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习题课三　电场能的性质
素养 目标定位
目标素养
1.掌握带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析思路和方法
2.理解E-x、φ-x、Ep-x图像的意义,并会分析有关问题
3.会利用功能关系、能量守恒定律分析电场综合问题
课堂 要点解读
一 利用电场线与等势面分析带电粒子的运动轨迹
知识讲解
1.在电场中,电场线和等势面都是为了更好地描述电场而引入的,两者之间既有联系又有区别。
(1)电场线总与等势面垂直。电荷沿着电场线移动,静电力一定做功;电荷沿着等势面移动,静电力一定不做功。
(2)在同一电场中,等差等势面的疏密也反映电场的强弱,等差等势面密集处,电场线也密集,电场强;反之,电场线稀疏,电场弱。
(3)知道等势面,可画出电场线,知道电场线,也可画出等势面。
2.带电粒子在电场中的运动轨迹是由静电力和初速度共同决定的,可以根据轨迹分析受到的静电力方向,进一步研究加速度、动能、电势能的变化等。
典型例题
角度1　利用等势面分析带电粒子的运动轨迹
【例1】 如图所示,在点电荷Q形成的电场中,a、b两点在同一等势面上,c、d两点在另一等势面上,甲、乙两个带电粒子的运动轨迹分别为acb和adb曲线,已知乙粒子带正电。下列判断正确的是(　　)
A.甲粒子在b点的电势能比在c点小
B.乙粒子在d点速度最大
C.a、b两点电场强度相同
D.d点电势比b点电势高
答案:D
解析:根据乙粒子的运动轨迹及乙粒子带正电的条件可知,点电荷Q带正电,而甲粒子带负电,甲粒子从c向b运动过程中,静电力做负功,甲粒子的电势能增加,因此Epb>Epc,选项A错误。对于乙粒子,从d向b运动过程中,静电力对粒子做正功,粒子的电势能减少,则Epb角度2　利用电场线分析带电粒子的运动轨迹
【例2】 高压电场干燥中药技术基本原理如图所示,在一个很大的导体板MN上铺一薄层中药材,针状电极O和平板电极MN接高压直流电源,其间产生较强的电场。水分子是极性分子,可以看成棒状带电体,一端带正电,另一端带等量负电。水分子在静电力的作用下会加速从中药材中分离出去,被鼓风机吹出的水平微风裹挟着飞离电场区域。图中虚线ABCD是某一水分子从A处由静止开始运动的轨迹,不计阻力与水分子的重力。
下列说法正确的是(　　)
A.水分子的运动轨迹ABCD是一条抛物线
B.水分子运动过程中的加速度保持不变
C.水分子运动过程中轨迹上各点电势逐渐降低
D.水分子运动过程中的电势能不断减少
答案:D
解析:因为电场不是匀强电场,所以水分子受力方向一直在变,所以不是类平抛运动,轨迹不是抛物线,选项A错误。根据电场线疏密可以判断电场强度大小,所以D点电场线最密,电场强度最大,所以水分子运动过程中所受静电力越来越大,加速度越来越大,选项B错误。沿电场线方向电势越来越低,所以A点电势最低,沿着曲线ABCD方向电势越来越高,选项C错误。水分子从静止开始运动,静电力做正功,电势能减少,选项D正确。
二 静电场中常见的图像问题
知识讲解
1.v-t图像。
当带电粒子只受静电力时,从v-t图像上能确定粒子运动的加速度方向、大小变化情况,进而可判定粒子运动中经过的各点的电场强度方向、电场强度大小、电势高低及电势能的变化情况。
2.φ-x图像。
(1)电场强度的大小等于φ-x图线的斜率的绝对值,电场强度为零处,φ-x图线存在极值,其切线的斜率为零。
(2)在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小,并可根据电势大小关系确定电场强度的方向。
(3)在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化,可用WAB=qUAB,进而分析WAB的正负,然后作出判断。
3.Ep-x图像。
(1)根据电势能的变化可以判断静电力做功的正负,电势能减少,静电力做正功;电势能增加,静电力做负功。
(2)根据ΔEp=-W=-Fx,图像Ep-x斜率的绝对值表示静电力的大小。
4.E-x图像。
(1)E-x图像反映了电场强度随位移变化的规律,E>0表示电场强度沿x轴正方向;E<0表示电场强度沿x轴负方向。
(2)在给定了电场的E-x图像后,可以由图线确定电场强度的变化情况,电势的变化情况,E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差,两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中,可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。
(3)在这类题目中,还可以由E-x图像画出对应的电场,利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题。
典型例题
角度1　φ-x图像
【例3】 某电场中x轴上电势φ随x变化的图像如图所示,一个带电粒子仅受静电力作用在x=0处由静止释放,沿x轴正方向运动,且以一定的速度通过x=x2处,则下列说法正确的是(　　)
