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2．库仑定律
【素养目标】　1．知道点电荷的概念，知道带电体简化为点电荷的条件。2．掌握库仑定律的内容、公式及适用条件，知道静电力常量。3．会用库仑定律进行有关问题的分析与计算。
知识点一　电荷之间的作用力　库仑的实验
【情境导入】如图所示，带电小球B受到带电体A的斥力作用，细线偏离竖直方向的夹角为θ。
(1)偏角θ随A、B间距离的减小如何变化？
(2)设小球B的质量为m，A、B间斥力F与偏角θ有什么关系？
提示：(1)偏角θ增大。
(2)小球B受到三个力：重力mg、细线的拉力FT和带电体A对小球B的斥力F。由平衡条件可知F＝mg tan θ。
【基础梳理】
1．探究影响电荷之间相互作用力的因素
(1)实验现象如图甲所示。
①小球所带电荷量一定时，距离带电体越远，丝线偏离竖直方向的角度越小。
②小球处于同一位置时，小球所带的电荷量越大，丝线偏离竖直方向的角度越大。
(2)实验结论：电荷之间的作用力随着电荷量的增大而增大，随着距离的增大而减小。
2．电荷之间的作用力
(1)点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。
(2)库仑定律
①内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
②静电力：静止点电荷之间的相互作用力。也叫作库仑力。
3．库仑的实验
(1)实验装置：库仑扭秤(如图乙所示)。
(2)实验步骤
①改变A和C之间的距离r，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与距离r的关系。
②根据完全相同的金属小球接触后所带的电荷量相等，改变A和C的电荷量，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与带电荷量q之间的关系。
(3)实验结论
①力F与距离r的二次方成反比，即F∝ 。
②力F与电荷量q1和q2的乘积成正比，即F∝q1q2。
(4)库仑定律的表达式：F＝，其中k叫作静电力常量，k＝9.0×109 N·m2/C2。
【师生互动】　任务1．两点电荷所带的电荷量越大，它们间的静电力是否就越大？
任务2．若点电荷q1的电荷量大于q2的电荷量，则q1对q2的静电力是否大于q2对q1的静电力？
任务3．真空中有两个静止的点电荷，它们之间的相互作用力为F，若它们的带电荷量都增加为原来的2倍，距离增大1倍，则它们之间的相互作用力为多少？
提示：任务1．不是。静电力大小还与两点电荷的距离有关。
任务2．不是。q1与q2之间的静电力遵循牛顿第三定律，大小相等、方向相反。
任务3．F。由库仑定律的表达式可知相互作用力为F。
【探究归纳】
1．对点电荷的理解
(1)点电荷是只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。
(2)带电体能否看成点电荷由研究的具体问题决定，与其自身的形状、大小和电荷分布状况没有具体关系。如果带电体的大小比带电体间的距离小得多，则带电体的形状、大小和电荷分布状况就可以忽略，此时带电体就可以看成点电荷。
(3)点电荷不同于元电荷，元电荷是最小的电荷量，而点电荷是实际带电体的抽象化模型，现实中并不存在。
2．对库仑定律的理解
(1)库仑定律的适用条件：①真空；②静止点电荷。
这两个条件都是理想化的，在空气中库仑定律也近似成立。
(2)在用库仑定律公式进行计算时，无论是正电荷还是负电荷，均代入电荷量的绝对值计算库仑力的大小；根据同种电荷相斥、异种电荷相吸判断作用力的方向，作用力的方向沿两电荷连线的方向。
(3)两个点电荷间相互作用的库仑力满足牛顿第三定律，大小相等、方向相反。
3．两个带电球体间的库仑力
(1)两个规则的均匀带电球体，也适用库仑定律，此时r为两球球心间的距离。
(2)两个规则的带电球体相距比较近时，不能被看作点电荷，此时两带电球体之间的作用距离会随电荷的分布发生改变。若带同种电荷，如图(a)，由于电荷相互排斥，作用距离变大，此时Fk 。
点电荷
(多选)下列关于点电荷的说法正确的是(　　)
A．两个带电体无论多大，只要它们之间的距离远大于它们的大小，这两个带电体就可以看作点电荷
B．一个带电体只要它的体积很小，则在任何情况下，都可以看作点电荷
C．一个体积很大的带电体，在任何情况下，都不能看作点电荷
D．两个带电的金属小球，不一定能将它们作为电荷集中在球心的点电荷处理
答案：AD
