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2026-2027九上数学第四周《涉及圆的中点问题怎么处理》
【知识梳理】与圆有关的中点有：
弧+中点或弦+中点=垂径定理
【课前热身】
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若AE＝4，BE＝16，则DF的长为 ___________________
第1题 第2题 第3题
2．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长为 ___________________
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．设∠ABC＝α，则∠ADC＝____________________ （用含α的代数式表示）．
4．如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若⊙O经过其顶点A、B、C，则圆心O到AB的距离为 ___________________ ．
第4题 第5题 第6题
5．如图，在⊙O中，OA＝4，，直径AB⊥CD于点E，连接OC，OD．
∠COD的度数为 ___________________；求CD的长度为 ___________________．
6．如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，⊙O半径为3，则AC的长为为 ___________________
7．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝2m，CD＝3m，则⊙O的半径长为 __________________ m．
第7题 第8题 第9题
8．如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为 __________
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴上，以AB为弦的⊙D与y轴相切．若点A的坐标为（4，0），则点D的坐标为 ____________________ ．
10．正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接BE、CE，则∠ABE＝_________ °．
11．如图，AB是⊙O的弦，C是的中点．
（1）连接OC，求证：OC垂直平分AB；
（2）若AB＝8，，求⊙O的半径．
12．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
【典型例题】
1．如图，AB为⊙O的直径，点C为直径AB上方半圆上一个动点（不与A，B重合），点D为直径AB下方半圆的中点．
（1）如图1，若AB＝10，AC＝6．
①填空：BC＝_____ ，AD＝________________ ，BD＝________________ ；
②请求出CD的长；观察所求的线段长，直接写出线段CA，CB与CD之间的数量关系．
（2）当点C在半圆上运动时，（1）中线段CA，CB与CD之间的数量关系还成立吗？若成立，请就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由．
2．[学习心得]
（1）宁宁在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易，
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝_______ °；
[初步运用]
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝26°，求∠BAC的度数；
[方法迁移]
（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）；
[问题拓展]
（4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，点M为边CD上的一点．
若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ____________________ ．
②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长，
3．【问题提出】
苏科版（数学）九年级（上册）习题2.1有这样一道练习题：
如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”只需证明________________ ．
【初步思考】
如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE，求证：∠ADE＝∠ABC．（请你在空白处根据小敏的思路完成证明过程）．
【推广运用】
如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，连接DE、EF、FD，猜想∠EFB与∠DFC之间存在的关系，并说明理由．
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝BC，且CD∥AB，连接AD交⊙O于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接BE，若BE为直径，，AE＝8，求⊙O的半径．
5．如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，连结AB分别交OC，OD于点E，F．
（1）求出∠AEC的度数：
（2）求证：AE＝BF＝CD．
【巩固提升】
1．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P（x，0），且与x轴正半轴的夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是____________________ ．
2．如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是_____ ．
