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同步探究学案
课题 26.4 实际问题与二次函数(第3课时) 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.分析拱桥、抛射类运动轨迹问题，建立二次函数模型． 2.根据实际情境恰当建立平面直角坐标系． 3.利用二次函数解析式解决现实测量问题．
重点 根据实际情境建立坐标系，求抛物线的函数解析式，代入解决实际问题．
难点 把实物中的长度条件转化为坐标系中点的坐标，合理选择坐标系简化运算．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说利用二次函数解决实际问题的步骤？ 答案：①审题，确定变量； ②列二次函数解析式，确定自变量取值范围； ③利用二次函数性质求最值； ④检验结果是否符合实际； ⑤作答.
新知探究 本节课来研究： 本节我们二次函数的图象和性质，研究应用二次函数来解决拱桥类的实际问题。 探究：一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面时，水面宽.突降暴雨后水面上升，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位） 分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题.为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系(如图所示). 设这条抛物线表示的二次函数为. 由抛物线经过点，可得 解得 因此，这条抛物线对应的二次函数为. 当水面上升时，水面的纵坐标为-3. 试一试：请你根据上面的函数解析式求出这时水面的宽度. 解：将y=-3代入解析式得 ≈±4.3 此时，水面与抛物线两个交点的横坐标为x1≈4.3，x2≈-4.3 水面宽度为：4.3-(-4.3)=8.6 (m) 答：水面上升1m后，水面宽约8.6m. 归纳：解决“拱桥类”问题的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，并将已知条件转化为点的坐标； （2）合理设出所求函数的表达式，并代入已知条件或点的坐标，求出关系式； （3）利用关系式求解实际问题．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 答案：A 2．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，离地面150米处的水平宽度（即的长）为40米，则“门”的内侧的高度的大小是______米． 答案：200 3．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 选做题： 4．如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称），点O在的延长线上，以所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为，则点P到y轴的距离为（ ） A． B． C． D． 答案：D 【综合拓展类练习】 5．“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离． 解：（1）以点D为坐标原点，射线方向为x轴正方向，射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，， 则， 设抛物线表达式为， 代入，可得 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）当桥拱下的水面宽为时，则水面上的点的横坐标为， 将代入，可得， ∴此时拱顶到水面的距离为 答：拱顶到水面的距离为．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，根据以上信息可知主桥拱最高点与其在水中的倒影点之间的距离为__________米． 答案：20 3．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 解：（1）根据题意，得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）当时，， 解得，， ∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞． 选做题： 4．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 答案：C 【综合拓展类作业】 5．某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 解：（1）①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是．
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课题 26.4 实际问题与二次函数(第3课时) 单元 第二十六章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1.分析拱桥、抛射类运动轨迹问题，建立二次函数模型． 2.根据实际情境恰当建立平面直角坐标系． 3.利用二次函数解析式解决现实测量问题．
重点 根据实际情境建立坐标系，求抛物线的函数解析式，代入解决实际问题．
难点 把实物中的长度条件转化为坐标系中点的坐标，合理选择坐标系简化运算．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说利用二次函数解决实际问题的步骤？
新知探究 本节课来研究： 本节我们二次函数的图象和性质，研究应用二次函数来解决拱桥类的实际问题。 探究：一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面时，水面宽.突降暴雨后水面上升，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位） 分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题.为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系(如图所示). 设这条抛物线表示的二次函数为. 由抛物线经过点，可得 解得 因此，这条抛物线对应的二次函数为. 当水面上升时，水面的纵坐标为__________. 试一试：请你根据上面的函数解析式求出这时水面的宽度. 归纳：解决“拱桥类”问题的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，并将已知条件转化为点的坐标； （2）合理设出所求函数的表达式，并代入已知条件或点的坐标，求出关系式； （3）利用关系式求解实际问题．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A． B． C． D． 2．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，离地面150米处的水平宽度（即的长）为40米，则“门”的内侧的高度的大小是______米． 3．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 选做题： 4．如图1是某地的一座桥塔，它的外轮廓近似呈如图2所示的抛物线形，A、B为该抛物线桥塔与桥面所在平面的两个交点（点A与点B关于该抛物线的对称轴对称），点O在的延长线上，以所在直线为x轴，抛物线所在平面内过点O且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线满足关系式，若点P在抛物线上，且在对称轴的右侧，点P到x轴的距离为，则点P到y轴的距离为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类练习】 5．“运河三千里，醉美是淮安．”“常盈桥”是里运河上一座古朴典雅的人行景观桥，桥身呈对称分布．如图，桥拱可以看成抛物线形，跨径为，拱高为． (1)建立恰当的平面直角坐标系，求出抛物线对应的函数表达式． (2)当桥拱下的水面宽为时，求此时拱顶到水面的距离．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线的表达式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时，水面的宽为（ ） A． B． C． D． 2．某拱桥的主桥拱近似地看作抛物线，桥拱在水面的跨度为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，根据以上信息可知主桥拱最高点与其在水中的倒影点之间的距离为__________米． 3．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行） 选做题： 4．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度．
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