解析：两个带电体无论多大，当两带电体之间的距离远大于它们的大小时，带电体本身的形状、大小和电荷分布状况对于所研究的问题影响很小，可把带电体看作点电荷，A正确，C错误；尽管带电体很小，若两带电体相距很近，以至于本身的形状、大小和电荷分布状况对所研究的问题的影响不能忽略，两带电体也不能被看作点电荷，B错误；两个带电金属小球，若离得很近，两球所带的电荷在静电力作用下会分布不均，电荷的分布影响到静电力的大小，若带同种电荷，相互排斥，等效的点电荷间距大于球心距离，若带异种电荷，相互吸引，等效的点电荷间距小于球心距离，D正确。故选AD。
库仑定律
关于库仑定律，下列说法正确的是(　　)
A．库仑定律适用于静止的点电荷，点电荷其实就是体积最小的带电体
B．根据F＝k，当两个带电体间的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大
C．所带电荷量分别为Q和3Q的点电荷A、B相互作用时，B受到的静电力是A受到的静电力的3倍
D．库仑定律的适用条件是真空中的静止点电荷
答案：D
解析：如果在研究的问题中，带电体的形状、大小以及电荷分布状况对它们之间相互作用力的影响可以忽略，即可将它看作是一个带电的点，叫作点电荷，故A错误；两个带电体间的距离趋近于零时，带电体已经不能看成点电荷了，F＝k已经不再适用，故B错误；根据牛顿第三定律可知，点电荷A、B相互作用时，B受到的静电力与A受到的静电力大小相等，故C错误；库仑定律的适用条件是真空中的静止点电荷，故D正确。故选D。
针对练1．A、B、C三点在同一直线上，AB∶BC＝1∶2，B点位于A、C之间，在B处固定一电荷量为Q的点电荷。当在A处放一电荷量为＋q的点电荷时，B处点电荷所受的静电力为F；移去A处点电荷，在C处放一电荷量为－2q的点电荷，则B处点电荷所受静电力为(　　)
A．－ B．
C．－F D．F
答案：B
解析：在A处放一电荷量为＋q的点电荷时，B处点电荷所受静电力大小为F＝；移去A处点电荷在C处放一电荷量为－2q的点电荷时，B处点电荷所受静电力大小为F′＝k，且不管B处点电荷是正电荷还是负电荷，B处点电荷所受静电力的方向都与F相同。故选B。
针对练2．(2026·山东枣庄高一下学期期末)两个完全相同的金属小球A、B带等量正电荷(均可看作点电荷)，相距一定距离时，两球间静电力的大小为F。跟A完全相同的金属小球C带负电，电荷量是A球的，让C先后与A、B接触，之后移走C，再将A、B间的距离变为原来的，此时A、B间静电力的大小为(　　)
A．F B．F
C．F D．F
答案：B
解析：两个完全相同的金属小球A、B带等量正电荷(均可看作点电荷)，相距一定距离时，两球间静电力的大小为F＝，跟A完全相同的金属小球C带负电，电荷量是A的，让C先后与A、B接触，之后移走C，再将A、B间的距离变为原来的，此时A、B间静电力的大小为F′＝k·F。故选B。
第九章　静电场及其应用　[教师用书]
[教师用书]　物理·必修　第三册
知识点二　静电力计算
【师生互动】
如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为r的等边三角形的顶点A、B、C处，已知每个点电荷的电荷量都是Q，静电力常量为k。
任务1．C处点电荷受到几个电荷的作用力？大小和方向如何？
任务2．A处点电荷对C处点电荷的作用力是否会受到B处点电荷的影响？为什么？
任务3．如何求C处点电荷受到的合力？
提示：任务1．C处点电荷受到A处点电荷、B处点电荷两个电荷的作用力；受到A处点电荷的静电力大小为F1＝k，方向由A到C，受到B处点电荷的静电力大小为F2＝k，方向由B到C。
任务2．不会；两个点电荷之间的作用力不因第三个点电荷的存在而改变。
任务3．利用平行四边形定则计算C处点电荷受到的合力。
【探究归纳】
1．两点电荷间的库仑力与周围是否存在其他电荷无关。
2．两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。
3．库仑力是矢量，若电荷受到的两个库仑力不在同一直线上，则这两个库仑力的合成遵循平行四边形定则。
(2026·贵州六盘水高一下学期期末)如图，三角形ABC为等边三角形，边长L＝2 m，将三个正点电荷分别固定在A、B、C点，QA＝2.0×10-5 C，QB＝2.0×10-5 C，QC＝4.0×10-5 C，已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2。求：
(1)QA对QB的库仑力大小；
(2)QC受到的库仑力。
答案：(1)0.9 N　(2) N，方向垂直AB指向C
解析：(1)根据库仑定律，QB受到QA的库仑力大小为FAB＝
代入数据解得FAB＝0.9 N。
(2)根据库仑定律，QA对QC的库仑力为F1＝
代入数据解得F1＝1.8 N，方向由A指向C
QB对QC的库仑力与QA对QC的库仑力大小相等，方向由B指向C
所以QC受QA、QB的合力为FC＝2F1cos 30