A.x1和x2处的电场强度均为零
B.x1和x2之间的电场强度方向不变
C.粒子从x=0到x=x2过程中,加速度先减小后增大
D.粒子从x=0到x=x2过程中,电势能先增大后减小
答案:C
解析:φ-x图像的切线斜率越大,则电场强度越大,x1和x2处的电场强度均不为零,选项A错误。由电势变化可知,x1和x2之间的电场强度方向先沿x轴负方向后沿x轴正方向,选项B错误。由图线的切线斜率可知,从x=0到x=x2过程中,电场强度先减小后增大,因此粒子的加速度先减小后增大,选项C正确。粒子在x=0处由静止沿x轴正方向运动,表明静电力先做正功后做负功,电势能先减小后增大,选项D错误。
角度2　E-x图像
【例4】 (多选)静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示,x轴正方向为电场强度正方向,带正电的点电荷沿x轴运动,则(　　)
A.x2和x4处电势相等
B.点电荷由x1运动到x3的过程中电势能增大
C.点电荷由x1运动到x4的过程中静电力先增大后减小
D.x1与x2间的电压大于x2与x3间的电压
答案:BC
解析:由题图可知,x1右侧电场强度为负值,方向向左,故x2位置的电势低于x4位置的电势,选项A错误。从x1移动到x3的过程静电力沿x轴负方向,静电力做负功,电势能增大,选项B正确。从x1到x4的过程电场强度先增大后减小,所以静电力先增大后减小,选项C正确。图线与x轴围成的“面积”表示电势差,则x1与x2间的电压小于x2与x3间的电压,选项D错误。
角度3　Ep-x图像
【例5】 两点电荷q1、q2分别固定在x轴上的O、C两点,规定无穷远处电势为零,一带正电的试探电荷在x轴上各点具有的电势能随x的变化关系如图所示。其中,试探电荷在B、D两点处的电势能均为零,在DJ段中H点处电势能最大,则(　　)
A.q1的电荷量小于q2的电荷量
B.G点处电场强度的方向沿x轴正方向
C.若将一带负电的试探电荷自G点释放,
仅在静电力作用下一定能到达D点
D.若将一带负电的试探电荷从D点沿直线移到J点,静电力先做正功后做负功
D
解析:由Ep=qφ知正电荷的电势能变化和电场的电势变化相同。由图知无穷远处的电势为零,B点的电势为零,由于沿着电场线电势降低,所以O点的电荷q1带正电,C点的电荷q2带负电,由于B点距离O比较远而距离C点比较近,所以q1的电荷量大于q2的电荷量,选项A错误。沿着电场线电势逐渐降低,可知G点的电场强度沿x轴负方向,选项B错误。带负电的试探电荷在G点受沿x轴正方向的静电力,故沿x轴正向加速运动,选项C错误。负电荷从D点到J点所受的静电力先沿x轴正向后沿x轴负向,故静电力先做正功后做负功,选项D正确。
成果验收站
1.(多选)如图所示,虚线同心圆是一簇某静电场中的等势面,其电势分别是φa、φb和φc,一带正电粒子射入电场中,运动轨迹如图中实线KLMN所示。由图可知(　　)
A.粒子从K到L的过程中,静电力做负功,
电势能增加
B.粒子从L到M的过程中,静电力做负功,
电势能增加
C.φa>φb>φc
D.φa<φb<φc
答案:AD
解析:带正电粒子受到的是斥力,所以是正电荷产生的电场,电势关系为φa<φb<φc,粒子从K到L的过程,静电力做负功,电势能增加,选项A、D正确,C错误。从L到M的过程中,静电力先做负功,后做正功,电势能先增加后减少,选项B错误。
2.两个等量异种电荷位于x轴上,相对原点对称分布,下列选项图中能正确描述电势φ随位置x变化规律的是(　　)
答案:A
解析:两个等量异种电荷的电场线如图所示,根据“沿电场线方向电势降低”的原理,从左侧无穷远处向右电势应升高,正电荷所在位置处最高,然后再慢慢降低,O点处电势为零,则O点右侧电势为负,同理到达负电荷时电势最小,经过负电荷后,电势开始升高,直到无穷远处,电势为零,选项B、C、D错误,A正确。
3.空间有一沿x轴对称分布的电场,其电场强度E随x变化的图像如图所示,x1和-x1为x轴上对称的两点。下列说法正确的是
(　　)
A.x1处电场强度大于-x1处电场强度
B.若电子从x1处由静止释放后向x轴
负方向运动,到达-x1处时速度为零
C.电子在x1处的电势能大于在-x1处的电势能
D.x1处的电势比-x1处的电势高
答案:B
解析:由题图可知x1处电场强度与-x1处电场强度大小相等,选项A错误。因图线与横轴所围面积表示电势差,设O点处电势为零,则由题图可知x1与-x1处电势相等,电势差为零,选项C、D错误。由动能定理有qU=ΔEk,选项B正确。
C
5.(2026·湖北卷)一带正电粒子仅受静电力作用,从静止开始沿直线运动,0~4t0时间内,其速度v随时间t的变化图像如图所示。t0时刻、1.5t0时刻、3.5t0时刻粒子所在位置分别为a点、b点、c点。下列说法正确的是(　　)
A.b点的电势比a点的电势高
B.b点的电场强度比a点的电场强度大
C.粒子在a、c两点的电势能相等
D.粒子在a、c两点受到的静电力大小相等
答案:C

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