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3．电势差与电场强度的关系
【素养目标】　1．理解匀强电场中电势差和电场强度的关系U＝Ed或E＝，了解其适用条件。2．会利用匀强电场中电势差和电场强度的关系定性分析和定量计算电场强度。3．掌握利用等分法求解电势的思路和方法。
知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
【情境导入】如图甲所示，在电场强度为E的匀强电场中，A、B是相距为d且沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；
(2)通过A、B间的电势差计算静电力所做的功；
(3)比较两次计算的功的大小并总结电势差与电场强度的关系；
(4)如果A、B两点不在同一条电场线上(如图乙)，上述结论还成立吗？请尝试进行论证。
提示：(1)WAB＝Fd＝qEd。
(2)WAB＝qUAB。
(3)两次计算的功的大小相等，UAB＝Ed。
(4)WAB＝Fl cos θ＝Fd＝qEd，WAB＝qUAB，UAB＝Ed，故仍成立。
【基础梳理】
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
(2)公式：UAB＝Ed。
2．公式E＝的意义
(1)意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。
(2)电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。
(3)电场强度的另一个单位：由E＝可以得到电场强度的另一个单位，即伏每米，符号为V/m。1 V/m＝1 N/C。
【师生互动】如图，图中虚线为等势面，B、C、D三点位于同一等势面上。
任务1．比较A与B、A与C、A与D间电势差的大小。
任务2．电势沿AB、AC、AD三条线，哪一个方向降落最快？由此说明什么？
提示：任务1．UAB＝UAC＝UAD。
任务2．AB方向；说明电场强度方向指向电势降落最快的方向。
【探究归纳】
1．公式E＝的理解
(1)大小关系：由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势，电场强度是电势差对空间位置的变化率，电势随空间变化的快慢，反映了电场强度的大小。
(2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。
2．电场强度三个公式的对比
公式 物理含义 引入过程 适用范围
E＝ 电场强度的定义式 F∝q，E与F、q无关 适用于一切电场
E＝ k 真空中点电荷电场强度的决定式 由E＝和库仑定律导出 在真空中，场源电荷Q是点电荷
E＝ 匀强电场中电场强度与电势差的关系式 由F＝qE、W＝Fd和W＝qU导出 匀强电场
如图所示，实线为一组方向未知的匀强电场的电场线，将电荷量为q＝－1.0×10-6 C的点电荷由A点沿水平线移至B点，克服静电力做了2×10-6 J的功，已知A、B间的距离为2 cm。则：
(1)A、B两点间的电势差为多少？
(2)该匀强电场的电场强度大小E为多少？
答案：(1)2 V　(2)200 V/m
解析：(1)由题意可知WAB＝－2×10-6 J
则UAB＝ V＝2 V。
(2)根据UAB＝Ed cos 60 可得
E＝ V/m＝200 V/m。
针对练1．如图所示，匀强电场电场强度大小E＝100 V/m，A、B两点相距10 cm, A、B连线与电场线夹角为60 ，则UBA为(　　)
A．5 V B．5 V
C．－5 V D．－5 V
答案：C
解析：根据沿电场线方向电势降低，可知B点电势低于A点电势，则UBA为负值，根据匀强电场中电势差与电场强度的关系可得UBA＝－EdABcos 60 ＝－5 V。故选C。
针对练2．如图所示，三角形abc位于匀强电场中，ac沿电场线方向，ab垂直于bc，lab＝0.8 m，lbc＝0.6 m，a、b间电势差为64 V。下列说法正确的是(　　)
A．b、c间电势差Ubc＝60 V
B．a、c间电势差Uac＝－100 V
C．场强大小为100 V/m
D．场强在ab、bc方向的分量大小之比为3∶4
答案：C
解析：设ab与ac夹角为θ，则cos θ＝＝0.8，由电场强度与电势差的关系可知Uab＝E cos θ·lab，可得E＝＝100 V/m，故C正确；b、c间电势差为Ubc＝E sin θ·lbc＝36 V，故A错误；a、c间电势差为Uac＝Elac＝E＝100 V，故B错误；电场强度在ab、bc方向的分量大小之比为，故D错误。故选C。
知识点二　利用E＝定性分析非匀强电场
1．U＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。
2．在同一电场中，若相邻等势面间的电势差相等，则相邻等势面间的间距越小(等势面越密)，电场强度E＝ 越大。图甲中等差等势面越密的地方电场强度越大。图乙中a、b、c为某条电场线上的三个点，且ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，所以Uab＜Ubc。
(多选)如图为某一电场的电场线和等势面，虚线为等势面。已知φa＝5 V，φc＝3 V，ab＝bc，b点电势为φb，b、d在同一等势面上。以|Wac|表示点电荷q由a点移到c点过程中静电力做功的大小，|Wdc|表示点电荷q由d点移到c点过程中静电力做功的大小，则(　　)
A．φb>4 V B．φb<4 V