解得FC＝ N，方向垂直AB指向C。
针对练1.(2026·河南高考)在x 坐标轴上放置电荷量为QM和QN的两点电荷，其坐标分别为xM＝－a，xN＝a。电荷量为q(q>0)的试探电荷沿x 轴移动，所受静电力F 随x 变化的图像如图所示。取x 轴的正向为F 的正方向，则(　　)
A．QM>0，>
B．QM>0，<
C．QM<0，>
D．QM<0，<
答案：A
解析：由题图可知在0～间存在一点，设该点横坐标为x0，试探电荷在此处受到的静电力为零，可知两点电荷带同种电荷，根据库仑定律有k根据2>2，可得>；根据题图可知在x＝0处时，试探电荷受到的静电力沿x 轴的正向，由于>，在x＝0处时，试探电荷到两点电荷间的距离相等，可知试探电荷在此处受到的静电力的合力方向与点电荷QM对试探电荷的静电力的方向相同，分析可知QM>0。故选A。
针对练2．(2026·四川眉山中学期中)如图所示，真空中，a、b、c三处分别固定电荷量为＋q、－q、＋q的三个点电荷。已知静电力常量为k，ab＝bc＝l，∠abc＝120 。则b处点电荷受到a、c两处点电荷的库仑力的合力大小为(　　)
A． B．
C． D．
答案：D
解析：b处点电荷受到a、c两处点电荷的库仑引力，由库仑定律可知，大小均为F1＝F2＝，两力的夹角成120 ，则两个力的合力大小为F＝2F1cos 60 ＝。故选D。
课时测评2　库仑定律
(时间：30分钟　满分：50分)
(选择题1－11题，每题4分，共44分)
1．下列对点电荷的理解正确的是(　　)
A．体积很大的带电体都不能看作点电荷
B．只有体积很小的带电体才能看作点电荷
C．只要是球形带电体，无论球多大，都能看作点电荷
D．当两个带电体的形状、大小和电荷分布状况对它们之间相互作用力的影响可忽略时，这两个带电体都能看作点电荷
答案：D
解析：带电体能否看作点电荷是由所研究问题决定的，与其自身大小、形状无直接关系，故A、B、C错误；当两个带电体的形状、大小和电荷分布状况对它们之间相互作用力的影响可忽略时，这两个带电体均可看作点电荷，故D正确。故选D。
2．在“研究电荷间作用力大小的影响因素”的实验中，将一带电轻质小球B挂在铁架台上，旁边有一带同种电荷的小球A，小球B静止时丝线与竖直方向的夹角如图所示。现增大小球B的电荷量后仍挂在原处，丝线与竖直方向的夹角将(　　)
A．增大 B．减小
C．不变 D．先减小再增大
答案：A
解析：由题意可知，当增大小球B的电荷量时，根据库仑定律可知，库仑力增大，由平衡条件有＝tan θ，因此丝线与竖直方向的夹角增大。故选A。
3．(2026·山东东营高一下期末)某同学发现万有引力和库仑力的表达形式高度相似，于是他做了以下思考，其中正确的是(　　)
A．这两种力都是吸引力
B．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什精确地测出了引力常量
C．库仑发现了库仑定律，并精确地测出了元电荷的数值
D．根据公式F＝k和F＝G可知，当两带电物体的距离r趋近于零时，库仑力和万有引力都将趋向无穷大
答案：B
解析：万有引力是吸引力，库仑力可能是吸引力，也有可能是排斥力，故A错误；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什利用扭秤实验精确地测出了引力常量，故B正确；库仑发现了库仑定律，密立根精确地测出了元电荷的数值，故C错误；两带电物体的距离r趋近于零时，两物体已经不能够看作点电荷与质点，此时，公式F＝k和F＝G都已经不成立，不能够认为库仑力和万有引力都将趋向无穷大，故D错误。故选B。
4．两个完全相同的半径为r的金属球，两球心相距为L，它们所带电荷量的绝对值均为q，下列关于它们之间相互作用的库仑力F，说法正确的是(　　)
A．若两球带同种电荷且L远大于r时，FB．若带同种电荷且L＝2r时，F>k
C．若带异种电荷且L＝2r时，F>k
D．不论两球带何种电荷，距离如何，两球间库仑力始终满足F＝k
答案：C
解析：若带同种电荷且L远大于r时，两球可看成电荷集中在球心的点电荷，两球间的库仑力为F＝故A错误；由于两球心间距离L＝2r，不满足远大于r的条件，故两球不能看成点电荷，若两球带同种电荷，由于同种电荷相互排斥，则两球等效中心间的距离大于2r，此时库仑力F5．(2026·山东青岛即墨一中期末)点电荷Q1和q相距1 m，Q1和q之间存在大小为F的斥力；点电荷Q2和q相距2 m，Q2和q之间存在大小为3F的引力。关于Q1和Q2的电性以及电荷量之比，下列说法正确的是(　　)
A．Q1和Q2带异种电荷，Q1∶Q2＝1∶12
B．Q1和Q2带异种电荷，Q1∶Q2＝1∶6
C．Q1和Q2带同种电荷，Q1∶Q2＝1∶12
D．Q1和Q2带同种电荷Q1∶Q2＝1∶6
答案：A