3．如图，在以A、B、C、D四点构成的四边形中，∠ABC＝90°，AB＝DB＝CB＝4．若P在线段AD上，且始终满足PD＝2PA，连接PC，则PC的最小值为 ____________________ ．
4．如图，点C，D分别在半径OA，OB上，点E在上，∠AOB＝∠CED＝90°．若CE＝6，DE＝8，AC＝BD，则⊙O的半径长为________________ ．
5．如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 __________________ ．
6．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝6，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M．当CN⊥AD时，⊙O的半径为__________ ．
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为 ________ ．
8．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为 ________ ．
9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝45°，，点E为四边形ABCD内部一点，且满足CE2﹣AE2＝2BE2，则点E在运动过程中所形成的图形的长为_____ ．
10．如图，∠XOY＝45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB＝2，那么OC的最大值为 ____________________ ．
A． B． C． D．
【解答】解：如图：
∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，
则∠E＝∠CAD＝30°，BE＝AD＝6，AC＝CE，
∴∠ABC+∠EBC＝（180°﹣∠CAB﹣∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）＝180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC＝CE，
∴，
在Rt△AMC中，，
故选：C．
3．（2021 南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．设∠ABC＝α，则∠ADC＝　180°　 （用含α的代数式表示）．
【解答】解：∵AB＝BD＝BC，
∴∠BAD＝∠BDA，∠BDC＝∠BCD，
∵四边形内角和为360°，
∴∠ABD+∠BAD+∠BDA+∠DBC+∠BDC+∠BCD＝360°，
∴∠ABC+∠ADB+∠ADB+∠BDC+∠BDC＝360°，
即∠ABC+2∠ADB+2∠BDC＝360°，
∵∠ABC＝α，∠ADB+∠BDC＝∠ADC，
∴2∠ADC＝360°﹣α，
∴．
解法二：∵AB＝BC＝BD，∴A，C，D可看作是以点B为圆心，BD为半径的圆上的点，则弧AC所对的圆周角的度数为，
∴∠ADC＝180°．
故答案为：180．
4．（2023秋 邗江区校级期中）如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若⊙O经过其顶点A、B、C，则圆心O到AB的距离为 　　 ．
【解答】解：如图，取AB的中点，过点D作DE⊥AB交AB于点D，交CF于点E，则圆心O在DE上，在取DE上取圆心O，连接OB，OC，
根据题意得：DE⊥CF，，DE＝3，OB＝OC，
∵OB2＝OD2+BD2，OC2＝OE2+CE2，
∴OD2+BD2＝OE2+CE2，
∴，
解得：，
即圆心O到AB的距离为．
故答案为：．
5．（2024 凉州区二模）如图，在⊙O中，OA＝4，，直径AB⊥CD于点E，连接OC，OD．
（1）求∠COD的度数；
（2）求CD的长度．
【解答】解：（1）∵AB⊥CD，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵AB⊥CD，
∴，
∴，
在Rt△COE中，∠OCE＝90°﹣∠COE＝30°，
∴，
∴，
∴．
6．（2023 宁乡市模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，D是弧AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，⊙O半径为3，则AC的长为（　　）
A．4 B． C． D．8
【解答】解：连接OD交AC于F，如图，
∵D是弧AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴AF＝CF，
∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠CBE，
在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（ASA），
∴BC＝DF，
∵OFBC，
∴OFDF，
∴OFOD＝1，
在Rt△OAF中，AF2，
∴AC＝2AF＝4．
故选：B．
7．（2024春 内江校级月考）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝2m，CD＝3m，则⊙O的半径长为 　　 m．
【解答】解：如图，连接OA，
∵C是⊙O中的弦AB的中点，且AB＝2m，
∴OC⊥AB，，
设⊙O的半径长为rm，
则OA＝OD＝rm，
∵CD＝3m，
∴OC＝CD﹣OD＝（3﹣r）m，
在Rt△AOC中，OC2+AC2＝OA2，
即（3﹣r）2+12＝r2，
解得，
即⊙O的半径长为，
∴∠MCB＝∠NBC＝90°，BC＝AB＝OA＝OC＝4，
∴四边形MNBC是矩形，
∴MN＝BC＝4，∠MNB＝90°，MC＝NB，
∴MN⊥AB，
∴NBAB＝2，
∴MC＝NB＝2，
∴OM＝4﹣2＝2，
设圆的半径是r，
∴DB＝r，DN＝4﹣r，
∵BD2＝DN2+NB2，
∴r2＝（4﹣r）2+22，
∴r，
∴MD，
∴点D的坐标为（，2）．
故答案为：（，2）．
10．（2024 南京模拟）正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接BE、CE，则∠ABE＝　22.5　 °．
