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2026-2027九上数学第五周《圆中折叠问题探究》
【课前热身】
知识梳理
画出如何证明AB＝AM的思考过程
【课前热身】
1．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC＝27°，则∠DCA的度数为（　　）
A．36° B．38° C．40° D．42°
2．如图，⊙O的半径为4，将劣弧沿弦AB翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧AB上的一个动点，则△ABC面积的最大值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，⊙O的半径为6，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则弧AmB的长度为　 　 ．（结果保留π）
4．如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连接OE，若OE的最小值为，则AB＝ 　 　 ．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，沿BC折叠⊙O，劣弧BC恰好经过圆心O，且与AB相交于点D，若∠ABC＝45°，BC，则BD的长为 　 　 ，⊙O的半径为 　 　 ．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 　 　 ．
7．如图，在半圆O中，直径AB＝4，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为 　 　 ．
8．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交OC于点D，，若AB＝8，则⊙O的半径为　 　 ．
9．如图，以半圆的一条弦AN为对称轴，将AN弧折叠过来和直径MN交于点B，如果MB：BN＝2：3，若MN＝10，那么弦AN的长为　 　 ．
10．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿弦BC折叠后经过AB的中点D，若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是 　 　 ．
11．如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是　 　 ．
12．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝3，求⊙O的半径；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，请求出∠ACD的度数；
（3）如图2，如果AD＝6，DB＝4，那么AC的长为 　 　 ．（直接写出答案）
【典型例题】
1．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．
（1）如图①，若点D与圆心O重合，AC＝2，求O的半径r；
（2）如图②，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数；
（3）如图③，若点D与圆心O不重合，BD＝5，AD＝7，求AC的长．
2．在⊙O中，直径AB＝4，点C，D为圆上两点，将劣弧沿弦AC折叠后点D在AB上的点D′处，连接CD′．
（1）如图1，当点D′与圆心O重合时，连接OD，AC与OD相交于点M，
①∠ACD′＝　 　 °，AC＝　 　 ；
②延长OD至P，使DP＝OD，连接PA，求证：PA是⊙O的切线；
（2）如图2，若点D′与圆心O不重合时，∠BAC＝32°，请直接写出∠ACD′的度数．
3．【问题背景】
已知AB是半圆O的直径，且AB＝4，C是上的一动点．
【构建联系】
（1）如图1，连接AC，BC，求图中阴影部分面积之和的最小值S．
【深入探究】
（2）如图2，将沿BC折叠，折叠后的弧与直径AB交于点D（点D不与点A，B重合），连接AC，DC．
①若∠ABC＝25°，求∠BCD的度数；
②设AC＝x，DO＝y，请求出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
4．如图，⊙O的直径AB＝4，AC是弦，沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．
（1）如图1，当与AB相切于A时．
①为画出所在圆的圆心P，请选择你认为正确的答案．　 　
甲：在上找一点E，连接AE、CE并分别作它们的中垂线，交点为P；
乙：分别以A、C为圆心，以AO为半径作弧，除O外两弧另一个交点即为圆心P．
A．甲正确 B．乙正确 C．甲乙都正确 D．都不正确
②选择合适的方法做出圆心P，求AC的长；直接写出此时∠CAO的度数．
（2）如图2，当经过圆心O时，求AC的长；
（3）如图3，当覆盖圆心且与直径交于点D，若∠CAO＝25°，直接写出∠ACD的度数．
【巩固提升】
1．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　）
A． B．4 C．6 D．
2．如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（　　）
A． B． C． D．