解析：点电荷Q1和q之间存在斥力，点电荷Q2和q间存在引力，可知Q1和Q2带异种电荷；根据库仑定律可得F＝k，已知r2＝2r1，可得＝1∶12。故选A。
6．(2026·天津滨海新区高二期末)两个完全相同的金属球A和B，其中A球所带电荷量为＋4Q、B球所带电荷量为－2Q(均可视为点电荷)。两者相距为r，此时两球间的库仑力大小为F。现将金属球A和B接触后又放回原处。则两球之间的库仑力大小变为(　　)
A．F B．
C． D．
答案：B
解析：开始时，根据库仑定律有F＝k将金属球A和B接触后又放回原处，A、B两球的电荷量均变为q′＝＝Q，两球之间的库仑力大小变为F′＝kF。故选B。
7．如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知A、B都带正电荷，A所受B、C两个点电荷的静电力的合力如图中FA所示，则下列说法正确的是(　　)
A．C带正电，且QC＜QB
B．C带正电，且QC＞QB
C．C带负电，且QC＜QB
D．C带负电，且QC＞QB
答案：C
解析：因A、B都带正电，所以静电力表现为斥力，即B对A的作用力沿BA方向，而不论C带正电还是带负电，A和C的作用力方向都必须在AC连线上，由平行四边形定则知，合力必定为以两个分力为邻边所作平行四边形的对角线，所以A和C之间必为引力，且FCA＜FBA，所以C带负电，且QC＜QB。故选C。
8．如图所示，直角三角形ABC中∠B＝30 ，点电荷A、B所带电荷量分别为QA、QB，测得在C处的某正点电荷所受静电力方向平行于AB向左，则下列说法正确的是(　　)
A．A带正电，QA∶QB＝1∶8
B．A带负电，QA∶QB＝1∶8
C．A带正电，QA∶QB＝1∶4
D．A带负电，QA∶QB＝1∶4
答案：B
解析：要使C处的正点电荷所受静电力的合力方向平行于AB向左，该正点电荷受力情况应如图所示，所以A带负电，B带正电；设A、C间的距离为L，则B、C间的距离为2L，由平衡条件可得FB sin 30 ＝FA，即＝，解得。故选B。
9．如图所示，在边长为L的正方形4个顶点上，分别固定4个电荷量大小均为q的点电荷A、B、C、D，其中A、D带正电，B、C带负电，静电力常量为k，则B受到其他三个点电荷的库仑力的合力大小是(　　)
A．0 B．
C． D．
答案：D
解析：B受到其他三个点电荷的库仑力如图所示，F1＝F2＝，则B受到的合力大小为F＝。故选D。
10．中子内有一个电荷量为＋e的上夸克和两个电荷量为－e的下夸克，一个简单的模型是三个夸克都在半径为r的同一圆周上，如图所示。则下列四幅图中，能正确表示出各夸克所受静电力的是(　　)
答案：B
解析：对电荷量为＋e的上夸克，受到电荷量为的两个下夸克等大的静电力作用，由平行四边形定则得，上夸克所受静电力竖直向下；对电荷量为－e的下夸克，另一个下夸克对它的静电力大小F＝k，方向沿着二者连线方向指向另一个下夸克的反方向，上夸克对它的静电力大小F′＝k，方向沿着二者连线方向指向上夸克，由几何关系知F′sin 30 ＝F，因此F与F′的合力方向竖直向上，且F合＝F′cos 30 ，同理可知，另一个下夸克所受静电力的合力也竖直向上。故选B。
11．图中边长为a的正三角形ABC的三个顶点分别固定三个点电荷＋q、＋q、－2q，在该三角形中心O点处固定一电荷量为－2q的点电荷，静电力常量为k，则该电荷受到的静电力为(　　)
A．，方向由C指向O
B．，方向由O指向C
C．，方向由C指向O
D．，方向由O指向C
答案：A
解析：根据几何关系可知，三个点电荷到中心O的间距为r＝，A、B位置的两个点电荷对O点处的点电荷的静电力的合力大小为F1＝＝，方向由C指向O，C位置的点电荷对O点处的点电荷的静电力大小为F2＝方向由C指向O，则该电荷受到的静电力为F＝F1＋F2＝，方向由C指向O。故选A。
12．(6分)如图所示，一半径为R的绝缘球壳上均匀带有－Q的电荷，另一电荷量为＋q的点电荷放在球心O上，由于对称性，点电荷受力为零。静电力常量为k。现在球壳上挖去半径为r(r R)的一个小圆孔，则此时置于球心的点电荷所受的力的大小和方向分别是怎样的？
答案：　由小圆孔的圆心指向球心
解析：由于r R，所以球壳上挖去的部分可视为点电荷，由库仑定律得，挖去部分对球心处点电荷的库仑力大小为F＝k，其中Q′＝·πr2，可
得F＝，方向由球心指向小圆孔的圆心。那么剩下的球壳上的电荷对球心处点电荷的库仑力大小为F′＝F＝，方向由小圆孔的圆心指向球心。(共55张PPT)
2．库仑定律
　　　　
第九章　静电场及其应用
1．知道点电荷的概念，知道带电体简化为点电荷的条件。
2．掌握库仑定律的内容、公式及适用条件，知道静电力常量。
3．会用库仑定律进行有关问题的分析与计算。
素养目标
知识点一　电荷之间的作用力　库仑的实验
1