C．|Wac|＝2|Wdc| D．|Wac|>2|Wdc|
答案：BD
解析：由电场线的疏密程度可知，ab段上各点电场强度大于bc段上各点电场强度，由U＝Ed可定性判断出Uab>Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb<
，故C错误，D正确。故选BD。
针对练1．(多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON，则下列说法正确的是(　　)
A．M点的电势比P点的电势高
B．将负点电荷由O点移动到P点，静电力做正功
C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D．M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
答案：AD
解析：过P点做等势线，如图所示，可知过P点的等势线通过M、N之间，因沿着电场线方向电势逐渐降低，则有，A正确；将负点电荷由O点移到P点，静电力做负功，B错误；根据U＝Ed进行定性分析可知UMN针对练2．(多选)图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点。则该粒子(　　)
A．带负电
B．在c点受力最大
C．在b点的电势能大于在c点的电势能
D．由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
答案：CD
解析：物体做曲线运动时，合力方向指向轨迹的凹侧，说明该粒子带正电，A错误；由库仑定律F＝可知，离圆心越远，粒子所受的力越小，B错误；粒子从b点到c点过程中，静电力做正功，电势能减小，C正确；离点电荷越近，电场强度越大，根据U＝Ed定性分析可知Uab>Ubc，又静电力做功W＝qU，则Wab>Wbc，由动能定理可得粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，D正确。故选CD。
知识点三　等分法确定等势面和电场线
1．等分法：由于匀强电场中沿任意一条直线电势降落都是均匀的，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的，像这样采用等分间距求电势的方法，叫作等分法。
2．两个重要结论
(1)匀强电场中任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。
(2)在匀强电场中，若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(即φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如图乙所示。
3．确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势面，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。
(2026·山西部分重点高中期中联考)如图所示的直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝ cm，∠A＝60 ，整个空间存在平行于梯形平面的匀强电场，A、B、D三点的电势分别为φA＝18 V、φB＝6 V、φD＝0。下列说法正确的是(　　)
A．电场方向由A指向D
B．C点的电势为－6 V
C．BC中点的电势为－6 V
D．电场强度的大小为400 V/m
答案：B
解析：将线段AD三等分，等分点分别为F、G，如图所示，则G点的电势与B点电势相等，都为6 V，连接B、G，则B、G的连线所在直线为匀强电场的等势线，连接A、C，根据几何关系可知，AC垂直于BG，故场强方向垂直于BG(即平行于AC)指向C的方向，故A错误；因A与B、B与C沿场强方向的距离相等，故UAB＝UBC，即φA－φB＝φB－φC，所以φC＝2φB－φA＝ V＝－6 V，故B正确；设BC中点为H，则其电势为φH＝ V＝0，故C错误；电场强度的大小为E＝ V/m＝800 V/m，故D错误。
故选B。
针对练1．(2026·吉林白城月考)如图所示，在匀强电场中有边长为10 cm的等边三角形ABC，已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为2 V、6 V和－2 V，则匀强电场的场强大小E为(　　)
A．20 V/m B．40 V/m
C．60 V/m D．80 V/m
答案：D
解析：设BC中点为D，则D点的电势为φD＝ V＝2 V，可知AD连线为等势线，则电场方向由B指向C，场强大小为E＝ V/m＝80 V/m。故选D。
针对练2．如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，A点处的电势为6 V，B点处的电势为3 V，则电场强度的大小为(　　)
A．200 V/m B．200 V/m
C．100 V/m D．100 V/m
答案：A
解析：在匀强电场中，沿某一方向电势均匀变化或不变，设OA中点为C，则φC＝＝3 V，因此B、C在同一等势面上，过O点作出电场线如图所示，O点到BC的距离d＝OC sin α，而sin α＝，所以d＝OC＝1.5×10-2 m，匀强电场的电场强度大小E＝ V/m＝200 V/m。故选A。
课时测评9　电势差与电场强度的关系
(时间：30分钟　满分：70分)
(选择题1－11题，每题4分，共44分)
