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素养提升课一　静电力作用下的平衡与加速问题
【素养目标】　1.学会利用库仑定律分析同一直线上三个点电荷的平衡问题。2.学会利用库仑定律分析非共线力作用下带电体的平衡问题。3.学会处理静电力作用下带电体的加速问题。
提升点一　共线的三个自由点电荷平衡问题
【师生互动】　如图，A、B两个点电荷，相距为r，A带有9Q的正电荷，B带有4Q的正电荷。
任务1．如果A和B是固定的，如何放置一个电荷量为q的正点电荷C，才能使点电荷C处于平衡状态？
任务2．若将C换成等量负电荷C′，C′平衡的位置是否发生变化？
任务3．如果A和B是自由的，如何放置第三个点电荷D，使系统处于平衡状态，求D的位置、电性和电荷量。
提示：任务1．要使点电荷C处于平衡状态，则A、B、C共线且C位于A、B之间，设A、C间距离为r1，则有，解得r1＝r，即应把点电荷C放在A、B的连线上与A相距r处。
任务2．将C换成等量负电荷C′，C′平衡的位置不发生变化。
任务3．A、B、D都处于平衡状态，则D位于A、B之间且D带负电荷，设A、D间距离为r2，对D有，对A有k解得r2＝＝Q，即应把点电荷D放在A、B的连线上与A相距r处，D带负电荷，电荷量为－Q。
【探究归纳】
共线的三个自由点电荷平衡问题的特点
1．三个自由点电荷的平衡规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上；
“两同夹异”——正、负点电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间点电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间点电荷靠近电荷量较小的点电荷。
2．只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的任意两个点电荷列式即可。
(2026·河北唐县二中月考)如图所示，有A、B两个带正电小球，质量均为m，电荷量分别为Q和4Q，在真空中相距l。已知静电力常量为k，小球均可看成点电荷，重力可忽略不计。现引进第三个带电小球，正好使三个小球均处于平衡状态，则关于第三个小球的带电情况及位置说法正确的是(　　)
A．小球带正电
B．小球应放在A的右侧处
C．电荷量绝对值为Q
D．电荷量绝对值为Q
答案：C
解析：由“两大夹小，两同夹异”可知第三个小球应带负电，且位于A、B两小球之间某位置，假设第三个小球电荷量绝对值为q，距A小球的距离为x，则对第三个小球有k，解得x＝，对A小球有k，解得q＝Q。故选C。
针对练．(2026·四川眉山市仁寿县期中)如图，真空中三个点电荷A、B、C，可以自由移动，依次排列在同一直线上，都处于平衡状态，若三个电荷的带电量、电性及相互距离都未知，但xAB>xBC，则根据平衡条件可断定(　　)
A．A、B、C都带正电
B．A、C带正电荷，B带负电荷
C．|qA|>|qB|>|qC|
D．|qA|>|qC|>|qB|
答案：D
解析：由于三个点电荷均处于平衡状态，根据平衡条件分析可知，三个点电荷的电性有两种可能性，若A
带正电，则B带负电，C带正电；若A带负电，则B带正电，C带负电，即三个点电荷电性满足“两同夹异”，A、B错误。对点电荷A有k对点电荷B有k又由于xAB>xBC，解得>>，C错误，D正确。故选D。
提升点二　静电力作用下带电体的平衡问题
分析静电力作用下带电体平衡问题的步骤
1．确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，用“整体法”或“隔离法”选取合适的研究对象。
2．对研究对象进行受力分析，此时多了静电力F＝k。
3．根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0。
4．解方程求出未知量。
(多选)(2026·福建福州期末)如图所示，一电荷量绝对值为q的小球A固定于左侧绝缘支架上，右侧有一倾角为37 的绝缘光滑斜面，质量为m的带电小球B静止于斜面上，恰与A球处于同一高度。已知A、B间距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g(sin 37 ＝0.6，cos 37 ＝0.8)，则下列说法正确的是(　　)
A．A、B带同种电荷
B．B受到的库仑力方向沿斜面向上
C．B所带电荷量绝对值为
D．B受到斜面的支持力大小为mg
答案：AC