3．如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝6，则弦BC的长是　 ．
4．如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，再将弧BD沿AB折叠后与CB相交于点E，若，且AB＝10，则CB的长为 　 　 ．
5．如图圆的半径为10，将圆的劣弧AB沿弦AB翻折后所得圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（　　）
A．10 B． C． D．
6．如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．
（1）如图①，将沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，，则⊙O的半径为 　 　 ；
（2）如图②，将沿弦BC翻折，交AB于D，把沿直径AB翻折，交BC于点E．
（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的的中点，则∠B的度数为 　 　 ；
（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB＝10，OD＝1，求线段DE的长．
由题意AB垂直平分线段OK，
∴AO＝AK，
∵OA＝OK，
∴OA＝OK＝AK，
∴∠OAK＝∠AOK＝60°．
∴AH＝OA sin60°＝42，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∴AB＝2AH＝4，
∵OC+OH≥CT，
∴CT≤4+2＝6，
∴CT的最大值为6，
∴△ABC的面积的最大值为6＝12，
故选：A．
3．（2014 江宁区二模）如图，⊙O的半径为6，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则弧AmB的长度为　4π　 ．（结果保留π）
【解答】解：连接OA，OB，过O作OM⊥AB，
由折叠得到ON＝MNOM，且OM⊥AB，即N为AB的中点，
在Rt△AON中，ONOA，
∴∠OAB＝30°，
同理∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴扇形的弧长为：4π，
故答案为：4π；
4．（2025秋 京口区校级月考）如图，在半圆O中，C是半圆上的一个点，将沿弦AC折叠交直径AB于点D，点E是的中点，连接OE，若OE的最小值为，则AB＝ 　2　 ．
【解答】解：补全弧所在的圆及圆心，连接CE，OC，O′E，O′C，
由三角形任意两边之差小于第三边得，当O、C、E共线时OE最小，即，
设的弧度为x°，
∴的弧度为：（180﹣x）°，
∵∠CAD＝∠CAB，
∴的弧度为：（180﹣x）°，
∵将沿弦AC折叠交直径AB于点D，
∴的弧度为x°，
∴的弧度为：x°﹣（180﹣x）°＝（2x﹣180）°，
∵点E为弧AD中点，
∴的弧度为：，
∴的弧度为：（180﹣x）°+（x﹣90）°＝90°，
即所对圆心角∠CO′E＝90°，
设半圆O的半径为r，则由折叠的性质得：O′C＝O′E＝r，
∵，
∴，
∴，
解得：r1＝1，（不符合题意，舍去），
∴AB＝2，
故答案为：2．
5．（2024秋 同步）如图，⊙O是△ABC的外接圆，沿BC折叠⊙O，劣弧BC恰好经过圆心O，且与AB相交于点D，若∠ABC＝45°，BC，则BD的长为 　1　 ，⊙O的半径为 　　 ．
【解答】解：如图，过点O作OF⊥BC交⊙O于点E，连接OB、BE、DE，
则BFBC，
由折叠的性质可知：OF＝FE，OE⊥BC，
∴OB＝BE，
∵OB＝OE，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠OBF＝∠EBF＝30°，∠BOE＝∠BEO＝60°，
∴OB，即⊙O的半径为，
∵∠EBD＝∠EBF+∠ABC＝75°，EB＝ED，
∴∠BED＝30°，
∴∠BED＝∠OED，
∴EH⊥OB，
∴BHBE，EH＝BE cos∠BEH，
∴DH＝DE﹣EH，
∴BD1，
故答案为：1；．
6．（2024秋 濠江区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 　33　 ．
∴的弧度为：（180﹣x）°+（x﹣90）°＝90°，
即所对圆心角为90°，
∵AB＝4，
∴⊙O半径为2，
∴CE2，
∴OE＝CE﹣OC＝22．
故答案为：22．
8．（2024秋 邗江区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧沿弦AB折叠交OC于点D，，若AB＝8，则⊙O的半径为　5　 ．
【解答】解：如图，延长OC交⊙O于E，连接OA，
设OD＝x，则CD＝2x，CO＝3x，
∵沿弦AB折叠交OC于D，
∴CE＝CD＝2x，
∴OE＝2x+2x+x＝5x＝OA，
∵OC⊥AB，
∴，
在Rt△OAC中，根据勾股定理，
得（5x）2＝（3x）2+42，
解得x＝1（负值舍去），
∴OE＝5，
∴⊙O的半径为5，
故答案为：5．
9．（2020 浙江自主招生）如图，以半圆的一条弦AN为对称轴，将AN弧折叠过来和直径MN交于点B，如果MB：BN＝2：3，若MN＝10，那么弦AN的长为　4　 ．
【解答】解：连接MA并延长至M'，使AM'＝AM，连接M'N，交半圆于D，连接AD，如图所示：
∵MN是半圆的直径，
∴∠MAN＝90°，
∴AN⊥AM，
∵AM'＝AM，
∴M′N＝MN＝10，
∵MB：BN＝2：3，
∴MB＝4，BN＝6，