知识点二　静电力计算
2
内容索引
课时测评
3
知识点一　电荷之间的作用力　库仑的实验
情境导入　如图所示，带电小球B受到带电体A的斥力作用，细线偏离竖直方向的夹角为θ。
(1)偏角θ随A、B间距离的减小如何变化？
提示：偏角θ增大。
(2)设小球B的质量为m，A、B间斥力F与偏角θ有什么关系？
提示：小球B受到三个力：重力mg、细线的拉力FT和带电体A对小球B的斥力F。由平衡条件可知F＝mg tan θ。
自主学习
基础梳理　
1．探究影响电荷之间相互作用力的因素
(1)实验现象如图甲所示。
①小球所带电荷量一定时，距离带电体越远，
丝线偏离竖直方向的角度______。
②小球处于同一位置时，小球所带的电荷量越大，丝线偏离竖直方向的角度______。
(2)实验结论：电荷之间的作用力随着电荷量的增大而______，随着距离的增大而______。
越小
越大
增大
减小
2．电荷之间的作用力
(1)点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小________，以致带电体的_____、_____及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作_________，叫作点电荷。
(2)库仑定律
①内容：______中两个______点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的______成正比，与它们的距离的________成反比，作用力的方向在它们的________。
②静电力：静止点电荷之间的相互作用力。也叫作______力。
大得多
形状
大小
带电的点
真空
静止
乘积
二次方
连线上
库仑
3．库仑的实验
(1)实验装置：库仑扭秤(如图乙所示)。
(2)实验步骤
①改变A和C之间的距离r，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与距离r的关系。
②根据完全相同的金属小球接触后所带的电荷量相等，改变A和C的电荷量，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与带电荷量q之间的关系。
(3)实验结论
①力F与距离r的二次方成反比，即F∝ 。
②力F与电荷量q1和q2的乘积成正比，即F∝q1q2。
(4)库仑定律的表达式：F＝_______，其中k叫作静电力常量，k＝_________ N·m2/C2。
k
9.0×109
师生互动　任务1．两点电荷所带的电荷量越大，它们间的静电力是否就越大？
提示：不是。静电力大小还与两点电荷的距离有关。
任务2．若点电荷q1的电荷量大于q2的电荷量，则q1对q2的静电力是否大于q2对q1的静电力？
提示：不是。q1与q2之间的静电力遵循牛顿第三定律，大小相等、方向相反。
任务3．真空中有两个静止的点电荷，它们之间的相互作用力为F，若它们的带电荷量都增加为原来的2倍，距离增大1倍，则它们之间的相互作用力为多少？
提示：F。由库仑定律的表达式可知相互作用力为F。
课堂探究
探究归纳　
1．对点电荷的理解
(1)点电荷是只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。
(2)带电体能否看成点电荷由研究的具体问题决定，与其自身的形状、大小和电荷分布状况没有具体关系。如果带电体的大小比带电体间的距离小得多，则带电体的形状、大小和电荷分布状况就可以忽略，此时带电体就可以看成点电荷。
(3)点电荷不同于元电荷，元电荷是最小的电荷量，而点电荷是实际带电体的抽象化模型，现实中并不存在。
2．对库仑定律的理解
(1)库仑定律的适用条件：①真空；②静止点电荷。
这两个条件都是理想化的，在空气中库仑定律也近似成立。
(2)在用库仑定律公式进行计算时，无论是正电荷还是负电荷，均代入电荷量的绝对值计算库仑力的大小；根据同种电荷相斥、异种电荷相吸判断作用力的方向，作用力的方向沿两电荷连线的方向。
(3)两个点电荷间相互作用的库仑力满足牛顿第三定律，大小相等、方向相反。
3．两个带电球体间的库仑力
(1)两个规则的均匀带电球体，也适用库仑定律，此时r为两球球心间的距离。
(2)两个规则的带电球体相距比较近时，不能被看作点电荷，此时两带电球体之间的作用距离会随电荷的分布发生改变。若带同种电荷，如图(a)，由于电荷相互排斥，作用距离变大，此时Fk 。
角度1　点电荷
(多选)下列关于点电荷的说法正确的是
A．两个带电体无论多大，只要它们之间的距离远大于它们的大小，这两个带电体就可以看作点电荷
B．一个带电体只要它的体积很小，则在任何情况下，都可以看作点电荷
C．一个体积很大的带电体，在任何情况下，都不能看作点电荷
