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湖北武汉市第六中学2026 2027学年高二上学期九月月考数学试卷
一、单选题
1．某同学记录了我市2026年8月中旬连续6天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：31，29，32，35，35，34，则这6个数据的中位数为（）
A．31 B．32 C．33 D．34
2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　）
A．10 B．12 C．13 D．14
3．在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为（）
A．0.19738 B．0.00018 C．0.01092 D．0.09828
5．已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A．与为相互独立事件 B．与为互斥事件
C．与为相互独立事件 D．与为对立事件
7．柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的众数为9 B．这组数据的极差是4
C．这组数据的平均数是 D．这组数据的标准差是
10．下列说法正确的有（ ）
A．若事件A与事件B相互独立，，，则
B．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为8
C．一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥
D．1，2，3，，2024，2025，2026这2026个数的上四分位数是507
11．在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（ ）
A． B．
C．当时，平面 D．当平面时，
三、填空题
12．甲 乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲 乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为___________.
13．已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在软件的控制台，输入“sample（0:999，20，）”，按回车键，得到范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_______．
> sample（0:999， 20， ） [1] 848 633 761 728 309 16 807 55 606 543 [11] 247 23 538 440 898 557 140 213 458 62
14．四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，若平面，则的值为________．
四、解答题
15．校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人.
（1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率；
（2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响.求：
①甲、乙两人全部发球成功的概率；
②甲、乙至少有一人发球成功的概率.
16．如图，在正三棱柱中，为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的大小．
17．某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立.
（1）若，且甲按题题题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率.
（2）若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？
（3）若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围.
18．高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组:，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
（1）若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理 并且估计本次竞赛的平均分;
（2）已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差;
（3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率.
19．正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接．
（1）求证：：
（2）当时，求二面角的正弦值；
（3）设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】ABD
10．【答案】AC
11．【答案】BC
12．【答案】0.94
13．【答案】/
14．【答案】
15．【答案】（1）设3名男队员为，2名女队员为，
所有等可能的基本事件分别为：，
抽取到的2人全是男队员的概率为；
（2）①；②.
16．【答案】（1）见详解；
（2）.
17．【答案】（1）
（2）要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题.
（3）
18．【答案】（1）合理分数为分；平均分为70.2分
（2）总平均数是62，总方差是26．
（3）
19．【答案】（1）
由于平面，
故平面，
又平面，
所以
（2）
（3）
设点到平面的距离为，
由于，所以，，
则，
因此，
所以，
，
由等体积法可得,所以，
由于直线PM与平面AMN所成角为，则，
，令，则，
故，当且仅当时取等号，此时，
这与矛盾，故不存在，使得能取得最大值，

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