由折叠的性质得：AD＝AB，BN＝DN，
∴DM'＝BM＝4，
∵四边形AMND是圆内接四边形，
∴∠M'AD＝∠M'NM，
∵∠M'＝∠M'，
∴△M'AD∽△M'NM，
∴，
∴M′A M′M＝M′D M′N，
即M′A 2M′A＝4×10＝40．
则M′A2＝20，
又∵M′A2＝M′N2﹣AN2，
∴20＝100﹣AN2，
∴AN＝4．
故答案为：4．
10．（2020 浙江自主招生）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿弦BC折叠后经过AB的中点D，若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是 　3　 ．
【解答】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BDAB＝2，
在Rt△OBD中，OD1，
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，且∠ABC＝∠CBD，
∴，
∴AC＝DC，
∴AE＝DE＝1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF＝EF＝1，
在Rt△OCF中，CF2，
∴CE＝CF+EF＝2+1＝3，
而BE＝BD+DE＝2+1＝3，
∴BC＝3．
故答案为3．
11．（2018秋 建邺区期中）如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将沿AC折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是　6　 ．
【解答】解：如图，延长BO交⊙O 于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB于H．
∵AD＝DB，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO＝90°，
∵OA＝2，AD＝DB＝4，
∴OD2，
∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
∵AD＝DB，EO＝OB，
∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，
∴AE＝AD，
∴，
∴，
∴∠CAE＝∠CAH＝45°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，
∴BCOC＝2，
∵CH⊥AB，
∴∠CAH＝∠ACH＝45°，
∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，
在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，
∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，
∴x＝6或2（舍弃），
在Rt△ACH中，∵AC，
∴AC＝6．
故答案为6．
12．（2023秋 锡山区期中）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝3，求⊙O的半径；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝26°，请求出∠ACD的度数；
（3）如图2，如果AD＝6，DB＝4，那么AC的长为 　4　 ．（直接写出答案）
【解答】解：（1）过点O作OE⊥AC于E，如图：
则AEAC3，
∵翻折后点D与圆心O重合，
∴OEr，
在Rt△AOE中，AO2＝AE2+OE2，
即r2＝（）2+（r）2，
解得r；
∵r＞0，
∴r，
∴⊙O的半径为；
（2）连接BC，如图：
∵AB为直径，∠BAC＝26°，
∴∠B＝90°﹣26°＝64°，52°，
∴2∠B＝128°，
∵劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，
∴，
∴76°，
∴∠DCA＝38°；
（3）连接 BC，设D的对应点为D'，如图：
由翻折得∠AD'C＝∠ADC，
∵∠AD'C+∠B＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∵∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠B＝∠BDC，
∴CD＝BC，
过C作CG⊥AB于G，
∵AD＝6，DB＝4，
∴AB＝6+4＝10，
∴⊙O的半径为5，
∴DG＝BGBD＝2，
∴OG＝OB﹣BG＝5﹣3＝2，AG＝AB﹣BG＝10﹣2＝8，
Rt△OCG中，CG4，
Rt△ACG中，AC4，
故答案为：4．
13．（2020秋 秦淮区校级月考）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．
（1）如图①，若点D与圆心O重合，AC＝2，求O的半径r；
（2）如图②，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数；
（3）如图③，若点D与圆心O不重合，BD＝5，AD＝7，求AC的长．
【解答】解：（1）如图1，过点O作OE⊥AC于E，
则AEAC2＝1，
∵翻折后点D与圆心O重合，
∴OEr，
在Rt△AOE中，AO2＝AE2+OE2，
即r2＝12+（r）2，
解得r；