解析：带电小球B静止于斜面上，受竖直向下的重力和垂直于斜面向上的弹力，根据平衡条件可知，B受到的库仑力方向沿水平向右，说明两小球带同种电荷，故A正确，B错误；对小球B受力分析，有k＝mg tan 37 ，解得q′＝，B受到斜面的支持力大小为FN＝mg，故C正确，D错误。故选AC。
针对练1．如图所示，悬挂在O点的一根不可伸长的绝缘细线下端有一个电荷量不变的小球A。在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球B。当B到达悬点O的正下方并与A在同一水平线上，A处于静止状态时，悬线偏离竖直方向的角度为θ。若两次实验中B的电荷量分别为q1和q2，θ分别为30 和45 ，则为(　　)
A．2 B．3
C．2 D．3
答案：C
解析：对A受力分析如图所示，由A的受力分析图可得F＝mg tan θ，由库仑定律得F＝，式中r＝l sin θ(l为悬线长度)，由以上三式可得qB＝，因qA、m、g、l不变，则。故选C。
针对练2．(多选)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内，若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置。如果将小球B向左推动少许，两个小球将重新达到平衡，则两个小球的受力情况与原来相比(　　)
A．推力F将增大
B．竖直墙面对小球A的弹力减小
C．地面对小球B的弹力一定增大
D．两个小球之间的距离增大
答案：BD
解析：对球A受力分析，A受三个力的作用，即重力GA、墙面对A的弹力FA和B对A的静电力FBA，FA与FBA的合力与其重力大小相等，当将小球B向左推动少许时，FBA与竖直方向的夹角逐渐减小，则可以判断出FA减小，FBA也减小，B正确；对A、B整体受力分析可知F＝FA，故推力F也将减小，A错误；地面对小球B的弹力和小球A和B的重力平衡，因此地面对B的弹力保持不变，C错误；由于两球之间的静电力减小，故两个小球之间的距离增大，D正确。故选BD。
提升点三　静电力作用下带电体的加速问题
静电力作用下带电体的加速问题可以归纳为“电学问题、力学方法”，遵循力学规律和力的运算法则。在分析具体问题时应注意：
1．受力分析：除分析重力、弹力、摩擦力等之外，还要分析静电力。
2．状态分析：通过分析确定带电体的运动状态。
3．根据问题情境和提供的条件选择合适的方法(合成法或正交分解法)利用牛顿第二定律列方程求解。
如图所示，带电小球A和B放在倾角为30 的光滑绝缘斜面上，质量均为m，所带电荷量分别为＋q和－q，沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持间距r不变沿斜面向上匀加速运动，已知重力加速度为g，静电力常量为k，求：
(1)加速度a的大小；
(2)F的大小。
答案：(1)g　(2)
解析：(1)根据库仑定律可知，两球相互吸引的库仑力大小为F库＝k
对B球分析，由牛顿第二定律有F库－mg sin 30 ＝ma
联立解得a＝g。
(2)把A球和B球看成整体，由牛顿第二定律有F－2mg sin 30 ＝2ma
解得F＝。
针对练．如图所示，在A点固定一正点电荷，电荷量为Q，在A正上方高度为H的C处由静止释放某带同种电荷的液珠(可看成点电荷)，其开始运动的瞬间加速度大小恰好为重力加速度g。已知静电力常量为k，不计空气阻力。求：
(1)液珠的比荷；
(2)液珠速度最大时离A点的距离h。
答案：(1)　(2)H
解析：(1)设液珠的电荷量为q，质量为m，释放瞬间有k－mg＝ma
由题意可知a＝g
解得液珠的比荷为。
(2)当库仑力与重力大小相等时，液珠速度最大，则有k＝mg
解得h＝H。
课时测评3　静电力作用下的平衡与加速问题
(时间：30分钟　满分：60分)
(选择题1－10题，每题4分，共40分)
1．如图所示，水平天花板上用长度相同的绝缘细线悬挂两个大小相同的带电小球A、B，左边放一个带正电的固定球时，两悬线都保持方向竖直，小球A与固定球的距离等于小球A与小球B的距离。下列说法中正确的是(　　)
A．A球带正电，B球带负电，并且A球的电荷量较多
B．A球带负电，B球带正电，并且A球的电荷量较少
C．A球带负电，B球带正电，并且A球的电荷量较多
D．A球带正电，B球带负电，并且A球的电荷量较少
答案：B
