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习题课四　电场中的功能关系、带电粒子
在重力场和电场中的运动
素养 目标定位
目标素养
1.理解电场中的功能关系,学会利用能量观点分析电场中带电粒子的运动问题
2.通过对带电粒子在电场和重力场中的运动的深入分析,理解分析带电粒子在电场和重力场中运动的方法,并能建立多种运动模型
3.学会分析带电粒子在交变电场中的直线运动
4.学会分析带电粒子在交变电场中的曲线运动
课堂 要点解读
一 静电场中的功能关系
知识讲解
功是能量转化的量度,每一种力做功必然伴随一种能量与其他能量的相互转化。
1.静电力做功实现了电势能与其他形式的能的相互转化,静电力做正功,电势能减少,电势能转化为其他形式的能;静电力做负功,电势能增加,其他形式的能转化为电势能,即W电=Ep电1-Ep电2=-ΔEp电。
2.重力做功实现了重力势能与其他形式的能的相互转化,重力做正功,重力势能减少,重力势能转化为其他形式的能;重力做负功,重力势能增加,其他形式的能转化为重力势能,即WG=EpG1-EpG2=-ΔEp。
3.合外力做功实现了动能与其他形式的能的相互转化,合外力做正功,动能增加,其他形式的能转化为动能;合外力做负功,动能减少,动能转化为其他形式的能,即W合=Ek2-Ek1=ΔEk(动能定理)。
4.弹簧弹力做功等于弹性势能的变化,弹力做正功,弹性势能减少,弹性势能转化为其他形式的能;弹力做负功,弹性势能增加,其他形式的能转化为弹性势能,即W弹=Ep1-Ep2=-ΔEp弹。
5.除重力(系统内弹力)以外的力做功实现了机械能与其他形式的能的相互转化,除重力(系统内弹力)以外的力做正功,机械能增加,其他形式的能转化为机械能;除重力(系统内弹力)以外的力做负功,机械能减少,机械能转化为其他形式的能,即W其他力=E机2-E机1=ΔE机。
6.只有静电力做功,电势能与动能相互转化,二者之和保持不变。只有重力和静电力做功,重力势能、电势能和动能相互转化,三者之和保持不变。
典型例题
【例1】 (多选)如图所示,绝缘的轻质弹簧竖直立于水平地面上,上面放一质量为m的带正电小球(小球与弹簧不拴接),整个系统处在方向竖直向上的匀强电场中。开始时,整个系统处于静止状态,现施加一外力F,将小球向下压至某一位置,然后撤去外力,使小球从静止开始向上运动。设小球从静止开始向上运动到离开弹簧的过程中,静电力对小球所做的功为W1,小球克服重力所做的功为W2,小球离开弹簧时的速度为v。
二 带电粒子在电场和重力场中运动
知识讲解
1.带电粒子在电场和重力场中的直线运动。
(1)做直线运动的条件。
①合外力为零,物体做匀速直线运动;
②合外力不为零,但合外力的方向与运动方向在同一直线上,物体做匀变速直线运动。
(2)处理带电粒子在电场和重力场中的直线运动的方法。
①动力学方法——牛顿运动定律、运动学公式。
②功、能量方法——动能定理、能量守恒定律。
2.处理带电粒子在电场和重力场中一般曲线运动的方法。
(1)明确研究对象并对其进行受力分析。
(2)利用运动的合成与分解把曲线运动转化为直线运动,然后利用牛顿运动定律、运动学公式进行处理。
(3)涉及功和能量的问题时常用能量守恒定律、功能关系等处理。
3.带电粒子在电场和重力场中的圆周运动。
(1)首先分析带电体的受力情况进而确定向心力的来源。
(2)用“等效法”的思想找出带电体在电场和重力场中的等效“最高点”和“最低点”。
②几何最高点(最低点)与物理最高点(最低点)。
ⅰ.几何最高点(最低点):是指图形中所画圆的最上(下)端,是符合人视觉习惯的最高点(最低点)。
ⅱ.物理最高点(最低点):是指“等效重力”F合的反向延长线过圆心且与圆轨道的交点,即物体在圆周运动过程中速度最小(大)的点。
③等效重力场相关概念的解释。
④举例。
典型例题
角度1　带电粒子在电场和重力场中的直线运动
【例2】 (多选)如图所示,平行板电容器的两个极板与水平地面成一角度,两极板与一直流电源相连。若一带电粒子恰能沿图中所示水平直线通过电容器,则在此过程中,该粒子(　　)
A.所受合力为零
B.做匀减速直线运动
C.电势能逐渐增加
D.机械能逐渐增加
答案:BC
解析:根据题意可知,粒子做直线运动,静电力垂直极板向上,重力竖直向下,不在同一直线上,所以重力与静电力不平衡,对粒子受力分析可知静电力与重力的合力与速度方向相反,粒子做匀减速直线运动,选项A错误,B正确。由图可知,静电力做负功,故电势能增加,机械能减少,选项C正确,D错误。
角度2　带电粒子在电场和重力场中的曲线运动
【例3】 (多选)如图所示,一带正电的油滴在匀强电场中运动,其轨迹在竖直面内,且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称,忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.Q点的电势比P点低
B.油滴在Q点的动能比它在P点的大
C.油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D.油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
答案:AB
解析:轨迹向上弯曲且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称,合力竖直向上,静电力竖直向上,因为油滴带正电,所以电场强度方向竖直向上,Q点的电势比P点低,选项A正确。油滴向上运动时合力做正功,动能增大,所以油滴在Q点的动能比它在P点的大,选项B正确。油滴向上运动时静电力做正功,电势能减小,所以油滴在Q点的电势能比它在P点的小,选项C错误。由于油滴受重力、静电力都为恒力,加速度恒定且不为零,选项D错误。
角度3　带电粒子在电场和重力场中的圆周运动