【解答】解：连接OA、OD、OE，如图所示．
∵四边形ABCD是园内接正方形，
∴∠AOD＝90°．
∵E是的中点，
∴∠AOE＝45°，
∴∠ABE45°＝22.5°．
故答案为：22.5．
11．（2023秋 南京期末）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点．
（1）连接OC，求证：OC垂直平分AB；
（2）若AB＝8，，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OA，OB，OC，
∵由C是的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，
∴OC垂直平分AB；
（2）解：由（1）知，OC垂直平分AB，
∵AB＝8，，
∴ADAB＝4，
∴CD2，
设⊙O的半径为r，
则OD＝r﹣2，OA＝r，
在Rt△AOD中，
AD2+OD2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝5．
12．（2017 临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD＝BD＝4，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC4，
∴△ABC外接圆的半径42．
13．（2021秋 许昌期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为直径AB上方半圆上一个动点（不与A，B重合），点D为直径AB下方半圆的中点．
（1）如图1，若AB＝10，AC＝6．
①填空：BC＝　8　 ，AD＝　5　 ，BD＝　5　 ；
②请求出CD的长；观察所求的线段长，直接写出线段CA，CB与CD之间的数量关系．
（2）当点C在半圆上运动时，（1）中线段CA，CB与CD之间的数量关系还成立吗？若成立，请就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由．
【解答】解：（1）①∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝8，
∵点点D为直径AB下方半圆的中点，
∴AD＝BD，
∴AD＝BD＝5，
故答案为：8，5，5；
②过点D作DF⊥BC交于点F，过点D作DE⊥AC交延长线于点E，
∴∠AED＝∠BFD＝90°，
∵D是的中点，
∴∠ACD＝∠DCB，
∴CD是∠ACB的平分线，
∴DE＝DF，
∵AD＝BD，
∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL），
∴AE＝BF，
∵DE＝DF，CD＝CD，
∴Rt△DCE≌Rt△DCF（HL），
∴CE＝CF，
∴CE＝AC+AE，CF＝BC﹣BF，
∵AC＝6，BC＝8，
∴6+AE＝8﹣AE，
解得AE＝1，
∴CE＝7，
∵∠ACD＝45°，
∴CD＝7；
∵AC+BC＝14，
∴AC+BCCD；
（2）成立，理由如下：
过点D作DG⊥CD交CA的延长线于点G，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADG＝∠BDC，
∵∠ACD＝45°，
∴GD＝DC，
∵AD＝BD，
∴△BCD≌△AGD（SAS），
∴BC＝AG，
∵∠ACD＝45°，∠CDG＝90°，
∴CGCD，
∴CG＝AC+AG＝AC+BCCD，
∴AC+BCCD．
14．（2025秋 南京校级月考）[学习心得]
（1）宁宁在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易，
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝　45　 °；
[初步运用]
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝26°，求∠BAC的度数；
[方法迁移]
（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB＝30°（不写作法，保留作图痕迹）；
[问题拓展]
（4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝m，点M为边CD上的一点．
若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为 　2≤m1　 ．
②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长，
【解答】解：（1）∵∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，∠BAC＝90°，
∴∠BDC∠BAC＝45°；
故答案为：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴OABD，OCBD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝26°，
∴∠BAC＝26°；
（3）作图如下：
由图知，∠AP1B∠AOB＝30°；同理∠AP2B＝30°，
（4）①在BC上截取BF＝BA＝2，连接AF，以AF为直径⊙O，⊙O交AD于E，交BC于F，连接EF，过圆心O作OG⊥EF于H且交圆O．于G，过G作⊙O的切线KQ交AD于K交BC于Q，如图所示：
∵BA＝BF＝2，
∴AF＝2，
∴⊙O的半径为，即OF＝OG，
∵OG⊥EF，
∴FH＝1，
∴OH＝1，
∴GH1，
∴BF≤m＜BQ，
∴2≤m＜21，即2≤m1，
故答案为：2≤m1；
②如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°．
在Rt△BOC中，BC＝6+2＝8，
∴BO＝CO＝4，
∵OE⊥BC，O为圆心，
∴BEBC＝4，
∴DE＝OF＝2．
在Rt△BOE中，BO＝4，BE＝4，
∴OE＝DF＝4．
在Rt△AOF中，AO＝4，OF＝2，
∴AF2，
∴AD＝24．
15．（2017秋 建邺区期中）【问题提出】
苏科版（数学）九年级（上册）习题2.1有这样一道练习题：