解析：根据电荷间的相互作用规律可知，A球带负电，B球带正电，A球才能受到固定球向左的吸引力和B球向右的吸引力而平衡，B球才能受到固定球向右的排斥力和A球向左的吸引力而平衡，故A、D错误。A球与两边带电球的间距相等，根据库仑定律可知，两边球的电荷量相等，即B球的电荷量与固定球的电荷量相等；对于B球，因为A离B较近，故要想使A对B的库仑力与固定球对B的库仑力大小相等，A球的电荷量需要比固定球的电荷量少，即A球的电荷量小于B球的电荷量，故B正确，C错误。故选B。
2．(多选)如图所示，同一直线上的三个点电荷a、b、c恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知a、b间的距离是b、c间距离r的2倍，a、b、c所带电荷量的绝对值分别为q1、q2、q3。下列说法正确的是(　　)
A．若a、c带正电，则b带负电
B．若a、c带负电，则b带正电
C．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
D．三个点电荷的电荷量均变为原来的一半，b仍静止，a、c将会运动
答案：ABC
解析：三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，一定满足“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”的原则，则a和c带同种电荷，b和a、c带异种电荷，故A、B正确；根据库仑定律和矢量的合成，有k，化简可得q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，故C正确；当三个点电荷的电荷量均变为原来的一半，则点电荷所受的库仑力都减小到原来的四分之一，依然满足平衡条件，三个点电荷仍处于静止状态，故D错误。故选ABC。
3．(2026·青海西宁月考)如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A所带电荷量为＋Q，B所带电荷量为－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为(　　)
A．带正电，B的右边0.4 m处
B．带正电，B的左边0.2 m处
C．带负电，A的左边0.2 m处
D．带负电，A的右边0.2 m处
答案：C
解析：要使三个电荷均处于平衡状态，必须满足“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”的原则，所以点电荷C应在A左侧，且带负电，设C带电荷量为q，A、C间的距离为x，由于C处于平衡状态，所以k解得x＝0.2 m。故选C。
4．一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M相连接，在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N，两球均可视为点电荷，在图中，小球M能处于静止状态的是(　　)
答案：B
解析：根据电荷间的相互作用和平衡条件分析，只有B项中小球M能处于静止状态。故选B。
5．(2026·山西吕梁孝义期末)如图所示，三个点电荷A、B、C电性如图所示，其中A、B电荷固定且所带电荷量绝对值均为Q，点电荷C质量为m，自由放在倾角为θ＝30 的光滑绝缘斜面上处于静止状态。A、B、C三点连线构成等边三角形，边长为L，BC连线平行于斜面，已知静电力常量为k，重力加速度为g，所处空间为真空，则C电荷所带的电荷量为(　　)
A． B．
C． D．
答案：A
解析：对点电荷C受力分析，如图所示，
根据库仑定律可得F＝k，因为点电荷C处于平衡状态，根据平衡条件，可得2kcos 60 ＝mg，解得q＝。故选A。
6．(2026·四川泸州高一下期末)如图所示，两条绝缘细线悬挂在水平天花板上，另一端分别拴带有异种电荷的小球(可视为点电荷)，两带电小球的电荷量绝对值分别为q1、q2，质量分别为m1、m2，静止时两小球在同一高度，细线与竖直方向的夹角θ1>θ2，则下列关于q1、q2和m1、m2的大小关系，一定正确的是(　　)
A．m1C．q1答案：A
解析：设细线与竖直方向的夹角为θ，有tan θ＝，两带电小球所受库仑力大小相等，可知θ越大，m越小，由θ1>θ2可得m1＜m2，两小球之间的相互作用力大小与它们的电荷量大小无关，则无法确定电荷量关系。故选A。
7．(多选)用绝缘细绳拴一个质量为m、带正电的小球B，另一带正电小球A固定在绝缘竖直墙上，A、B两球与地面的高度均为h，小球B在重力、拉力和库仑力的作用下静止不动，重力加速度为g，如图所示。现将细绳剪断，下列说法正确的是(　　)
A．小球B在细绳剪断瞬间开始做平抛运动