（2）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠DCA＝∠CDB﹣∠A＝65°﹣25°＝40°；
（3）如图3，过C作CG⊥AB于G，连接OC、BC，
∵BD＝5，AD＝7，
∴AB＝5+7＝12，
∴⊙O的半径为6，
由（2）知：∠ADC+∠B＝180°，
∵∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠B＝∠BDC，
∴CD＝BC，
∴DG＝BGBD，
Rt△OCG中，CG，
Rt△ACG中，AC．
则AC的长为．
14．在⊙O中，直径AB＝4，点C，D为圆上两点，将劣弧沿弦AC折叠后点D在AB上的点D′处，连接CD′．
（1）如图1，当点D′与圆心O重合时，连接OD，AC与OD相交于点M，
①∠ACD′＝　30　 °，AC＝　2　 ；
②延长OD至P，使DP＝OD，连接PA，求证：PA是⊙O的切线；
（2）如图2，若点D′与圆心O不重合时，∠BAC＝32°，请直接写出∠ACD′的度数．
【解答】解：（1）①∵将劣弧沿弦AC折叠后点D在AB上的点D′处，
∴DM＝D′M，DO⊥AC，
∴AM＝CM，
∴OMODOA，
∴∠OAM＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠ACD′＝∠CAB＝30°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝4，
∴ACAB＝2；
故答案为：30，2；
②连接AD，∵∠AMO＝90°，∠MAO＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵AO＝DO，
∴△ADO是等边三角形，
∴∠DAO＝∠ADO＝60°，
∵PD＝OD，
∴PD＝AD，
∴∠P＝∠PAD，
∵∠ADO＝∠P+∠PAD＝60°，
∴∠PAD＝30°，
∴∠PAD+∠DAO＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接CD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝32°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣32°＝58°．
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠ADC＝122°，
∴∠D′CA＝∠ACD＝180°﹣∠BAC﹣∠CDA＝26°．
15．（2025 潮阳区模拟）【问题背景】
已知AB是半圆O的直径，且AB＝4，C是上的一动点．
【构建联系】
（1）如图1，连接AC，BC，求图中阴影部分面积之和的最小值S．
【深入探究】
（2）如图2，将沿BC折叠，折叠后的弧与直径AB交于点D（点D不与点A，B重合），连接AC，DC．
①若∠ABC＝25°，求∠BCD的度数；
②设AC＝x，DO＝y，请求出y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）当△ABC的面积最大时，阴影部分面积之和的最小，
此时，CO为圆的半径r＝2，
则S＝S半圆﹣S△ABCπr2AB×CO2π﹣4；
（2）①设折叠后的点D对应折叠前的点T，连接CT、BT，
则DB＝BT，CD＝CT，∠CBD＝∠CBT，
则AC＝CT＝CD，
故△ACD为等腰三角形，
∵∠ABC＝25°，则∠CAD＝∠CDA＝65°，
则∠ACD＝180°﹣2×65°＝50°，
则∠BCD＝90°﹣50°＝40°；
②由①知，△ACD为等腰三角形，作CH⊥AD于点H，
则AH＝DHAD，
设∠ABC＝α，则sinαx，
∵∠ACH+∠HCB＝90°，∠HCB+∠ABC＝90°，
∴∠ACH＝∠ABC＝α，
则AH＝AC sinαx2AD，
则y＝AO﹣AD＝2x2，
∵y≥0，则x≤2，
即y＝2x2（0＜x≤2）．
16．（2022秋 双滦区校级期末）如图，⊙O的直径AB＝4，AC是弦，沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．
（1）如图1，当与AB相切于A时．
①为画出所在圆的圆心P，请选择你认为正确的答案．C
甲：在上找一点E，连接AE、CE并分别作它们的中垂线，交点为P；
乙：分别以A、C为圆心，以AO为半径作弧，除O外两弧另一个交点即为圆心P．
A．甲正确 B．乙正确 C．甲乙都正确 D．都不正确
②选择合适的方法做出圆心P，求AC的长；直接写出此时∠CAO的度数．
（2）如图2，当经过圆心O时，求AC的长；
（3）如图3，当覆盖圆心且与直径交于点D，若∠CAO＝25°，直接写出∠ACD的度数．
【解答】解：（1）①甲：在上找一点E，连接AE、CE并分别做它们的中垂线，即作△AEC的外心，故甲正确；
乙：由切线长定理可知，OA为切线，且OA＝OC，故OC也为⊙P的切线，易知AOCP为正方形（证明见②），故乙正确；
故选：C；
②如图1，连接PC、OC，
∵AP＝OA＝OC＝PC＝2，
∴四边形AOCP为菱形，
而∠PAO＝90°，
∴四边形AOCP为正方形，
∴，∠CAO＝45°；
（2）作OE⊥AC于F，交劣弧于E，如图2，
∵沿AC折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，即
∴，
∵OE⊥AC，
∴AF＝CF，
在Rt△OAF中，OA＝2，OF＝1，
∴，
∴；
