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河南焦作市第一中学2026 2027学年高二上学期9月月考数学试卷
一、单选题
1．已知i是虚数单位，若实数，满足，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．设圆M的方程为，直线L的方程为，点P的坐标为，那么（ ）
A．点P在直线L上，但不在圆M上 B．点P在圆M上，但不在直线L上
C．点P既在圆M上，又在直线L上 D．点P既不在直线L上，也不在圆M上
3．如果方程所表示的曲线关于对称，则必有（）
A．D＝E B．D＝F C．F＝E D．D＝E＝F
4．若直线l沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后，回到原来位置，则直线l的斜率为
A． B．一 C． D．
5．已知两条直线：，：，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．与直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．设，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
9．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．设直线与，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，l、n间的距离为 D．坐标原点到直线n的距离的最大值为
11．如图，在棱长为1的正方体中，N，P分别是，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（ ）

A．四面体的外接球的表面积为
B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
C．过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积的取值范围为
D．点是四边形内的动点，且直线PH与直线AD的夹角为，则点的轨迹长度为
三、填空题
12．若向量，满足，，且与的夹角为，则_________．
13．已知圆，求圆关于直线的对称圆方程__________.
14．在平面直角坐标系中，如果与都是整数，则称点是整点.已知直线，下列命题中正确的是__________.（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②若和都是无理数，则直线不经过任何整点；
③存在只经过一个整点的直线；
④存在只经过两个不同整点的直线.
四、解答题
15．的三个顶点分别是、、．
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程；
（3）求的外接圆方程．
16．已知两直线，．
（1）求直线与的交点的坐标；
（2）求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
（3）若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围．
17．在中，，，所对的边分别为，，，且，．
（1）求证：为直角三角形；
（2）若点为的内切圆上的动点，求点到顶点，，的距离的平方和的最大值与最小值．
18．如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，.
（1）若过点，且为线段的中点，求直线的方程；
（2）若，求的面积取得最大值时直线的方程；
（3）设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标.
19．在平面上，给定非零向量．对任意向量，定义．
（1）若，，求；
（2）已知．若点在直线：上，设，按上述定义得到，记点坐标为．
（i）证明：点也在某一条直线上；
（ii）是否存在直线，使得对于上任意一点，经过上述定义变换后的点仍在上？若存在，求出所有这样的直线的方程；若不存在，说明理由．
参考答案
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】AD
10．【答案】ACD
11．【答案】ABD
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】①③
15．【答案】（1）
（2）
（3）
16．【答案】（1）
（2）或
（3）
17．【答案】（1）由正弦定理，结合已知条件，可得．
交叉相乘得，即．
因为，所以，故．
于是，即．
因此．
故为直角三角形．
（2）最大值为88，最小值为72．
18．【答案】（1）
（2）
（3）由题意，直线斜率不为，设的方程为.
令，得，即；
令，得，即
∴，
由得：，即，
∴的方程为，即，
∴直线恒过定点.
19．【答案】（1）
（2）（i）当时，，变换公式为，
即由上式解出：，．
代入直线方程，得．
若且，则，与、不全为零矛盾，
故上式是关于的一次方程，表示一条直线．所以点在某一条直线上．
（ii）存在，，（）．
设不动直线为：（，不全为零）．对上任意点，要求也在上：
，
即对上任意点成立，故该直线与表示同一直线．
若（不过原点）：两方程对应系数成比例，且常数项之比为，
故，，均等价于，即（）．
此时：，．
若（过原点）：直线为，变换后为．
两过原点直线表示同一直线，当且仅当对应系数成比例（看，的情形）：
．
若，即，则：，即上面的情形；
若，即（），则：．
当时：，变换后为，不是同一直线；
当时：，变换后为，也不是同一直线，均排除．
综上，满足条件的直线为，（）．
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