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．由公式E＝得，电场强度E与电势差U成正比，与两点间距离d成反比
B．由公式E＝得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小
C．在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点沿电场方向的距离的乘积
D．公式E＝只适用于匀强电场
答案：CD
解析：公式E＝只适用于匀强电场，D正确；电场强度E与U、d无关，只与电场本身有关，A、B错误；由匀强电场中电势差与电场强度的关系可知，C正确。故选CD。
2．空气中的负离子对人的健康极为有益，人工产生负离子的最常见方法是电晕放电法。如图所示，在一排针状负极和环形正极之间加上直流高压电源，电压达5 000 V左右，使空气发生电离，从而产生负氧离子(负氧离子为－1价离子)，使空气清新化。针状负极与环形正极间距为5 mm，且形成的电场视为匀强电场，电场强度为E，电场对负氧离子的作用力大小为F，元电荷取1.6×10-19 C，则(　　)
A．E＝103 V/m，F＝1.6×10-16 N
B．E＝106 V/m，F＝1.6×10-16 N
C．E＝103 V/m，F＝1.6×10-13 N
D．E＝106 V/m，F＝1.6×10-13 N
答案：D
解析：针状负极与环形正极间的电场视为匀强电场，所以E＝ V/m＝106 V/m，负氧离子受到的静电力大小为F＝qE＝1.6×10-19×106 N＝1.6×10-13 N。故选D。
3．如图所示，A、B、C是匀强电场中一直角三角形的三个顶点，其中∠C＝30 ，AB方向与电场方向平行，AC边长0.8 m。已知A、C两点的电势φA＝9 V，φC＝3 V，下列说法正确的是(　　)
A．匀强电场的电场强度大小为7.5 V/m
B．匀强电场的电场强度大小为15 V/m
C．匀强电场的电场强度大小为5 V/m
D．B点和C点电势不相等
答案：B
解析：由题图可知，BC与电场线垂直，为等势面，则φB＝φC＝3 V，由题图可知dAB＝dACsin 30 ＝0.8× m＝0.4 m，则匀强电场的电场强度大小为E＝ V/m＝15 V/m。故选B。
4．如图所示，沿x轴正方向场强为E的匀强电场中，有一动点从A点开始以O为圆心、r＝OA为半径逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正方向(E方向)成θ角，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为(　　)
A．U＝Er B．U＝Er(sin θ＋1)
C．U＝Er(cos θ＋1) D．U＝2Er
答案：C
解析：由U＝Ed可知，此圆周上各点与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，则dmax＝r＋r cos θ，所以Umax＝Er(cos θ＋1)。故选C。
5．(2026·广东广雅中学月考)如图所示，a、b、c、d、e为匀强电场中的五个点，水平实线为电场线(方向未标出)，ab＝bc＝cd＝da＝4 cm，ad边平行于电场线，且∠abc＝60 ，e为ab的中点。已知a、b、c三点的电势分别为φa＝2 V、φb＝－2 V、φc＝6 V，则下列说法错误的是(　　)
A．e点电势φe＝0
B．匀强电场的场强方向水平向右
C．ab间的电势差Uab等于dc间的电势差Udc
D．匀强电场的场强大小为200 V/m
答案：B
解析：因为是匀强电场，且e为ab的中点，则有φa－φe＝φe－φb，解得e点电势为φe＝0，故A正确；由于φc>φb，可知匀强电场的场强方向水平向左，大小为E＝＝200 V/m，故B错误，D正确；因为是匀强电场，且ab与dc平行且相等，则有Uab＝Udc，故C正确。故选B。
6．(2026·陕西榆林五校期中联考)某一电场中的电场线和等势面分布如图所示，在电场中有A、B、C三点，A、B间距离等于B、C间距离。下列说法中正确的是(　　)
A．A点电场强度比B点电场强度小
B．A、B两点间的电势差绝对值大于B、C两点间的电势差绝对值
C．正电荷在A点的电势能比在B点的电势能大
D．负电荷由B向C移动，静电力做负功
答案：B
解析：A点处电场线比B点处密，故A点场强更大，A错误；根据U＝Ed，A、B两点间场强大于B、C两点间场强，故A、B两点间电势差绝对值大于B、C两点间电势差绝对值，B正确；A点电势低于B点，故正电荷在A点的电势能小于在B点的电势能，C错误；负电荷由B到C，静电力做正功，D错误。故选B。
7．如图所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势(　　)
A．一定等于6 V B．一定低于6 V
C．一定高于6 V D．无法确定
答案：B
解析：根据点电荷电场强度公式可知，AB段电场强度大于BC段电场强度，又AB＝BC，由公式U＝Ed可知UAB＞UBC，即φA－φB＞φB－φC，所以φB＜＝6 V。故选B。
8．(2026·辽宁省协作体期末)如图所示，直角三角形ABC中∠A＝60 ，∠C＝90 ，BC＝2 cm，三角形ABC所在平面内有一匀强电场，φA＝6 V，φB＝－2 V，φC＝2 V，一电子从B点移动到C点，则下列说法正确的是(　　)
A．电子在C点的电势能大于在B点的电势能
B．该电场的电场强度大小为200 V/m，方向由A点指向BC边中点