B．小球B在细绳剪断瞬间加速度大于g
C．小球B落地的时间小于
D．小球B落地的速度大于
答案：BCD
解析：将细绳剪断瞬间，小球受到重力和库仑力，合力斜向右下方，剪断细绳瞬间，小球B的初速度为零，不可能做平抛运动，且小球B的加速度大于g，故A错误，B正确；小球B在落地过程中，竖直方向的加速度大于g，因此小球B落地的时间小于，落地的速度大于，故C、D正确。故选BCD。
8．如图所示，有一弯管ab，其中心线是半径为r的一段圆弧，弧的圆心处有一个点电荷Q，有一束带负电的粒子流从a端的中点射入，恰能沿中心线通过弯管的粒子应为(　　)
A．质量和速度之比相同的粒子
B．电荷量和质量之比相同的粒子
C．电荷量和动能之比相同的粒子
D．电荷量和速度之比相同的粒子
答案：C
解析：粒子做圆周运动的向心力由库仑力提供，可知，解得r＝，因r、k、Q相同，故恰能沿中心线通过弯管的粒子的的值相同，而动能Ek＝mv2，所以粒子的电荷量和动能之比相同。故选C。
9．(2026·内蒙古集宁一中期末)如图所示，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将质量为m、电荷量为q的小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，丝线BC长度为L，A、C两点间的距离为2L。当小球B静止时，丝线与竖直方向的夹角θ＝45 ，带电小球A、B可视为质点，重力加速度为g，静电力常量为k。下列说法正确的是(　　)
A．丝线对小球B的拉力为mg
B．小球A的电荷量为
C．如果小球A漏电导致电荷量减少少许，丝线的拉力大小变小
D．如果小球A漏电导致电荷量减少少许，丝线的拉力大小不变
答案：D
解析：两小球之间的距离为rAB＝2L sin 45 ＝L，对小球B进行受力分析如图，
由平衡条件得，丝线对小球B的拉力为FT＝mg cos 45 ＝mg，故A错误；由F＝FT＝，可知Q＝，故B错误；由相似三角形可知，若A漏电，丝线的拉力大小不变，故C错误，D正确。故选D。
10．水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量均为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量为(　　)
A． B．
C． D．
答案：C
解析：设AO、BO、CO三条棱与水平面的夹角为θ，由几何关系可知sin θ＝，对带正电的小球，根据平衡条件可得3ksin θ＝mg，解得q＝。故选C。
11．(10分)如图所示，光滑绝缘水平面上固定着A、B、C三个均可视为点电荷的带电小球，它们的质量均为m，彼此间的距离均为r，现对小球C施加一个水平恒力F，同时放开三个小球，三个小球在运动过程中保持间距r不变。已知小球C所带电荷量为－Q，小球A、B带等量同种正电荷，静电力常量为k，求：
(1)小球A所带的电荷量q；
(2)恒力F的大小。
答案：(1)　(2)
解析：(1)由题图可知，小球A受到小球B的库仑斥力和小球C的库仑引力，产生水平向右的加速度，有ksin 30
解得q＝。
(2)根据牛顿第二定律，对A球和A、B、C三个球组成的整体分别有kcos 30 ＝ma，F＝3ma
解得F＝。
12．(10分)如图所示，真空中两个相同的小球(均可视为点电荷)带有等量同种电荷，质量均为0.1 g，分别用10 cm长的绝缘细线1、2悬挂于绝缘天花板上的一点，当平衡时B球偏离竖直方向的角度为60 ，A球竖直悬挂且与绝缘墙壁接触(两带电小球均可视为点电荷)，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，取g＝10 m/s2。求：
(1)两个小球所带的电荷量；
(2)墙壁受到的压力；
(3)细线1、2拉力的大小。
答案：(1)×10-7 C　(2)×10-3 N，方向水平向左　(3)1.5×10-3 N　1×10-3 N
解析：(1)对B球受力分析如图甲所示，B球受力平衡，则拉力与库仑力的合力大小等于重力，方向与重力方向相反，由几何知识可知F＝mg＝FTB＝1×10-3 N
根据库仑定律得F＝k
代入数据解得q＝×10-7 C。
(2)对A球受力分析如图乙所示，A球受力平衡，则有FN＝F sin 60 ＝mg sin 60 ＝×10-3 N
由牛顿第三定律可知，墙壁受到小球的压力大小为，方向水平向左。
(3)A球受力平衡，则有
FTA＝mg＋F cos 60 ＝1.5×10-3 N
由(1)分析知FTB＝mg＝1×10-3 N。(共54张PPT)