D．两个带电的金属小球，不一定能将它们作为电荷集中在球心的点电荷处理
√
√
例1
两个带电体无论多大，当两带电体之间的距离远大于它们的大小时，带电体本身的形状、大小和电荷分布状况对于所研究的问题影响很小，可把带电体看作点电荷，A正确，C错误；尽管带电体很小，若两带电体相距很近，以至于本身的形状、大小和电荷分布状况对所研究的问题的影响不能忽略，两带电体也不能被看作点电荷，B错误；两个带电金属小球，若离得很近，两球所带的电荷在静电力作用下会分布不均，电荷的分布影响到静电力的大小，若带同种电荷，相互排斥，等效的点电荷间距大于球心距离，若带异种电荷，相互吸引，等效的点电荷间距小于球心距离，D正确。故选AD。
角度2　库仑定律
关于库仑定律，下列说法正确的是
A．库仑定律适用于静止的点电荷，点电荷其实就是体积最小的带电体
B．根据F＝k，当两个带电体间的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大
C．所带电荷量分别为Q和3Q的点电荷A、B相互作用时，B受到的静电力是A受到的静电力的3倍
D．库仑定律的适用条件是真空中的静止点电荷
√
例2
如果在研究的问题中，带电体的形状、大小以及电荷分布状况对它们之间相互作用力的影响可以忽略，即可将它看作是一个带电的点，叫作点电荷，故A错误；两个带电体间的距离趋近于零时，带电体已经不能看成点电荷了，F＝k已经不再适用，故B错误；根据牛顿第三定律可知，点电荷A、B相互作用时，B受到的静电力与A受到的静电力大小相等，故C错误；库仑定律的适用条件是真空中的静止点电荷，故D正确。故选D。
针对练1．A、B、C三点在同一直线上，AB∶BC＝1∶2，B点位于A、C之间，在B处固定一电荷量为Q的点电荷。当在A处放一电荷量为＋q的点电荷时，B处点电荷所受的静电力为F；移去A处点电荷，在C处放一电荷量为－2q的点电荷，则B处点电荷所受静电力为
A．－ B．
C．－F D．F
√
在A处放一电荷量为＋q的点电荷时，B处点电荷所受静电力大小为F＝；移去A处点电荷在C处放一电荷量为－2q的点电荷时，B处点电荷所受静电力大小为F′＝k，且不管B处点电荷是正电荷还是负电荷，B处点电荷所受静电力的方向都与F相同。故选B。
针对练2．(2026·山东枣庄高一下学期期末)两个完全相同的金属小球A、B带等量正电荷(均可看作点电荷)，相距一定距离时，两球间静电力的大小为F。跟A完全相同的金属小球C带负电，电荷量是A球的，让C先后与A、B接触，之后移走C，再将A、B间的距离变为原来的，此时A、B间静电力的大小为
A．F B．F
C．F D．F
√
两个完全相同的金属小球A、B带等量正电荷(均可看作点电荷)，相距一定距离时，两球间静电力的大小为F＝，跟A完全相同的金属小球C带负电，电荷量是A的，让C先后与A、B接触，之后移走C，再将A、B间的距离变为原来的，此时A、B间静电力的大小为F′＝k·F。故选B。
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知识点二　静电力计算
师生互动　如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，
它们固定在边长为r的等边三角形的顶点A、B、C处，
已知每个点电荷的电荷量都是Q，静电力常量为k。
任务1．C处点电荷受到几个电荷的作用力？大小和方
向如何？
提示：C处点电荷受到A处点电荷、B处点电荷两个电荷的作用力；受到A处点电荷的静电力大小为F1＝k，方向由A到C，受到B处点电荷的静电力大小为F2＝k，方向由B到C。
任务2．A处点电荷对C处点电荷的作用力是否会受到B处点电荷的影响？为什么？
提示：不会；两个点电荷之间的作用力不因第三个点电荷的存在而改变。
任务3．如何求C处点电荷受到的合力？
提示：利用平行四边形定则计算C处点电荷受到的合力。
探究归纳　
1．两点电荷间的库仑力与周围是否存在其他电荷无关。
2．两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。
3．库仑力是矢量，若电荷受到的两个库仑力不在同一直线上，则这两个库仑力的合成遵循平行四边形定则。
(2026·贵州六盘水高一下学期期末)如图，三角形ABC为等边三角形，边长L＝2 m，将三个正点电荷分别固定在A、B、C点，QA＝2.0×10-5 C，QB＝2.0×10-5 C，QC＝4.0×10-5 C，已知静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2。求：
(1)QA对QB的库仑力大小；
答案：0.9 N　
例3
根据库仑定律，QB受到QA的库仑力大小为FAB＝
代入数据解得FAB＝0.9 N。
(2)QC受到的库仑力。