C．该电场的电场强度大小为200 V/m，方向由A点指向C点
D．该电场的电场强度大小为400 V/m，方向沿∠A的角平分线
答案：D
解析：根据Ep＝qφ，可知电子在电势越大的位置，电势能越小，因为φC>φB，则EpC9．在xOy坐标平面内有方向平行于该平面的匀强电场，a、b、c、d四点坐标如图所示，已知a、b、c三点电势分别为4 V、2 V、0，下列说法正确的是(　　)
A．坐标原点O的电势为0
B．d点的电势为－2 V
C．匀强电场的电场强度大小为200 V/m
D．匀强电场的方向沿x轴正方向
答案：C
解析：根据φa－φO＝φb－φc，解得坐标原点O的电势为φO＝2 V，A错误；根据φa－φO＝φO－φd，可得d点的电势为φd＝0，B错误；由A项分析可知，y轴为等势线，匀强电场方向沿x轴负方向，则匀强电场的电场强度大小为E＝ V/m＝200 V/m，C正确，D错误。故选C。
10．(2026·四川眉山仁寿一中期末)如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，场强方向平行于正方形ABCD所在平面。已知A、B、C三点的电势分别为φA＝9 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，则(　　)
A．D点的电势φD＝3 V，场强方向平行于AB方向
B．D点的电势φD＝3 V，场强方向平行于AC方向
C．D点的电势φD＝3 V，场强方向平行于BC方向
D．把一个电子从C移到B，静电力做功为4 eV
答案：B
解析：如图所示，连接AC，设AC的中点为E，则E点的电势为φE＝ V＝3 V，连接BE，则BE为一条等势线，D点在BE连线上，所以D点电势φD＝3 V，电场线垂直于等势线，且由高电势指向低电势，故场强方向平行AC方向，故A、C错误，B正确；把一个电子从C移到B，静电力做功W＝qUCB＝(－e)·(－6) V＝6 eV，故D错误。故选B。
11．如图所示，在匀强电场中，电场强度方向与△abc所在平面平行，ac⊥bc，ac＝0.2 m。一个电荷量q＝1×10-5 C的正电荷从a移到b，静电力做功为零；同样的电荷从a移到c，克服静电力做功为1×10-3 J。下列说法正确的是(　　)
A．a、c两点的电势差Uac＝100 V
B．该匀强电场的电场强度E＝500 V/m
C．该匀强电场的电场线方向垂直于ab向下
D．正电荷由c点移到a点的过程中，电势能增加
答案：C
解析：由静电力做功与电势差的关系，可得a、c两点的电势差为Uac＝ V＝－100 V，A错误；由题意可知，将正电荷从a移到b，静电力做功为零，由静电力做功特点可知，a、b两点电势相等，则ab是一条等势线，由于电场是匀强电场，电场线与等势线垂直，即电场强度方向与ab垂直，由计算可知，c点与等势线ab的电势差为100 V，由匀强电场的电场强度与电势差的公式，可得匀强电场的电场强度大小为E＝ V/m＝1 000 V/m，B错误；由于a点电势低于c点电势，沿电场线方向电势降低，可知电场线方向垂直于ab向下，C正确；正电荷由c点移到a点，是由高电势移到低电势，静电力做正功，电势能减小，D错误。故选C。
12．(12分)如图所示，在场强E＝6×103 V/m的匀强电场中有A、B、C三点，AB＝5 cm，BC＝12 cm，其中AB沿电场方向，BC与电场方向的夹角为60 。则：
(1)A、C两点的电势差UAC为多少？
(2)将电荷量q＝－4.0×10-8 C的点电荷从A点移到C点的过程中，静电力做功为多少？
(3)若取A点电势为零，则电子在B点的电势能为多少电子伏特？
答案：(1)660 V　(2)－2.64×10-5 J
(3)300 eV
解析：(1)根据题意，由几何关系可得，A、C两点沿电场线方向的距离为d＝AB＋BC cos 60 ＝11 cm
由公式U＝Ed可得，A、C两点的电势差为UAC＝6×103×11×10-2 V＝660 V。
(2)根据题意，由公式W＝qU可得，静电力做功为W＝－4.0×10-8×660 J＝－2.64×10-5 J。
(3)根据题意，由公式U＝Ed可得，A、B两点的电势差为UAB＝6×103×5×10-2 V＝300 V
若取A点电势为零，则B点的电势为φB＝－300 V
由公式Ep＝qφ可得，电子在B点的电势能为Ep＝300 eV。
13．(14分)(2026·陕西咸阳高二上学期期末)如图所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面。现将电荷量为1.6×10-8 C的正点电荷从A点移到B点，静电力做功为4.8×10-6 J，将另一电荷量为1.6×10-8 C的负点电荷从A点移到C点，克服静电力做功为4.8×10-6 J。若AB边长为2 cm，A点电势为0，求：
(1)A、B间的电势差UAB；
(2)B点电势；
(3)电场强度E的大小。
答案：(1)300 V　(2)－300 V　(3)1×104 V/m
解析：(1)A、B间的电势差
UAB＝ V＝300 V。
(2)A点电势为0，又UAB＝φA－φB
则φB＝－300 V。
(3)A、C间的电势差
UAC＝ V＝300 V
B、C间的电势差UBC＝0
则BC为等势线，电场强度的大小
E＝＝1×104 V/m。(共61张PPT)
3．电势差与电场强度的关系
　　　　
第十章　静电场中的能量
1．理解匀强电场中电势差和电场强度的关系U＝Ed或E＝，了解其适用条件。
2．会利用匀强电场中电势差和电场强度的关系定性分析和定量计算电场强度。
3．掌握利用等分法求解电势的思路和方法。
素养目标