素养提升课一　静电力作用下的平衡与加速问题
　　　　
第九章　静电场及其应用
1．学会利用库仑定律分析同一直线上三个点电荷的平衡问题。
2．学会利用库仑定律分析非共线力作用下带电体的平衡问题。
3．学会处理静电力作用下带电体的加速问题。
素养目标
提升点一　共线的三个自由点电荷平衡问题
1
提升点二　静电力作用下带电体的平衡问题
2
提升点三　静电力作用下带电体的加速问题
3
内容索引
课时测评
4
提升点一　共线的三个自由点电荷平衡问题
师生互动　如图，A、B两个点电荷，相距为r，A
带有9Q的正电荷，B带有4Q的正电荷。
任务1．如果A和B是固定的，如何放置一个电荷量
为q的正点电荷C，才能使点电荷C处于平衡状态？
提示：要使点电荷C处于平衡状态，则A、B、C共线且C位于A、B之间，设A、C间距离为r1，则有，解得r1＝r，即应把点电荷C放在A、B的连线上与A相距r处。
任务2．若将C换成等量负电荷C′，C′平衡的位置是
否发生变化？
提示：将C换成等量负电荷C′，C′平衡的位置不发
生变化。
任务3．如果A和B是自由的，如何放置第三个点电荷D，使系统处于平衡状态，求D的位置、电性和电荷量。
提示：A、B、D都处于平衡状态，则D位于A、B之间且D带负电荷，设A、D间距离为r2，对D有，对A有k解得r2＝＝Q，即应把点电荷D放在A、B的连线上与A相距r处，D带负电荷，电荷量为－Q。
探究归纳　
共线的三个自由点电荷平衡问题的特点
1．三个自由点电荷的平衡规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上；
“两同夹异”——正、负点电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间点电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间点电荷靠近电荷量较小的点电荷。
2．只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的任意两个点电荷列式即可。
　　 (2026·河北唐县二中月考)如图所示，有A、B两个带正电小球，质量均为m，电荷量分别为Q和4Q，在真空中相距l。已知静电力常量为k，小球均可看成点电荷，重力可忽略不计。现引进第三个带电小球，正好使三个小球均处于平衡状态，则关于第三个小球的带电情况及位置说法正确的是
A．小球带正电
B．小球应放在A的右侧处
C．电荷量绝对值为Q
D．电荷量绝对值为Q
√
例1
由“两大夹小，两同夹异”可知第三个小球应带负电，且位于A、B两小球之间某位置，假设第三个小球电荷量绝对值为q，距A小球的距离为x，则对第三个小球有k，解得x＝，对A小球有k，解得q＝Q。故选C。
针对练．(2026·四川眉山市仁寿县期中)如图，真空中三个点电荷A、B、C，可以自由移动，依次排列在同一直线上，都处于平衡状态，若三个电荷的带电量、电性及相互距离都未知，但xAB>xBC，则根据平衡条件可断定
A．A、B、C都带正电
B．A、C带正电荷，B带负电荷
C．|qA|>|qB|>|qC|
D．|qA|>|qC|>|qB|
√
由于三个点电荷均处于平衡状态，根据平衡条件
分析可知，三个点电荷的电性有两种可能性，若
A带正电，则B带负电，C带正电；若A带负电，则B带正电，C带负电，即三个点电荷电性满足“两同夹异”，A、B错误。对点电荷A有k对点电荷B有k又由于xAB>xBC，解得>>，C错误，D正确。故选D。
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提升点二　静电力作用下带电体的平衡问题
分析静电力作用下带电体平衡问题的步骤
1．确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，用“整体法”或“隔离法”选取合适的研究对象。
2．对研究对象进行受力分析，此时多了静电力F＝k。
3．根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0。
4．解方程求出未知量。
(多选)(2026·福建福州期末)如图所示，一电荷量绝对值为q的小球A固定于左侧绝缘支架上，右侧有一倾角为37 的绝缘光滑斜面，质量为m的带电小球B静止于斜面上，恰与A球处于同一高度。已知A、B间距离为d，静电力常量为k，重力加速度为g(sin 37 ＝0.6，cos 37 ＝0.8)，则下列说法正确的是
A．A、B带同种电荷
B．B受到的库仑力方向沿斜面向上