答案： N，方向垂直AB指向C
根据库仑定律，QA对QC的库仑力为F1＝
代入数据解得F1＝1.8 N，方向由A指向C
QB对QC的库仑力与QA对QC的库仑力大小相等，
方向由B指向C
所以QC受QA、QB的合力为FC＝2F1cos 30
解得FC＝ N，方向垂直AB指向C。
针对练1．(2026·河南高考)在x 坐标轴上放置电荷量为QM和QN的两点电荷，其坐标分别为xM＝－a，xN＝a。电荷量为q(q>0)的试探电荷沿x 轴移动，所受静电力F 随x 变化的图像如图所示。取x 轴的正向为F 的正方向，则
A．QM>0，>
B．QM>0，<
C．QM<0，>
D．QM<0，<
√
由题图可知在0～间存在一点，设该点横坐标
为x0，试探电荷在此处受到的静电力为零，可
知两点电荷带同种电荷，根据库仑定律有
k根据2>2，
可得>；根据题图可知在x＝0处时，
试探电荷受到的静电力沿x 轴的正向，由于>，在x＝0处时，试探电荷到两点电荷间的距离相等，可知试探电荷在此处受到的静电力的合力方向与点电荷QM对试探电荷的静电力的方向相同，分析可知QM>0。故选A。
针对练2．(2026·四川眉山中学期中)如图所示，真空中，a、b、c三处分别固定电荷量为＋q、－q、＋q的三个点电荷。已知静电力常量为k，ab＝bc＝l，∠abc＝120 。则b处点电荷受到a、c两处点电荷的库仑力的合力大小为
A． B．
C． D．
√
b处点电荷受到a、c两处点电荷的库仑引力，由库仑定律可知，大小均为F1＝F2＝，两力的夹角成120 ，则两个力的合力大小为F＝
2F1cos 60 ＝。故选D。
课堂回眸
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课时测评
1．下列对点电荷的理解正确的是
A．体积很大的带电体都不能看作点电荷
B．只有体积很小的带电体才能看作点电荷
C．只要是球形带电体，无论球多大，都能看作点电荷
D．当两个带电体的形状、大小和电荷分布状况对它们之间相互作用力的影响可忽略时，这两个带电体都能看作点电荷
带电体能否看作点电荷是由所研究问题决定的，与其自身大小、形状无直接关系，故A、B、C错误；当两个带电体的形状、大小和电荷分布状况对它们之间相互作用力的影响可忽略时，这两个带电体均可看作点电荷，故D正确。故选D。
√
基础排查
2．在“研究电荷间作用力大小的影响因素”的实验中，将一带电轻质小球B挂在铁架台上，旁边有一带同种电荷的小球A，小球B静止时丝线与竖直方向的夹角如图所示。现增大小球B的电荷量后仍挂在原处，丝线与竖直方向的夹角将
A．增大 B．减小
C．不变 D．先减小再增大
由题意可知，当增大小球B的电荷量时，根据库仑定律可知，库仑力增大，由平衡条件有＝tan θ，因此丝线与竖直方向的夹角增大。故选A。
√
3．(2026·山东东营高一下期末)某同学发现万有引力和库仑力的表达形式高度相似，于是他做了以下思考，其中正确的是
A．这两种力都是吸引力
B．牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什精确地测出了引力常量
C．库仑发现了库仑定律，并精确地测出了元电荷的数值
D．根据公式F＝k和F＝G可知，当两带电物体的距离r趋近于零时，库仑力和万有引力都将趋向无穷大
√
万有引力是吸引力，库仑力可能是吸引力，也有可能是排斥力，故A错误；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什利用扭秤实验精确地测出了引力常量，故B正确；库仑发现了库仑定律，密立根精确地测出了元电荷的数值，故C错误；两带电物体的距离r趋近于零时，两物体已经不能够看作点电荷与质点，此时，公式F＝k和F＝G都已经不成立，不能够认为库仑力和万有引力都将趋向无穷大，故D错误。故选B。
4．两个完全相同的半径为r的金属球，两球心相距为L，它们所带电荷量的绝对值均为q，下列关于它们之间相互作用的库仑力F，说法正确的是
A．若两球带同种电荷且L远大于r时，FB．若带同种电荷且L＝2r时，F>k
C．若带异种电荷且L＝2r时，F>k
D．不论两球带何种电荷，距离如何，两球间库仑力始终满足F＝k
√
若带同种电荷且L远大于r时，两球可看成电荷集中在球心的点电荷，两球间的库仑力为F＝故A错误；由于两球心间距离L＝2r，不满足远大于r的条件，故两球不能看成点电荷，若两球带同种电荷，由于同种电荷相互排斥，则两球等效中心间的距离大于2r，此时库仑力F5．(2026·山东青岛即墨一中期末)点电荷Q1和q相距1 m，Q1和q之间存在大小为F的斥力；点电荷Q2和q相距2 m，Q2和q之间存在大小为3F的引力。关于Q1和Q2的电性以及电荷量之比，下列说法正确的是
A．Q1和Q2带异种电荷，Q1∶Q2＝1∶12