知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
1
知识点二　利用E＝定性分析非匀强电场
2
知识点三　等分法确定等势面和电场线
3
内容索引
课时测评
4
知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
情境导入　如图甲所示，在电场强度为E的匀强电场
中，A、B是相距为d且沿电场方向上的两点，其电势
差为UAB，现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
(1)从力和位移的角度计算静电力所做的功；
提示：WAB＝Fd＝qEd。
(2)通过A、B间的电势差计算静电力所做的功；
提示：WAB＝qUAB。
(3)比较两次计算的功的大小并总结电势差与电场强度的关系；
提示：两次计算的功的大小相等，UAB＝Ed。
自主学习
(4)如果A、B两点不在同一条电场线上(如图乙)，上述结论还成立吗？请尝试进行论证。
提示：WAB＝Fl cos θ＝Fd＝qEd，WAB＝qUAB，UAB＝Ed，故仍成立。
基础梳理　
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)匀强电场中两点间的电势差等于_________与这两点_________________的乘积。
(2)公式：UAB＝_____。
电场强度
沿电场方向的距离
Ed
2．公式E＝的意义
(1)意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的_______与两点_______________________之比。
(2)电场强度的另一种表述：电场强度在数值上等于沿______方向__________上降低的电势。
(3)电场强度的另一个单位：由E＝可以得到电场强度的另一个单位，即________，符号为______。1 V/m＝1 N/C。
电势差
沿电场强度方向的距离
电场
单位距离
伏每米
V/m
师生互动　如图，图中虚线为等势面，B、C、D三点位
于同一等势面上。
任务1．比较A与B、A与C、A与D间电势差的大小。
提示：UAB＝UAC＝UAD。
任务2．电势沿AB、AC、AD三条线，哪一个方向降落最快？由此说明什么？
提示：AB方向；说明电场强度方向指向电势降落最快的方向。
课堂探究
探究归纳　
1．公式E＝的理解
(1)大小关系：由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势，电场强度是电势差对空间位置的变化率，电势随空间变化的快慢，反映了电场强度的大小。
(2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。
2．电场强度三个公式的对比
公式 物理含义 引入过程 适用范围
E＝ 电场强度的定义式 F∝q，E与F、q无关 适用于一切电场
E＝k 真空中点电荷电场强度的决定式 由E＝和库仑定律导出 在真空中，场源电荷Q是点电荷
E＝ 匀强电场中电场强度与电势差的关系式 由F＝qE、W＝Fd和W＝qU导出 匀强电场
如图所示，实线为一组方向未知的匀强电场的电场线，将电荷量为q＝－1.0×10-6 C的点电荷由A点沿水平线移至B点，克服静电力做了2×10-6 J的功，已知A、B间的距离为2 cm。则：
(1)A、B两点间的电势差为多少？
答案：2 V　
例1
由题意可知WAB＝－2×10-6 J
则UAB＝ V＝2 V。
(2)该匀强电场的电场强度大小E为多少？
答案：200 V/m
根据UAB＝Ed cos 60 可得
E＝ V/m＝200 V/m。
针对练1．如图所示，匀强电场电场强度大小E＝100 V/m，A、
B两点相距10 cm, A、B连线与电场线夹角为60 ，则UBA为
A．5 V B．5 V
C．－5 V D．－5 V
√
根据沿电场线方向电势降低，可知B点电势低于A点电势，则UBA为负值，根据匀强电场中电势差与电场强度的关系可得UBA＝－EdABcos 60 ＝－5 V。故选C。
针对练2．如图所示，三角形abc位于匀强电场中，ac沿电场线方向，ab垂直于bc，lab＝0.8 m，lbc＝0.6 m，a、b间电势差为64 V。下列说法正确的是
A．b、c间电势差Ubc＝60 V
B．a、c间电势差Uac＝－100 V
C．场强大小为100 V/m
D．场强在ab、bc方向的分量大小之比为3∶4
√
设ab与ac夹角为θ，则cos θ＝＝0.8，由
电场强度与电势差的关系可知Uab＝E cos θ·lab，
可得E＝＝100 V/m，故C正确；b、c间电
势差为Ubc＝E sin θ·lbc＝36 V，故A错误；a、c间电势差为Uac＝Elac＝E＝100 V，故B错误；电场强度在ab、bc方向的分量大小之比为，故D错误。故选C。
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知识点二　利用E＝定性分析非匀强电场
1．U＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。
2．在同一电场中，若相邻等势面间的电势差相等，则相邻等势面间的间距越小(等势面越密)，电场强度E＝ 越大。图甲中等差等势面越密的地方电场强度越大。图乙中a、b、c为某条电场线上的三个点，且ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，所以Uab＜Ubc。