（3）连接CB，作D关于AC的对称轴点D'在⊙O上，并连接AD'、CD'，如图3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠CAO＝25°，
∴∠B＝65°，
由圆内接四边形的性质得到∠AD'C+∠B＝180°，
可得：∠ADC＝∠AD'C＝115°，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAO﹣∠ADC＝40°．
17．（2024秋 越秀区校级月考）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（　　）
A． B．4 C．6 D．
【解答】解：作⊙O的半径OC⊥AB于D，连接OA、AC，如图，
∵圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，
∴AB垂直平分OC，
∴AC＝AO，
而OA＝OC，
∴OA＝AC＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，∠OAD＝30°，
∴cm，
∴cm，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AB＝2AD＝4cm．
故选：D．
18．（2021 蔡甸区校级模拟）如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：过D点作BC的垂线，垂足为M，延长DM交于D′，连接CD、DE、BD′，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：
由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：，
∴AC＝CD＝DE，
∴CM＝EM，
∵E是BC的中点，
∴CMBC，
∵AB是半圆O的直径，
∴AC⊥BC，
∵DM⊥BC，
∴DM∥AC，
∴ADAB，
设∠ABC＝α，则∠ACF＝α，
∵AC＝CD，
∴AD＝2AF，
∵AF＝AC sinα，AC＝AB sinα，
∴AD＝2AB sin2α，
∴AB＝2AB sin2α，
∴sinα，即，
∴AB＝2AC，BCAC，
∴cosα，
∴BC：AB；
故选：B．
19．（2026 泗洪县模拟）如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，若AD＝4，DB＝6，则弦BC的长是　4　 ．
【解答】解：作CH⊥AD于H，连接OC、AC、CD，如图，
∵以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，
∴AC弧与CDB弧所在的圆为等圆，
∴，
∴CA＝CD，
∴AH＝DH＝2，
在Rt△OCH中，OC＝5，OH＝3，
∴CH＝4，
在Rt△ACH中，AC2，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC4．
故答案为4．
20．如图，以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，再将弧BD沿AB折叠后与CB相交于点E，若，且AB＝10，则CB的长为 　4　 ．
【解答】解：如图，∵，且AB＝10，
∴AD＝4，BD＝6，
作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，
可得A、C、A′三点共线，
∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，
∴AB＝A′B，
∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．
而A′C A′A＝A′D′ A′B，
即A′C 2A′C＝4×10＝40．
则A′C2＝20，
又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，
∴20＝100﹣CB2，
∴CB＝4，
故答案为：4．
21．（2011秋 嘉兴期末）如图圆的半径为10，将圆的劣弧AB沿弦AB翻折后所得圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（　　）
A．10 B． C． D．
【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，
∴AB＝2AD，
∵ODOA10＝5，
∴AD5，
∴AB＝2AD＝2×510．
故选：C．
22．（2023 淮南一模）如图，已知，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点．
（1）如图①，将沿弦AC翻折，交AB于D，若点D与圆心O重合，，则⊙O的半径为 　2　 ；
（2）如图②，将沿弦BC翻折，交AB于D，把沿直径AB翻折，交BC于点E．
（Ⅰ）若点E恰好是翻折后的的中点，则∠B的度数为 　22.5°　 ；
（Ⅱ）如图③，连接DE，若AB＝10，OD＝1，求线段DE的长．
【解答】解：（1）如图①，过点O作OM⊥AC，垂足为M，交圆于点N，则AM＝MCAC，
∵将沿弦AC翻折，交AB于D，点D与圆心O重合，
∴OM＝MNON，
在Rt△AOM中，sin∠OAM，
∴∠OAM＝30°，
∴OA2，
∴⊙O的半径为2，
故答案为：2；
（2）（Ⅰ）如图②，连接CA、CD、DE，
∵点E恰好是翻折后的的中点，
∴，
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