C．B所带电荷量绝对值为
D．B受到斜面的支持力大小为mg
√
√
例1
带电小球B静止于斜面上，受竖直向下的重力和垂直
于斜面向上的弹力，根据平衡条件可知，B受到的库
仑力方向沿水平向右，说明两小球带同种电荷，故A
正确，B错误；对小球B受力分析，有k＝mg tan 37 ，解得q′＝，B受到斜面的支持力大小为FN＝mg，故C正确，D错误。故选AC。
针对练1．如图所示，悬挂在O点的一根不可伸长的绝缘细线下端有一个电荷量不变的小球A。在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球B。当B到达悬点O的正下方并与A在同一水平线上，A处于静止状态时，悬线偏离竖直方向的角度为θ。若两次实验中B的电荷量分
别为q1和q2，θ分别为30 和45 ，则为
A．2 B．3
C．2 D．3
√
对A受力分析如图所示，由A的受力分析图可得F＝mg tan θ，
由库仑定律得F＝，式中r＝l sin θ(l为悬线长度)，由以
上三式可得qB＝，因qA、m、g、l不变，则
。故选C。
针对练2．(多选)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，两个带有同种电荷的小球A、B分别处于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内，若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置。如果将小球B向左推动少许，两个小球将重新达到平衡，则两个小球的受力情况与原来相比
A．推力F将增大
B．竖直墙面对小球A的弹力减小
C．地面对小球B的弹力一定增大
D．两个小球之间的距离增大
√
√
对球A受力分析，A受三个力的作用，即重力GA、墙
面对A的弹力FA和B对A的静电力FBA，FA与FBA的合
力与其重力大小相等，当将小球B向左推动少许时，
FBA与竖直方向的夹角逐渐减小，则可以判断出FA减
小，FBA也减小，B正确；对A、B整体受力分析可知F＝FA，故推力F也将减小，A错误；地面对小球B的弹力和小球A和B的重力平衡，因此地面对B的弹力保持不变，C错误；由于两球之间的静电力减小，故两个小球之间的距离增大，D正确。故选BD。
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提升点三　静电力作用下带电体的加速问题
静电力作用下带电体的加速问题可以归纳为“电学问题、力学方法”，遵循力学规律和力的运算法则。在分析具体问题时应注意：
1．受力分析：除分析重力、弹力、摩擦力等之外，还要分析静电力。
2．状态分析：通过分析确定带电体的运动状态。
3．根据问题情境和提供的条件选择合适的方法(合成法或正交分解法)利用牛顿第二定律列方程求解。
如图所示，带电小球A和B放在倾角为30 的光滑绝缘斜面上，质量均为m，所带电荷量分别为＋q和－q，沿斜面向上的恒力F作用于A球，可使A、B保持间距r不变沿斜面向上匀加速运动，已知重力加速度为g，静电力常量为k，求：
(1)加速度a的大小；
答案：g　
例3
根据库仑定律可知，两球相互吸引的库仑力大小为F库＝k
对B球分析，由牛顿第二定律有F库－mg sin 30 ＝ma
联立解得a＝g。
(2)F的大小。
答案：
把A球和B球看成整体，由牛顿第二定律有F－2mg sin 30 ＝2ma
解得F＝。
针对练．如图所示，在A点固定一正点电荷，电荷量为Q，在A正上方高度为H的C处由静止释放某带同种电荷的液珠(可看成点电荷)，其开始运动的瞬间加速度大小恰好为重力加速度g。已知静电力常量为k，
不计空气阻力。求：
(1)液珠的比荷；
答案：　
设液珠的电荷量为q，质量为m，释放瞬间有k－mg＝ma
由题意可知a＝g
解得液珠的比荷为。
(2)液珠速度最大时离A点的距离h。
答案：H
当库仑力与重力大小相等时，液珠速度最大，则有k＝mg
解得h＝H。
课堂回眸
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课时测评
1．如图所示，水平天花板上用长度相同的绝缘细线悬挂两个大小相同的带电小球A、B，左边放一个带正电的固定球时，两悬线都保持方向竖直，小球A与固定球的距离等于小球A与小球B的距离。下列说法中正确的是
A．A球带正电，B球带负电，并且A球的电荷量较多
B．A球带负电，B球带正电，并且A球的电荷量较少
C．A球带负电，B球带正电，并且A球的电荷量较多
D．A球带正电，B球带负电，并且A球的电荷量较少