B．Q1和Q2带异种电荷，Q1∶Q2＝1∶6
C．Q1和Q2带同种电荷，Q1∶Q2＝1∶12
D．Q1和Q2带同种电荷Q1∶Q2＝1∶6
√
点电荷Q1和q之间存在斥力，点电荷Q2和q间存在引力，可知Q1和Q2带异种电荷；根据库仑定律可得F＝k，已知r2＝2r1，可得＝1∶12。故选A。
6．(2026·天津滨海新区高二期末)两个完全相同的金属球A和B，其中A球所带电荷量为＋4Q、B球所带电荷量为－2Q(均可视为点电荷)。两者相距为r，此时两球间的库仑力大小为F。现将金属球A和B接触后又放回原处。则两球之间的库仑力大小变为
A．F B．
C． D．
√
开始时，根据库仑定律有F＝k将金属球A和B接触后又放回原处，A、B两球的电荷量均变为q′＝＝Q，两球之间的库仑力大小变为F′＝kF。故选B。
7．如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知A、B都带正电荷，A所受B、C两个点电荷的静电力的合力如图中FA所示，则下列说法正确的是
A．C带正电，且QC＜QB
B．C带正电，且QC＞QB
C．C带负电，且QC＜QB
D．C带负电，且QC＞QB
√
因A、B都带正电，所以静电力表现为斥力，即B对
A的作用力沿BA方向，而不论C带正电还是带负电，
A和C的作用力方向都必须在AC连线上，由平行四
边形定则知，合力必定为以两个分力为邻边所作平
行四边形的对角线，所以A和C之间必为引力，且FCA＜FBA，所以C带负电，且QC＜QB。故选C。
8．如图所示，直角三角形ABC中∠B＝30 ，点电荷A、B所带电荷量分别为QA、QB，测得在C处的某正点电荷所受静电力方向平行于AB向左，则下列说法正确的是
A．A带正电，QA∶QB＝1∶8
B．A带负电，QA∶QB＝1∶8
C．A带正电，QA∶QB＝1∶4
D．A带负电，QA∶QB＝1∶4
√
要使C处的正点电荷所受静电力的合力方向平行于AB向左，该正点电荷受力情况应如图所示，所以A带负电，B带正电；设A、C间的距离为L，则B、C间的距离为2L，由平衡条件可得FB sin 30 ＝FA，即＝，解得。故选B。
9．如图所示，在边长为L的正方形4个顶点上，分别固定4个电荷量大小均为q的点电荷A、B、C、D，其中A、D带正电，B、C带负电，静电力常量为k，则B受到其他三个点电荷的库仑力的合力大小是
A．0 B．
C． D．
√
综合应用
B受到其他三个点电荷的库仑力如图所示，F1＝F2＝，则B受到的合力大小为F＝。故选D。
10．中子内有一个电荷量为＋e的上夸克和两个电荷量为－e的下夸克，一个简单的模型是三个夸克都在半径为r的同一圆周上，如图所示。则下列四幅图中，能正确表示出各夸克所受静电力的是
√
对电荷量为＋e的上夸克，受到电荷量为的两个下夸克等
大的静电力作用，由平行四边形定则得，上夸克所受静电力竖
直向下；对电荷量为－e的下夸克，另一个下夸克对它的静电
力大小F＝k，方向沿着二者连线方向指向另一个下夸克的反方向，上夸克对它的静电力大小F′＝k，方向沿着二者连线方向指向上夸克，由几何关系知F′sin 30 ＝F，因此F与F′的合力方向竖直向上，且F合＝F′cos 30 ，同理可知，另一个下夸克所受静电力的合力也竖直向上。故选B。
11．图中边长为a的正三角形ABC的三个顶点分别固定三个点电荷＋q、＋q、－2q，在该三角形中心O点处固定一电荷量为－2q的点电荷，静电力常量为k，则该电荷受到的静电力为
A．，方向由C指向O
B．，方向由O指向C
C．，方向由C指向O
D．，方向由O指向C
√
根据几何关系可知，三个点电荷到中心O的间距为
r＝，A、B位置的两个点电荷对O点处
的点电荷的静电力的合力大小为F1＝
＝，方向由C指向O，C位置的点电荷对O点处的点电荷的静电力大小为F2＝方向由C指向O，则该电荷受到的静电力为F＝F1＋F2＝，方向由C指向O。故选A。
12．(6分)如图所示，一半径为R的绝缘球壳上均匀带有－Q的电荷，另一电荷量为＋q的点电荷放在球心O上，由于对称性，点电荷受力为零。静电力常量为k。现在球壳上挖去半径为r(r R)的一个小圆孔，则此时置于球心的点电荷所受的力的大小和方向分别是怎样的？
答案：　由小圆孔的圆心指向球心
由于r R，所以球壳上挖去的部分可视为点电荷，由库
仑定律得，挖去部分对球心处点电荷的库仑力大小为F
＝k，其中Q′＝·πr2，可得F＝，方向由球心
指向小圆孔的圆心。那么剩下的球壳上的电荷对球心处点电荷的库仑力大小为F′＝F＝，方向由小圆孔的圆心指向球心。
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第九章　静电场及其应用

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