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河南省周口市2026—2027学年高二上学期第二次月考（练
习卷）
数学试卷
考试时间：120 分钟满分：150分
考试范围
人教A版选择性必修第一册：第一章空间向量与立体几何；第二章直线和圆的方程；第三章圆锥曲线的方程。
重点考查：空间向量的坐标运算与数量积、利用空间向量求空间角与距离、直线方程与两直线位置关系、圆的方程与直线与圆的位置关系、椭圆/双曲线/抛物线的定义与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系（弦长与中点弦）。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，，则()
A.B.C. D.
2. 经过点和的直线的倾斜角为()
A.B.
C.D.
3. 已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，则
()
A.B. C.D.
4. 直线被圆截得的弦长为()
A.B. C.D.
5. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为()
A.B. C.D.
6. 在棱长为2正方体中，为的中点，则与平面
所成角的正弦值为()
A.B.
C.D.
7. 已知抛物线（）的焦点为，过的直线与抛物线交于，两
点。若，，则()
A.B. C.D.
8.已知圆，为直线上一点，过作圆的两条切线，（，为切点），则四边形面积的最小值为()
A.B. C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知空间向量，，，则下列说法正确的是()
A.
B.
C.向量在向量方向上的投影向量为
D. 若与共面，则
10.已知圆，直线，则下列结论正确的是()
A.圆的圆心坐标为
B. 直线恒过定点
C. 若直线与圆相交，则弦长的最小值为
D. 若直线与圆相切，则
11.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线与双曲线交于，两点。若为等边三角形，则下列说法正确的是()
A.
B. 双曲线的离心率为
C. 双曲线的渐近线方程为
D.若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，则。
13. 过点作圆的切线，则切线方程为。
14.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点。若
,为坐标原点，则的面积为。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13 分）已知圆经过三点，，。
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且，求实数的值。
16. （15 分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面,,,为的中点。
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值。
17. （15 分）已知椭圆（）的离心率为，且过点
。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，且，求实数的值。
18. （17 分）已知抛物线（）的焦点为，点（）在抛
物线上，且。
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线交于，两点，若，求直线
的方程及。
19. （17 分）已知椭圆（）的右焦点为，离心率为。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点。求证：
为定值，并求出该定值。
参考答案与提示
1. A。选A
2.D，倾斜角，，。本题应选D。
3. C由椭圆定义，。
4.D 圆心到直线距离，弦长。
5. A，。
6.B 建系，，。平面法向量，,,选C。
7.C 设直线倾斜角为，由抛物线焦点弦性质：，即，,。
8.B 圆心到直线距离，，，面积
9. ABA正确，；，B正确；C中投影向量
,C错误；D中，与共面即存在使
,D错误，答案AB。
10.ABA：配方得，圆心，正确；B：直线化为
,过定点，但到圆心距离，在圆内，B正确；C：当圆心与定点连线时弦长最小，圆心到定点距离，弦长最小值
,C中错误；D：相切时圆心到直线距离等于，，
,无解，D错误。答案AB。
11. ABC 过垂直于轴的直线与双曲线交于，，。为等边
三角形，则，且到的距离为。，,所在直线，到距离，故，。又，代入得，设，，,,（正值）。故，B正确。
,,,A正确。渐近线，C正确。
,,D中错误。最终答案ABC。
12.，。
13. 或点在圆外（）。当切线
斜率不存在时，，圆心到直线距离，等于半径，成立。设斜率：,,,,,切线。
14.，，。
。由可求直线斜率，得
,面积。
以下解答中，第16题第（1）问原题“AD⊥CE”不成立，已修正为“求证：AD⊥平面PAB”；
第19题第（2）问原题“1/|OA| +1/|OB| 为定值”不成立，已修正为“1/|FA|+1/|FB|为定值”。其余题目按原题解答。
---
第15题（13分）
解答
（1）设圆的一般方程为
.
代入，得。
代入，得，所以。
代入，得，所以。因此圆的方程为
(
.
).
配方得
.
.
所以圆心为，半径。
（2）圆心到直线的距离为
.
因为弦长，由垂径定理得
.
所以
.
即
解得
.
所以实数的值为。
第16题（15分）
解答
（1）因为平面，且平面，所以
.
又因为底面是矩形，所以
.
而，且平面，所以
.
（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系。
则各点坐标为
.
因为为的中点，所以
.
平面的一个法向量为
.
设平面的法向量为。
.
由，得
.
由，得
.
取，则，，所以
.
设平面与平面的夹角为，则
所以平面与平面夹角的余弦值为
.
第17题（15分）
解答
（1）椭圆离心率
.
又，所以
.
椭圆方程可写为
.
代入点，得
.
于是。椭圆的标准方程为
.
（2）将代入，得
.
整理得
.
(
,则
)设，
.
判别式
.
因为直线与椭圆有两个交点，所以，即。
弦长
.
由题意，所以
.
两边约去，得
.
平方得
.
此时，满足。所以实数的值为
.
第18题（17分）
解答
（1）抛物线的准线为，焦点为。
点在抛物线上，所以
.
由抛物线定义等于点到准线的距离，即
.
已知，所以
.
因此抛物线的方程为
.
（2）由（1）知。设直线的方程为
.
代入，得
.
(
,则
)设，
.
(
又，。
)
向量
.
所以
.
代入，得
.
已知，所以
.
因此直线的方程为
,
即
.
弦长
.
代入，得
.
所以
.
第19题（17分）
解答
（1）右焦点，所以。离心率
.
.
椭圆的标准方程为
.
（2）设直线的方程为
.
代入椭圆方程，得
.
展开整理：
.
(
,则
)设，
.
因为，且，所以
.
同理
.
由于，所以与异号，于是
.
且
.
代入得
.
于是
.
代入上面结果：
.
当直线斜率不存在，即时，，，
.
因此无论直线如何变化，恒有
.
即为定值，定值为。

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