√
基础排查
根据电荷间的相互作用规律可知，A球带负电，B球带
正电，A球才能受到固定球向左的吸引力和B球向右的
吸引力而平衡，B球才能受到固定球向右的排斥力和A
球向左的吸引力而平衡，故A、D错误。A球与两边带
电球的间距相等，根据库仑定律可知，两边球的电荷量相等，即B球的电荷量与固定球的电荷量相等；对于B球，因为A离B较近，故要想使A对B的库仑力与固定球对B的库仑力大小相等，A球的电荷量需要比固定球的电荷量少，即A球的电荷量小于B球的电荷量，故B正确，C错误。故选B。
2．(多选)如图所示，同一直线上的三个点电荷a、b、c恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知a、b间的距离是b、c间距离r的2倍，a、b、c所带电荷量的绝对值分别为q1、q2、q3。下列说法正确的是
A．若a、c带正电，则b带负电
B．若a、c带负电，则b带正电
C．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9
D．三个点电荷的电荷量均变为原来的一半，b仍静止，a、c将会运动
√
√
√
三个自由电荷在同一直线上处于平衡状态，一定
满足“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”的
原则，则a和c带同种电荷，b和a、c带异种电荷，
故A、B正确；根据库仑定律和矢量的合成，有k，化简可得q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，故C正确；当三个点电荷的电荷量均变为原来的一半，则点电荷所受的库仑力都减小到原来的四分之一，依然满足平衡条件，三个点电荷仍处于静止状态，故D错误。故选ABC。
3．(2026·青海西宁月考)如图所示，在一条直线上有两个相距0.4 m的点电荷A、B，A所带电荷量为＋Q，B所带电荷量为－9Q。现引入第三个点电荷C，恰好使三个点电荷均在静电力的作用下处于平衡状态，则C的带电性质及位置应为
A．带正电，B的右边0.4 m处
B．带正电，B的左边0.2 m处
C．带负电，A的左边0.2 m处
D．带负电，A的右边0.2 m处
√
要使三个电荷均处于平衡状态，必须满足“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”的原则，所以点电荷C应在A左侧，且带负电，设C带电荷量为q，A、C间的距离为x，由于C处于平衡状态，所以k解得x＝0.2 m。故选C。
4．一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M相连接，在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N，两球均可视为点电荷，在图中，小球M能处于静止状态的是
根据电荷间的相互作用和平衡条件分析，只有B项中小球M能处于静止状态。故选B。
√
5．(2026·山西吕梁孝义期末)如图所示，三个点电荷A、B、C电性如图所示，其中A、B电荷固定且所带电荷量绝对值均为Q，点电荷C质量为m，自由放在倾角为θ＝30 的光滑绝缘斜面上处于静止状态。A、B、C三点连线构成等边三角形，边长为L，BC连线平行于斜面，已知静电力常量为k，重力加速度为g，所处空间为真空，则C电荷所带的电荷量为
A． B．
C． D．
√
对点电荷C受力分析，如图所示，根据库仑定律可得F＝k，因为点电荷C处于平衡状态，根据平衡条件，可得2kcos 60 ＝mg，解得q＝。故选A。
6．(2026·四川泸州高一下期末)如图所示，两条绝缘细线悬挂在水平天花板上，另一端分别拴带有异种电荷的小球(可视为点电荷)，两带电小球的电荷量绝对值分别为q1、q2，质量分别为m1、m2，静止时两小球在同一高度，细线与竖直方向的夹角θ1>θ2，则下列关于q1、q2和m1、m2的大小关系，一定正确的是
A．m1B．m1＝m2
C．q1D．q1＝q2
√
设细线与竖直方向的夹角为θ，有tan θ＝，两带电小球所受库仑力大小相等，可知θ越大，m越小，由θ1>θ2可得m1＜m2，两小球之间的相互作用力大小与它们的电荷量大小无关，则无法确定电荷量关系。故选A。
7．(多选)用绝缘细绳拴一个质量为m、带正电的小球B，另一带正电小球A固定在绝缘竖直墙上，A、B两球与地面的高度均为h，小球B在重力、拉力和库仑力的作用下静止不动，重力加速度为g，如图所示。现将细绳剪断，下列说法正确的是
A．小球B在细绳剪断瞬间开始做平抛运动