(多选)如图为某一电场的电场线和等势面，虚线为等势面。已知φa＝5 V，φc＝3 V，ab＝bc，b点电势为φb，b、d在同一等势面上。以|Wac|表示点电荷q由a点移到c点过程中静电力做功的大小，|Wdc|表示点电荷q由d点移到c点过程中静电力做功的大小，则
A．φb>4 V B．φb<4 V
C．|Wac|＝2|Wdc| D．|Wac|>2|Wdc|
√
√
例2
由电场线的疏密程度可知，ab段上各点电场强度大于bc段上各点电场强度，由U＝Ed可定性判断出Uab>Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb<
，故C错误，D正确。故选BD。
针对练1．(多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN。P点在y轴右侧，MP⊥ON，则下列说法正确的是
A．M点的电势比P点的电势高
B．将负点电荷由O点移动到P点，静电力做正功
C．M、N两点间的电势差大于O、M两点间的电势差
D．M、N两点间的电势差小于O、M两点间的电势差
√
√
过P点做等势线，如图所示，可知过P点的等势线通过M、N之间，因沿着电场线方向电势逐渐降低，则有，A正确；将负点电荷由O点移到P点，静电力做负功，B错误；根据U＝Ed进行定性分析可知UMN针对练2．(多选)图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点。则该粒子
A．带负电
B．在c点受力最大
C．在b点的电势能大于在c点的电势能
D．由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
√
√
物体做曲线运动时，合力方向指向轨迹的凹侧，说明该
粒子带正电，A错误；由库仑定律F＝可知，离圆
心越远，粒子所受的力越小，B错误；粒子从b点到c点
过程中，静电力做正功，电势能减小，C正确；离点电
荷越近，电场强度越大，根据U＝Ed定性分析可知Uab>Ubc，又静电力做功W＝qU，则Wab>Wbc，由动能定理可得粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，D正确。故选CD。
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知识点三　等分法确定等势面和电场线
1．等分法：由于匀强电场中沿任意一条直线电势降落都是均匀的，如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的，像这样采用等分间距求电势的方法，叫作等分法。
2．两个重要结论
(1)匀强电场中任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。
(2)在匀强电场中，若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(即φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如图乙所示。
3．确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势面，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。
(2026·山西部分重点高中期中联考)如图所示的直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝ cm，∠A＝60 ，整个空间存在平行于梯形平面的匀强电场，A、B、D三点的电势分别为φA＝18 V、φB＝6 V、φD＝0。下列说法正确的是
A．电场方向由A指向D
B．C点的电势为－6 V
C．BC中点的电势为－6 V
D．电场强度的大小为400 V/m
√
例3
将线段AD三等分，等分点分别为F、G，如图所示，则
G点的电势与B点电势相等，都为6 V，连接B、G，则B、
G的连线所在直线为匀强电场的等势线，连接A、C，根
据几何关系可知，AC垂直于BG，故场强方向垂直于BG
(即平行于AC)指向C的方向，故A错误；因A与B、B与C沿场强方向的距离相等，故UAB＝UBC，即φA－φB＝φB－φC，所以φC＝2φB－φA＝ V＝－6 V，故B正确；设BC中点为H，则其电势为φH＝ V＝0，故C错误；电场强度的大小为E＝ V/m＝800 V/m，故D错误。故选B。
针对练1．(2026·吉林白城月考)如图所示，在匀强电场中有边长为10 cm的等边三角形ABC，已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为2 V、6 V和－2 V，则匀强电场的场强大小E为
A．20 V/m B．40 V/m
C．60 V/m D．80 V/m
√
设BC中点为D，则D点的电势为φD＝ V＝2 V，可知AD连线为等势线，则电场方向由B指向C，场强大小为E＝ V/m＝80 V/m。故选D。
针对练2．如图所示，在平面直角坐标系中，有一个方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，A点处的电势为6 V，B点处的电势为3 V，则电场强度的大小为
A．200 V/m
B．200 V/m
C．100 V/m
D．100 V/m
√
在匀强电场中，沿某一方向电势均匀变化或
不变，设OA中点为C，则φC＝＝3V，
因此B、C在同一等势面上，过O点作出电场