如图①，BD、CE是△ABC的高，M是BC的中点，点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
在解决此题时，若想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”只需证明BM＝EM＝DM＝CM ．
【初步思考】
如图②，BD、CE是锐角△ABC的高，连接DE，求证：∠ADE＝∠ABC．（请你在空白处根据小敏的思路完成证明过程）．
【推广运用】
如图③，BD、CE、AF是锐角△ABC的高，连接DE、EF、FD，猜想∠EFB与∠DFC之间存在的关系，并说明理由．
【解答】【问题提出】解：连接EM、DM．
想要说明“点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上”只需证明BM＝EM＝DM＝CM．
故答案为BM＝EM＝DM＝CM．
【初步思考】解：取BC的中点M，连接EM、DM．
∵BD、CE是锐角△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
在Rt△BDC中，M是BC中点，
∴DM＝BM＝CM，同理可证EM＝BM＝CM，
∴BM＝EM＝DM＝CM，
∴B、C、D、E四点共圆，
∴∠ABC+∠EDC＝180°，∵∠EDC+∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝∠ABC．
【推广运用】解：猜想：∠EFB＝∠DFC．
由上面可知，四边形A、C、F、E四点共圆，
∴∠EFB＝∠BAC，
四边形A、B、F、D四点共圆，
∴∠DFC＝∠BAC，
∴∠EFB＝∠DFC．
16．（2025秋 鼓楼区校级月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝BC，且CD∥AB，连接AD交⊙O于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接BE，若BE为直径，，AE＝8，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：如图1，连接OA、OB、OC，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC是AB的垂直平分线，
∴OC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OC⊥CD，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BE，延长CO交AB于点F，
∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
由（1）得，OC是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，∠BFC＝90°，
又∵OB＝OE，
∴OF是△ABE的中位线，
∴，
设OB＝OC＝r，
在Rt△BCF和Rt△BOF中，由勾股定理得：
BF2＝BC2﹣CF2，即，
BF2＝OB2﹣OF2，即BF2＝r2﹣42，
∴，
90﹣r2﹣8r﹣16＝r2﹣16，
2r2+8r﹣90＝0，
r2+4r﹣45＝0，
解得r＝5或﹣9（舍），
∴⊙O的半径为5．
17．（2024秋 台州期中）如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，连结AB分别交OC，OD于点E，F．
（1）求出∠AEC的度数：
（2）求证：AE＝BF＝CD．
【解答】（1）解：连接AC，DB，
∵C，D是三等分点，
∴AC＝CD＝DB，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠AEC＝∠AOC+∠OAB＝30°+45°＝75°；
（2）证明：∵∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝30°，∠AEC＝75°，
又∵OA＝OC，
∴∠ACO（180°﹣∠AOC）（180°﹣30°）＝75°，
∴∠AEC＝∠ACO，
∴AE＝AC，
同理可得 BF＝DB，
∴AE＝BF＝CD．
18．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P（x，0），且与x轴正半轴的夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是　　 ．
【解答】解：∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，
∴设直线AB的解析式为y＝x+b，切点为C，连接OC，如图，
∴OC⊥AB，
∴△POC是等腰直角三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OC＝PC＝1，
在直角三角形COP中，由勾股定理得：OP，
∴，
同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，，
∴，
故答案为：．
19．（2026秋 鼓楼区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE+PF的最小值是　6　 ．
【解答】解：延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，EP，如图，
∵AF⊥OD，F为弧BC的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF，
∵∠AOC+∠COF+∠BOF＝180°（平角的定义），
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，
∴∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF，
∴点F关于AB的对称点为点M，
∴PM＝PF（轴对称的性质），
∴PE+PF＝PE+PM≥EM，
当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，
∵∠AOC＝60°，AD⊥AB，
∴∠D＝90°﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°，
