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河南省开封高级中学东校区2026 2027学年高二上学期9月开学调研考试数学试题
一、单选题
1．是或的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知是关于x的方程的一个根，则（ ）
A．2 B．0 C． D．
3．已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（ ）
A．，则
B．，则直线，直线
C．，则
D．，且不共线，则重合
4．某校在一次考试后，对两班的数学成绩进行分析.已知班有人，平均成绩为分，方差为；班有人，平均成绩为分，方差为.则两班全部名同学数学成绩的方差是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，（，），则的最小值（ ）
A．2 B．4 C． D．8
8．已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，，是空间中不共线的三点，对于平面外一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（ ）
A．若，则形状不唯一
B．是的充要条件
C．若，则为等腰直角三角形
D．若的面积为，则角C为
11．在棱长为1的正方体中，点P在正方形内部运动（不包含边界），满足，下列命题中正确的是（ ）
A．在点运动的过程中，三棱锥的体积有最大值为
B．在点运动的过程中，存在无数个点，使得平面截正方体的截面是等腰梯形
C．在点运动的过程中，不存在点，使得直线平面
D．取的中点，当点运动的过程中，一定有
三、填空题
12．已知在平面直角坐标系中，点，点在直线上．若向量在向量方向上的投影向量的模为，则点的坐标为_________．
13．复数满足，且，则_________．
14．享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点处（、、三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度为________．
四、解答题
15．为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加竞赛的学生中随机抽取120人，统计他们的成绩（满分100分），绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求平均数和第一四分位数；
（2）若在抽取的120名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于80分的学生中随机抽取9人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数.
16．已知两个向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，其中，求的最小值．
17．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：
（1）该应聘者用方案一考试通过的概率；
（2）该应聘者用方案二考试通过的概率．
18．如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，．
（1）若，，且，求；
（2）若，且，求的最大值．
19．如图，在三棱锥中，，，，点，分别是棱，上的动点（不含端点）．
（1）若平面．
（ⅰ）求的长度．
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
（2）若为的中点，且平面，求三棱锥的内切球的表面积．
参考答案
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】BCD
10．【答案】ABD
11．【答案】BCD
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）74，65
（2）6，3
16．【答案】（1）或
（2）
17．【答案】（1）
（2）
18．【答案】（1）；
（2）.
19．【答案】（1）①；②；
（2）.

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