线如图所示，O点到BC的距离d＝OC sin α，
而sin α＝，所以d＝OC＝1.5×10-2 m，匀强电场的电场强度大小E＝ V/m＝200 V/m。故选A。
课堂回眸
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课时测评
1．(多选)下列说法正确的是
A．由公式E＝得，电场强度E与电势差U成正比，与两点间距离d成反比
B．由公式E＝得，在匀强电场中沿电场线方向上两点间距离越大，电场强度就越小
C．在匀强电场中，任意两点间电势差等于场强和这两点沿电场方向的距离的乘积
D．公式E＝只适用于匀强电场
√
√
基础排查
公式E＝只适用于匀强电场，D正确；电场强度E与U、d无关，只与电场本身有关，A、B错误；由匀强电场中电势差与电场强度的关系可知，C正确。故选CD。
2．空气中的负离子对人的健康极为有益，人工产生负离子的最常见方法是电晕放电法。如图所示，在一排针状负极和环形正极之间加上直流高压电源，电压达5 000 V左右，使空气发生电离，从而产生负氧离子(负氧离子为－1价离子)，使空气清新化。针状负极与环形正极间距为5 mm，且形成的电场视为匀强电场，电场强度为E，电场对负氧离子的作用力大小为F，元电荷取1.6×10-19 C，则
A．E＝103 V/m，F＝1.6×10-16 N
B．E＝106 V/m，F＝1.6×10-16 N
C．E＝103 V/m，F＝1.6×10-13 N
D．E＝106 V/m，F＝1.6×10-13 N
√
针状负极与环形正极间的电场视为匀强电场，
所以E＝ V/m＝106 V/m，负氧离子
受到的静电力大小为F＝qE＝1.6×10-19×106 N
＝1.6×10-13 N。故选D。
3．如图所示，A、B、C是匀强电场中一直角三角形的三个顶点，其中∠C＝30 ，AB方向与电场方向平行，AC边长0.8 m。已知A、C两点的电势φA＝9 V，φC＝3 V，下列说法正确的是
A．匀强电场的电场强度大小为7.5 V/m
B．匀强电场的电场强度大小为15 V/m
C．匀强电场的电场强度大小为5 V/m
D．B点和C点电势不相等
√
由题图可知，BC与电场线垂直，为等势面，则φB＝φC＝3 V，由题图可知dAB＝dACsin 30 ＝0.8× m＝0.4 m，则匀强电场的电场强度大小为E＝ V/m＝15 V/m。故选B。
4．如图所示，沿x轴正方向场强为E的匀强电场中，有一动点从A点开始以O为圆心、r＝OA为半径逆时针转动一周，O与圆周上的A点的连线OA与x轴正方向(E方向)成θ角，则此圆周上各点与A点间最大的电势差为
A．U＝Er
B．U＝Er(sin θ＋1)
C．U＝Er(cos θ＋1)
D．U＝2Er
√
由U＝Ed可知，此圆周上各点与A点间电势差最大的点应是沿场强方向与A点相距最远的点，则dmax＝r＋r cos θ，所以Umax＝Er(cos θ＋1)。故选C。
5．(2026·广东广雅中学月考)如图所示，a、b、c、d、e为匀强电场中的五个点，水平实线为电场线(方向未标出)，ab＝bc＝cd＝da＝4 cm，ad边平行于电场线，且∠abc＝60 ，e为ab的中点。已知a、b、c三点的电势分别为φa＝2 V、φb＝－2 V、φc＝6 V，则下列说法错误的是
A．e点电势φe＝0
B．匀强电场的场强方向水平向右
C．ab间的电势差Uab等于dc间的电势差Udc
D．匀强电场的场强大小为200 V/m
√
因为是匀强电场，且e为ab的中点，则有φa－φe
＝φe－φb，解得e点电势为φe＝0，故A正确；由
于φc>φb，可知匀强电场的场强方向水平向左，
大小为E＝＝200 V/m，故B错误，D正确；
因为是匀强电场，且ab与dc平行且相等，则有Uab＝Udc，故C正确。故选B。
6．(2026·陕西榆林五校期中联考)某一电场中的电场线和等势面分布如图所示，在电场中有A、B、C三点，A、B间距离等于B、C间距离。下列说法中正确的是
A．A点电场强度比B点电场强度小
B．A、B两点间的电势差绝对值大于B、C两点间的
电势差绝对值
C．正电荷在A点的电势能比在B点的电势能大
D．负电荷由B向C移动，静电力做负功
√
A点处电场线比B点处密，故A点场强更大，A错误；根
据U＝Ed，A、B两点间场强大于B、C两点间场强，故
A、B两点间电势差绝对值大于B、C两点间电势差绝对
值，B正确；A点电势低于B点，故正电荷在A点的电势
能小于在B点的电势能，C错误；负电荷由B到C，静电
力做正功，D错误。故选B。
7．如图所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势
A．一定等于6 V B．一定低于6 V
C．一定高于6 V D．无法确定
根据点电荷电场强度公式可知，AB段电场强度大于BC段电场强度，又AB＝BC，由公式U＝Ed可知UAB＞UBC，即φA－φB＞φB－φC，所以φB＜＝6 V。故选B。
√
8．(2026·辽宁省协作体期末)如图所示，直角三角形
ABC中∠A＝60 ，∠C＝90 ，BC＝2 cm，三角形ABC
所在平面内有一匀强电场，φA＝6 V，φB＝－2 V，φC
＝2 V，一电子从B点移动到C点，则下列说法正确的是
A．电子在C点的电势能大于在B点的电势能
B．该电场的电场强度大小为200 V/m，方向由A点指向BC边中点
C．该电场的电场强度大小为200 V/m，方向由A点指向C点
D．该电场的电场强度大小为400 V/m，方向沿∠A的角平分线
√
根据Ep＝qφ，可知电子在电势越大的位置，电势能越
