不守恒 系统动量守恒 系统动量不守恒
能量
分析 WF=ΔEkMN+ΔEkPQ+Q Ek0-EkMN=EkPQ+Q Ek0-EkMN=EkPQ+Q
四 电磁感应中的图像问题
知识讲解
1.图像问题。
图像
类型 (1)磁感应强度B、磁通量Ф、感应电动势E、感应电流i、电压u、电荷量q和安培力F随时间t变化的图像,即B-t图像、Ф-t图像、E-t图像、i-t图像、u-t图像、q-t图像、F-t图像;
(2)对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况,还常涉及感应电动势E和感应电流i随线圈位移x变化的图像,即E-x图像和i-x图像
问题
类型 (1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像;
(2)由给定的有关图像分析电磁感应过程,求解相应的物理量
应用
知识 左手定则、安培定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律、相关数学知识等
注意
事项 (1)电磁感应中的图像能够定性或定量地表示出所研究问题的函数关系
(2)在图像中,E、I、B等物理量的方向通过物理量的正负来反映
(3)画图像时要注意横、纵坐标的单位长度定义或表述
2.解题关键。
(1)弄清初始条件,正、负方向的对应变化范围,所研究物理量的函数表达式,进出磁场的转折点等。
(2)应做到“三看”“三明确”,即
①看轴——看清变量;
②看线——看图线的形状;
③看点——看特殊点和转折点;
④明确图像斜率的物理意义;
⑤明确截距的物理意义;
⑥明确“+”“-”的含义。
3.常用方法。
(1)排除法:定性分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化情况(变化快慢及均匀变化还是非均匀变化),特别是分析物理量的正负,以排除错误的选项。
(2)函数法:根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系,然后由函数关系对图像进行分析和判断。
典型例题
【例5】 (多选)如图甲所示,
闭合矩形导线框abcd固定在
匀强磁场中,磁场的方向与导
线框所在平面垂直,磁感应强
度B随时间t变化的规律如图乙所示。规定垂直纸面向里为磁场的正方向,顺时针方向为导线框中感应电流的正方向,水平向右为安培力的正方向,下列关于导线框中的电流i与ad边所受的安培力F随时间t变化的图像,正确的是(　　)
答案:BC
解析:由题中B-t图像知,0~1 s内,线框中向里的磁通量增大,由楞次定律知,电路中电流方向为逆时针,即电流为负方向,1~2 s内,线框中向里的磁通量减小,由楞次定律知,电路中电流方向为顺时针方向,即电流为正方向,2~3 s内,磁通量不变,没有感应电流,3~4 s内,线框中向外的磁通量减小,由楞次定律知,电路中电流方向为逆时针方向,即电流为负方向,根据法拉第电
磁感应定律得 ,由于磁感应强度发生变化时是均匀变化,且变化率 大小相等,故产生的感应电流大小相等,A错误,B正确。0~1 s内,电路中电流方向为逆时针,根据左手定则知,ad棒受到的安培力的方向向右,为正值,1~2 s内,电流为顺
时针,ad边受到的安培力的方向向左,为负值,2~3 s内,没有感应电流,不受安培力,3~4 s内,电路中电流方向为逆时针,根据左手定则可知,ad边受到的安培力的方向向左,为负值,根据安培力的公式F=BIl知,安培力的大小与磁感应强度大小成正比,C正确,D错误。
成 果 验 收 站
1.如图所示,半径为0.2 m粗细均匀的圆形轨道内存在着垂直轨道平面的匀强磁场,磁感应强度大小为0.5 T,导体棒ab与虚线直径平行,长度为0.4 m,在外力作用下沿轨道平面匀速运动,速度大小为3 m/s。已知轨道总电阻为4 Ω,导体棒总电阻为2 Ω。运动过程中导体棒与轨道良好接触,忽略阻力及摩擦,当导体棒通过圆心时,
a、b两点的电势差为(　　)
A.0.6 V B.0.5 V
C.0.3 V D.0.2 V
答案:D
2.如图,两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为B,导轨间距最窄处为一狭缝,取狭缝所在处O点为坐标原点,狭缝右侧两导轨与x轴夹角均为θ,一电容为C的电容器与导轨左端相连,导轨上的金属棒与x轴垂直,在外力F作用下从O点开始以速度v向右匀速运动。
忽略所有电阻。下列说法正确的是(　　)
A.通过金属棒的电流为2BCv2tan θ
B.金属棒到达x0时,电容器极板上的电荷量为BCvx0tan θ
C.金属棒运动过程中,电容器的上极板带负电
D.金属棒运动过程中,外力F做功的功率恒定
A
3.(多选)如图所示,等边三角形金属线框abc放在光滑绝缘水平桌面上,边长为1 m,线框的电阻R=3 Ω,质量为0.2 kg。有界匀强磁场垂直于水平桌面向下,磁感应强度大小为B= T,磁场边界MN、PQ间距大于1 m,开始时ab边与磁场边界MN平行,给金属框一个垂直MN向右、大小为4 m/s的初速度,线框穿过磁场后的速度大小为2 m/s,
则在线框穿过磁场的过程中(　　)
A.线框受到的安培力垂直于ab向左
B.进入磁场过程中通过线框某一横截面的电荷量为
C.进入磁场过程中线框中产生的热量大于0.6 J
D.穿过磁场过程中线框克服安培力做的功等于1.2 J
答案:ACD
解析:在线框穿过磁场的过程中,受到的安培力阻碍线框与磁场的相对运动,因此安培力的方向与速度方向相反,即安培力
4.(多选)如图所示,两足够长的光滑平行金属导轨沿水平方向固定,导轨的电阻忽略不计,整个空间加竖直向上的磁感应强度为B的匀强磁场,两完全相同的金属棒1、2垂直导轨放置。已知两导轨之间的距离为d,两金属棒接入电路的电阻均为R,质量均为m,整个过程金属棒始终与导轨垂直且保持良好的接触。t=0时刻给金属棒1一水平向右的初速度v0,经过一段时间达到稳定状态,
5.(2026·湖北卷)如图所示,固定在水平面内的两足够长平行金属导轨相距L,其左端用导线连接一阻值为R的电阻,两导轨间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B。质量为m的导体棒跨放在两导轨上,导体棒在两导轨间的电阻为2R。导轨上a、b、c、d是正方形的四个顶点。
6.磁轨炮是利用电磁发射技术制成的一种先进武器。它利用电磁系统中电磁场的作用力,可大大提高炮弹的速度和射程。其加速原理如图所示,炮弹在导轨的一端,通过电流后炮弹会被安培力加速而高速射出。某磁轨炮导轨长l=6 m,两导轨之间的距离d=0.1 m。轨道间磁场可认为是磁感应强度B=3.0 T、方向垂直于纸面的匀强磁场。质量m=40 g的炮弹受安培力而在轨道内匀加速运动,若其从右侧出口射出的速度为v=3 000 m/s,忽略一切摩擦力。
(1)判断磁场的方向。
(2)求通过导轨的电流大小。
(3)若炮弹所在电路的总电阻为R=0.1 Ω,求发射炮弹时装置所消耗的总能量。
答案:(1)垂直于纸面向里 (2)1×105 A (3)4.18×106 J
解析:(1)根据炮弹受力方向和图中电流方向,
由左手定则可判断磁场的方向垂直于纸面向里。
(2)炮弹在两导轨间做匀加速运动,v2=2al
根据牛顿第二定律可得F=BId=ma
解得I=1×105 A。
(3)由能量守恒,系统消耗的总能量等于回路中产生的热量和炮弹获得的动能之和,

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