【例4】 (多选)如图所示,在竖直平面内有水平向左的匀强电场,在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线,细线一端固定在O点,另一端系一质量为m的带电小球,小球电荷量大小为q。小球静止时细线与竖直方向成θ角,此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内顺时针做圆周运动,重力加速度为g。
小球的机械能和电势能之和守恒,则小球运动至电势能最大的位置机械能最小,小球带负电,则小球运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小,选项C错误。小球从初始位置开始,在竖直平面内顺时针运动一周的过程中,静电力先做负功,后做正功,再做负功,则其电势能先增大后减小,再增大,选项D错误。
三 带电粒子在交变电场中的直线运动
知识讲解
1.电场强度的大小和方向随时间做周期性变化的电场叫作交变电场(常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等)。
2.此类问题中,带电粒子进入电场时初速度为零,或初速度方向与电场方向平行,带电粒子在交变电场静电力的作用下,做加速、减速交替的直线运动。
3.该问题通常用动力学知识分析求解。重点分析各段时间内的加速度、运动性质。
典型例题
【例5】 在如图所示的平行板电容器的两板间分别加如图甲、乙所示的两种电压,开始B板的电势比A板高。在静电力作用下原来静止在两板中间的电子开始运动。若两板间距足够大,且不计重力,试分析电子在两种交变电压作用下的运动情况,并定性画出相应的v-t图像。
答案:见解析
(a)
(b)
四 带电粒子在交变电场中的曲线运动
知识讲解
若带电粒子以一定的初速度垂直于电场方向进入交变电场,粒子将做曲线运动,应运用运动的独立性,分方向对粒子的运动进行分析。
(1)在初速度方向上,粒子做匀速直线运动。
(2)在垂直初速度方向上:
①若带电粒子的初速度很大,粒子通过交变电场时所用时间极短,粒子在该段时间内电场几乎不变,可认为粒子所受静电力为恒力。
②若带电粒子的初速度较小,粒子通过交变电场时所用时间较长,粒子将在此方向上做加速、减速交替的运动,可利用vy-t图像进行分析在此方向上的速度、位移。
典型例题
【例6】 (多选)如图甲所示,长为8d、间距为d的平行金属板水平放置,O点有一粒子源,O点到两极板的距离相同,能持续水平向右发射初速度为v0、电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子,在两板间存在如图乙所示的交变电场,取竖直向下为正方向,不计粒子重力。
甲
乙
成果验收站
1.(多选)质量为m的带电小球射入匀强电场后,以方向竖直向上、大小为2g的加速度向下运动。在小球下落h的过程中
(　　)
A.小球的重力势能减少了2mgh
B.小球的动能减少了2mgh
C.小球的机械能减少了2mgh
D.小球的电势能增加了3mgh
答案:BD
解析:小球下落h的过程中,重力做功mgh,根据功能关系,小球的重力势能减少了mgh,选项A错误。小球下落h的过程中,合外力做功-2mgh,根据功能关系,小球的动能减少了2mgh,选项B正确。由题可知,静电力大小为3mg,小球下落h的过程中,静电力做功-3mgh,根据功能关系,小球的机械能减少了3mgh,电势能增加了3mgh,选项C错误,D正确。
2.(多选)如图甲所示,A、B是一对平行的金属板,在两板间加上一周期为T的交变电压UBA,UBA随时间t的变化规律如图乙所示。现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域,设电子的初速度和重力可忽略。
甲
乙
解析:根据电子进入电场后的受力情况和运动情况,作出如图所示的图像。
(a)
(b)
(c)
(d)
4.如图所示,在竖直向上的匀强电场中,一根不可伸长的绝缘细绳的一端系着一个带电小球,另一端固定于O点,小球在竖直平面内做匀速圆周运动,最高点为a,最低点为b。不计空气阻力,则下列说法正确的是(　　)
A.小球带负电
B.静电力与重力平衡
C.小球在从a点运动到b点的过程中,电势能减少
D.小球在运动过程中机械能守恒
答案:B
解析:由于小球在竖直平面内做匀速圆周运动,所以重力与静电力的合力为0,即静电力与重力平衡,知静电力方向竖直向上,所以小球带正电,选项A错误,B正确。从a→b,静电力做负功,电势能增大,选项C错误。由于静电力对小球做功,故小球在运动过程中机械能不守恒,选项D错误。
5.如图所示,水平放置的平行板电容器的两极板M、N间距离L=15 cm,接上直流电源。上极板M的中央有一小孔A,在A的正上方h=20 cm处的B点,有一小油滴自由落下。已知小油滴的电荷量Q=-3.5×10-14 C,质量m=3.0×10-9 kg。当小油滴到达下极板时,速度恰好为零。(不计空气阻力,g取10 m/s2)
(1)求两极板间的电场强度大小E。
(2)求两极板间的电势差大小。
(3)设平行板电容器的电容C=4.0×10-12 F,
则该电容器带电荷量q是多少
答案:(1)2×106 V/m (2)3×105 V (3)1.2×10-6 C
6.如图所示,在O点固定放置一个正电荷。在过O点的竖直平面内的A点,自由释放一个带正电的小球,小球的质量为m=0.5 kg、电荷量为q。小球落下的轨迹如图中虚线所示,它与以O为圆心、R=3.6 m为半径的圆(图中实线表示)相交于B、C两点,O、C在同一水平线上,∠BOC=30°,A距离OC的竖直高度为h=6 m。若小球通过C点的速度为v=10 m/s,g取10 m/s2。
(1)求小球通过B点的速度大小。
(2)求小球由A到C损失的机械能。
答案:(1)8 m/s　(2)5 J

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