B．小球B在细绳剪断瞬间加速度大于g
C．小球B落地的时间小于
D．小球B落地的速度大于
√
√
√
将细绳剪断瞬间，小球受到重力和库仑力，合力斜向
右下方，剪断细绳瞬间，小球B的初速度为零，不可
能做平抛运动，且小球B的加速度大于g，故A错误，
B正确；小球B在落地过程中，竖直方向的加速度大
于g，因此小球B落地的时间小于，落地的速度大于，故C、D正确。故选BCD。
8．如图所示，有一弯管ab，其中心线是半径为r的一段圆弧，弧的圆心处有一个点电荷Q，有一束带负电的粒子流从a端的中点射入，恰能沿中心线通过弯管的粒子应为
A．质量和速度之比相同的粒子
B．电荷量和质量之比相同的粒子
C．电荷量和动能之比相同的粒子
D．电荷量和速度之比相同的粒子
√
粒子做圆周运动的向心力由库仑力提供，可知，解得r＝，因r、k、Q相同，故恰能沿中心线通过弯管的粒子的的值相同，而动能Ek＝mv2，所以粒子的电荷量和动能之比相同。故选C。
9．(2026·内蒙古集宁一中期末)如图所示，竖直绝缘墙上固定一带电小球A，将质量为m、电荷量为q的小球B用轻质绝缘丝线悬挂在A的正上方C处，丝线BC长度为L，A、C两点间的距离为2L。当小球B静止时，丝线与竖直方向的夹角θ＝45 ，带电小球A、B可视为质点，重力加速度为g，静电力常量为k。下列说法正确的是
A．丝线对小球B的拉力为mg
B．小球A的电荷量为
C．如果小球A漏电导致电荷量减少少许，丝线的拉力大小变小
D．如果小球A漏电导致电荷量减少少许，丝线的拉力大小不变
√
综合应用
两小球之间的距离为rAB＝2L sin 45 ＝L，对小球B进
行受力分析如图，由平衡条件得，丝线对小球B的拉力
为FT＝mg cos 45 ＝mg，故A错误；由F＝FT＝，
可知Q＝，故B错误；由相似三角形可知
，若A漏电，丝线的拉力大小不变，故C错误，D正确。故选D。
10．水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量均为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量为
A． B．
C． D．
√
设AO、BO、CO三条棱与水平面的夹角为θ，由几何关系可知sin θ＝，对带正电的小球，根据平衡条件可得3ksin θ＝mg，解得q＝。故选C。
11．(10分)如图所示，光滑绝缘水平面上固定着A、B、C三个均可视为点电荷的带电小球，它们的质量均为m，彼此间的距离均为r，现对小球C施加一个水平恒力F，同时放开三个小球，三个小球在运动过程中保持间距r不变。已知小球C所带电荷量为－Q，小球A、B带等
量同种正电荷，静电力常量为k，求：
(1)小球A所带的电荷量q；
答案：　
由题图可知，小球A受到小球B的库仑斥力和小球C的库仑引力，产生水平向右的加速度，有ksin 30
解得q＝。
(2)恒力F的大小。
答案：
根据牛顿第二定律，对A球和A、B、C三个球组成的整体分别有kcos 30 ＝ma，F＝3ma
解得F＝。
12．(10分)如图所示，真空中两个相同的小球(均可视为点电荷)带有等量同种电荷，质量均为0.1 g，分别用10 cm长的绝缘细线1、2悬挂于绝缘天花板上的一点，当平衡时B球偏离竖直方向的角度为60 ，A球竖直悬挂且与绝缘墙壁接触(两带电小球均可视为点电荷)，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，取g＝10 m/s2。求：
(1)两个小球所带的电荷量；
答案：×10-7 C　
对B球受力分析如图甲所示，B球受力平衡，则拉力与库仑力的合力大小等于重力，方向与重力方向相反，由几何知识可知F＝mg＝FTB＝1×10-3 N
根据库仑定律得F＝k
代入数据解得q＝×10-7 C。
(2)墙壁受到的压力；
答案：×10-3 N，方向水平向左　
对A球受力分析如图乙所示，A球受力平衡，
则有FN＝F sin 60 ＝mg sin 60 ＝×10-3 N
由牛顿第三定律可知，墙壁受到小球的压力大小为
，方向水平向左。
(3)细线1、2拉力的大小。
答案：1.5×10-3 N　1×10-3 N
A球受力平衡，则有
FTA＝mg＋F cos 60 ＝1.5×10-3 N
由(1)分析知FTB＝mg＝1×10-3 N。
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第九章　静电场及其应用

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