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湖北武汉市第十二中学2026-2027学年高二上学期9月数学独立作业
一、单选题
1、某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是（）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
2、在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）
A． B．
C． D．
3、事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（）．
A． B． C． D．
4、若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5、在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
6、已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（）
A． B． C． D．
7、某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
8、设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则
A． B． C． D．
二、多选题
9、有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
10、在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（）
A．当点为棱的中点时，
B．当时，四点共面
C．当时，
D．当时，面积的最小值为
11、如图，在正四棱锥中，，点F是的中点，点E为线段上一点（包含边界），则下列结论中正确的是（）
A．四面体的体积是定值
B．若E是的中点，且平面，则
C．若，则正四棱锥内切球与外接球的体积之比为
D．若，且，则四面体的外接球的表面积为
三、填空题
12、我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
13、已知是的重心，是平面ABC外的一点，若，则______.
14、为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线与成角时，与成角；
②当直线与成角时，与成角；
③直线与所成角的最小值为；
④直线与所成角的最大值为.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
四、解答题
15、据网络平台最新数据，截止到2025年6月5日15时，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)已知落在的平均年龄是27岁，方差是7，落在的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数和方差；
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，．记两组数据总的样本平均数为，则总的样本方差．
16、如图，在平行六面体中，，，，．
(1)以为基底向量，表示向量，；
(2)求证：；
(3)求的长．
17、如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离．
18、甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
19、如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
试卷答案/解析
一、单选题
1、【答案】C
2、【答案】B
3、【答案】C
4、【答案】C
5、【答案】A
6、【答案】D
7、【答案】D
8、【答案】B
二、多选题
9、【答案】BD
10、【答案】BCD
11、【答案】ABD
三、填空题
12、【答案】0．98.
13、【答案】3
14、【答案】
四、解答题
15、【答案】(1)众数为，平均数为，中位数为；
(2)平均数，方差.
16、【答案】(1)，
(2)因为，，，，
所以，，
由（1）得
，
所以，即；
(3)
17、【答案】(1)由题意证明如下：
如图，作出符合题意的图形，连接，
在中，，分别为，中点，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
(2)距离为1.
18、【答案】（1）；（2）；（3）.
19、【答案】(1)
连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
(2)
法一：由（1）可知，则，得，
因此，则，有，
又，平面，
则有平面，又平面，所以平面平面.
法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在中，，
在中，，
设，所以由可得：，
可得：，所以，
则，所以，，
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，所以，
，
所以平面平面BEF；
(3).

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