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广西桂林市全州县全州高级中学2026 2027学年高二上学期9月检测数学试题
一、单选题
1．复数（是虚数单位）的虚部是（ ）
A．2 B．-1 C．1 D．-2
2．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则且
5．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．若一个圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若等边的边长为，为边的中点，是边上的动点，则的最大值为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
二、多选题
9．在平面直角坐标系中，，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则与的夹角的余弦值为
10．如图，在棱长为1的正方体中，为上的动点，则（ ）
A．与是相交直线
B．与互相垂直
C．与所成的角为
D．三棱锥的体积为定值
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象的一条对称轴为直线
B．若，则的最小值是
C．在区间上单调递增
D．的图象可由函数的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移个单位长度得到
三、填空题
12．若向量与的夹角为，且，则__________.
13．记的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则边长______.
14．若，曲线与曲线相邻的四个交点构成一个菱形，则______.
四、解答题
15．已知，.
（1）分别求和的值；
（2）求的值.
16．在平面直角坐标系中，已知，，三个点分别为，，.
（1）求直线的方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程；
（3）求过点且与直线垂直的直线的方程.
17．圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.例如，在平面直角坐标系中，（表示以为圆心的圆）的圆心的坐标为，半径，根据两点间的距离公式有，两边平方得到的方程为.已知在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为5，的方程为.
（1）求的方程；
（2）求的圆心坐标和半径；
（3）判断与是否相交，若相交，请求出相交弦长.
18．记的内角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）已知.
（i）若的面积为，求的周长；
（ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围.
19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，，，.
（1）证明：；
（2）证明：平面；
（3）若，分别为，的中点，过三棱锥的外接球球心、、三个点的平面与直线交于点，求三棱锥的体积.
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】ACD
10．【答案】BCD
11．【答案】AC
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1），
（2）
16．【答案】（1）
（2）
（3）
17．【答案】（1）
（2）圆心坐标为，半径为5
（3）相交，
18．【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
19．【答案】（1）由，，得.
在菱形中，易知，又因为，所以，
因此为等边三角形，易得，则，.
因为，所以.
（2）由（1）知，即为直角三角形，因此.
，有，故.
又因为在菱形中，有，即，
且，，平面，所以平面.
（3）

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