故在Rt△ACD中，OD＝2OA，
∵CD＝4，
∴OD＝OC+4＝2OA＝2OC，即OC＝4，
∴OC＝OA＝OB＝OM＝OF＝4，
∵AF⊥OC，∠AOC＝60°，
∴∠OAE＝90°﹣∠AOE＝90°﹣60°＝30°，
∴OEOA4＝2，
∴EM＝OE+OM＝2+4＝6，即PE+PF的最小值为6，
故答案为：6．
20．（2024秋 南京期末）如图，在以A、B、C、D四点构成的四边形中，∠ABC＝90°，AB＝DB＝CB＝4．若P在线段AD上，且始终满足PD＝2PA，连接PC，则PC的最小值为 　　 ．
【解答】解：∵AB＝DB＝CB＝4，
∴点A、C、D在以点B为圆心，4为半径的圆上，
如图，以点B为圆心，4为半径作⊙B，作直径AE，连接DE，过点P作PF∥DE，交AE于点F，
∵PF∥DE，
∴△APF∽△ADE，
∴，
∵PD＝2PA，
∴APAD，
∴AFAE，
∵半径AB＝4，
∴直径AE＝2AB＝8，
∴AFAE，
∵AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
∵PF∥DE，
∴∠APF＝∠ADE＝90°，
∴点P在以AF中点O为圆心，AF为直径的圆上，如图：
连接OP，OC，
则 OP＝OAAF，
当点P在线段OC上时，PC的长取得最小值，如图：
∵OA，
∴OB＝AB﹣OA，
又∠ABC＝90°，BC＝4，
∴在 Rt△OBC 中，，
∴PC 的最小值，
故答案为：．
21．（2025秋 南京月考）如图，点C，D分别在半径OA，OB上，点E在上，∠AOB＝∠CED＝90°．若CE＝6，DE＝8，AC＝BD，则⊙O的半径长为　　 ．
【解答】解：如图，作EG⊥OB，EF⊥OA，垂足分别为G、F，连接OE．
∵∠AOB＝90°，
∴四边形OGEF是矩形，
∴∠CED＝∠FEG＝90°，
∴∠CED﹣∠CEG＝∠FEG﹣∠CEG，
即∠FEC＝∠EGD，
∵∠EFC＝∠EGD＝90°，
∴△EFC∽△EGD，
∴，
设EF＝3x，AC＝BD＝a，则EG＝4x，
∵四边形OGEF是矩形，
∴EF＝OG＝3x，
∴在Rt△OGE中，，
∴OA＝OB＝OE＝5x，
∴OC＝5x﹣a，CF＝OF﹣OC＝a﹣x，DG＝OB﹣OG﹣BD＝2x﹣a，
∵，即，
∴，
∵在Rt△CDF中，DF2+CF2＝CD2，
∴（3x）2+（a﹣x）2＝62，即，
∵x＞0，
∴，
∴．
故答案为：．
22．（2025秋 南京校级月考）如图，A（2，0）、B（6，0），以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF绕O点旋转时，CD的最小值为 　22　 ．
【解答】解：连接MD，如图，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM＝90°，
∴点D在以A点为圆心，2为半径的圆，
当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD＝AC﹣2＝22，
即CD的最小值为22．
故答案为：22．
23．（2019秋 南京期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝6，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点C作⊙O的切线交AD于点N，切点为M．当CN⊥AD时，⊙O的半径为　2或1.5　 ．
【解答】解：连接EG，OM，
∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∵AD、BC分别与⊙O相切于E、G三点，
∴EG过圆心O，
∵CN⊥AD，
∴四边形CNEG是矩形，
∴EG＝CN，
∵CN是⊙O的切线，
∴OM⊥CN，
∴四边形EOMN和四边形CMOG是正方形，
设⊙O的半径为r，
∴BF＝BG＝6﹣r，
∴AF＝AE＝5﹣（6﹣r）＝r﹣1，
∴DN＝6﹣r﹣（r﹣1）＝7﹣2r，
∵DN2+CN2＝CD2，
∴（7﹣2r）2+（2r）2＝52，
解得：r＝2，r＝1.5，
∴⊙O的半径为2或1.5，
故答案为：2或1.5．
24．（2025秋 江宁区月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．
【解答】解：⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC的内心，如图，连接OF交AC于点G，作FH⊥BC于点H，
∴∠CBF＝∠ABF，∠ACE＝∠BCE，
∴，
∴OG⊥AC，AG＝CG，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BFC＝90°，
∵∠CEF＝∠CBF+∠BCE，∠ECF＝∠ACF+∠ACE，∠CBF＝∠ABF＝∠ACF，
∴∠CEF＝∠ECF，
∴△CEF是等腰直角三角形，，
在直角三角形BCF中，由勾股定理得：BF2，
∵S△BCFBF CFBC FH，
∴FH2，
∵S△OCFOC FHOF CG，OC＝OF，
∴FH＝CG＝2，
∴AC＝2CG＝4，
故选：B．
25．（2025秋 玄武区校级月考）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为 　20°　 ．
【解答】解：如图，连接OC，
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∵∠CAI＝35°，
∴∠BAC＝2∠CAI＝2×35°＝70°，
∵点O是△ABC外接圆的圆心，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×70°＝140°，
∵OB＝OC，
∴，
故答案为：20°．
26．（2025秋 玄武区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝45°，，点E为四边形ABCD内部一点，且满足CE2﹣AE2＝2BE2，则点E在运动过程中所形成的图形的长为　π　 ．
【解答】解：作AE和BE的垂直平分线，这两条垂直平分线相交于点O，以OA长为半径画圆，点G
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