小，因为φC>φB，则EpC中，AB中点D的电势为φD＝＝2 V，CD为一条等
势线，根据电场强度与等势线垂直且由高电势指向低
电势，所以从A点向CD作垂线即为场强方向，方向沿∠A的角平分线，如图所示，由几何关系可知，AC沿着场强的方向距离为dAC＝BC tan 30 cos 30 ＝1 cm，根据场强的计算公式可得E＝ V/m＝400 V/m，故B、C错误，D正确。故选D。
9．在xOy坐标平面内有方向平行于该平面的匀强电场，a、b、c、d四点坐标如图所示，已知a、b、c三点电势分别为4 V、2 V、0，下列说法正确的是
A．坐标原点O的电势为0
B．d点的电势为－2 V
C．匀强电场的电场强度大小为200 V/m
D．匀强电场的方向沿x轴正方向
√
根据φa－φO＝φb－φc，解得坐标原点O的电势为φO＝2 V，A错误；根据φa－φO＝φO－φd，可得d点的电势为φd＝0，B错误；由A项分析可知，y轴为等势线，匀强电场方向沿x轴负方向，则匀强电场的电场强度大小为E＝ V/m＝200 V/m，C正确，D错误。故选C。
10．(2026·四川眉山仁寿一中期末)如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，场强方向平行于正方形ABCD所在平面。已知A、B、C三点的电势分别为φA＝9 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，则
A．D点的电势φD＝3 V，场强方向平行于AB方向
B．D点的电势φD＝3 V，场强方向平行于AC方向
C．D点的电势φD＝3 V，场强方向平行于BC方向
D．把一个电子从C移到B，静电力做功为4 eV
√
综合应用
如图所示，连接AC，设AC的中点为E，则E点的电势为
φE＝ V＝3 V，连接BE，则BE为一条等势线，
D点在BE连线上，所以D点电势φD＝3 V，电场线垂直于
等势线，且由高电势指向低电势，故场强方向平行AC方
向，故A、C错误，B正确；把一个电子从C移到B，静电力做功W＝qUCB＝(－e)·(－6) V＝6 eV，故D错误。故选B。
11．如图所示，在匀强电场中，电场强度方向与△abc所在平面平行，ac⊥bc，ac＝0.2 m。一个电荷量q＝1×10-5 C的正电荷从a移到b，静电力做功为零；同样的电荷从a移到c，克服静电力做功为1×10-3 J。下列说法正确的是
A．a、c两点的电势差Uac＝100 V
B．该匀强电场的电场强度E＝500 V/m
C．该匀强电场的电场线方向垂直于ab向下
D．正电荷由c点移到a点的过程中，电势能增加
√
由静电力做功与电势差的关系，可得a、c两点的电势差为
Uac＝ V＝－100 V，A错误；由题意可知，将
正电荷从a移到b，静电力做功为零，由静电力做功特点可知，a、b两点电势相等，则ab是一条等势线，由于电场是匀强电场，电场线与等势线垂直，即电场强度方向与ab垂直，由计算可知，c点与等势线ab的电势差为100 V，由匀强电场的电场强度与电势差的公式，可得匀强电场的电场强度大小为E＝ V/m＝1 000 V/m，B错误；由于a点电势低于c点电势，沿电场线方向电势降低，可知电场线方向垂直于ab向下，C正确；正电荷由c点移到a点，是由高电势移到低电势，静电力做正功，电势能减小，D错误。故选C。
12．(12分)如图所示，在场强E＝6×103 V/m的匀强电场中有A、B、C三点，AB＝5 cm，BC＝12 cm，其中AB沿电场方向，BC与电场方向的夹角为60 。则：
(1)A、C两点的电势差UAC为多少？
答案：660 V　
根据题意，由几何关系可得，A、C两点沿电场线方向的距离为d＝AB＋BC cos 60 ＝11 cm
由公式U＝Ed可得，A、C两点的电势差为UAC＝6×103×11×10-2 V＝660 V。
(2)将电荷量q＝－4.0×10-8 C的点电荷从A点移到C点的过程中，静电力做功为多少？
答案：－2.64×10-5 J
根据题意，由公式W＝qU可得，静电力做功为W＝
－4.0×10-8×660 J＝－2.64×10-5 J。
(3)若取A点电势为零，则电子在B点的电势能为多少电子伏特？
答案： 300 eV
根据题意，由公式U＝Ed可得，A、B两点的电势差为UAB＝6×103×5×10-2 V＝300 V
若取A点电势为零，则B点的电势为φB＝－300 V
由公式Ep＝qφ可得，电子在B点的电势能为Ep＝300 eV。
13．(14分)(2026·陕西咸阳高二上学期期末)如图所示，A、B、C为一等边三角形的三个顶点，某匀强电场的电场线平行于该三角形平面。现将电荷量为1.6×10-8 C的正点电荷从A点移到B点，静电力做功为4.8×10-6 J，将另一电荷量为1.6×10-8 C的负点电荷从A点移到C点，克服静电力做功为4.8×10-6 J。若AB边长为2 cm，
A点电势为0，求：
(1)A、B间的电势差UAB；
答案：300 V　
A、B间的电势差UAB＝ V＝300 V。
(2)B点电势；
答案： －300 V　
A点电势为0，又UAB＝φA－φB
则φB＝－300 V。
(3)电场强度E的大小。
答案： 1×104 V/m
A、C间的电势差
UAC＝ V＝300 V
B、C间的电势差UBC＝0
则BC为等势线，电场强度的大小
E＝＝1×104 V/m。
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第十章　静电场中的能量

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