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江苏省南京市第二十九中学2026 2027学年第一学期高二年级质量检测数学试卷
一、单选题
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．为实数，则实数为（ ）
A．1 B． C． D．0
3．现有样本数据：15，9，11，20，13，5，22，25，则这组数据的75%分位数为（ ）
A．5 B．13.5 C．21 D．22
4．已知p：m=-2； q直线l1：2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2：(m-3)x+2y-5=0垂直, 则p是q成立的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5．已知实数满足方程，求的最大值和最小值（ ）
A． B． C． D．
6．已知，直线上存在点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知曲线的两个焦点分别为，点为曲线上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．当时，曲线的长轴长为4
B．当时，若曲线的渐近线为，则曲线的焦距为
C．当时，使为直角三角形的点有6个
D．当时，若，则
10．下列结论正确的是（ ）
A．若直线与圆相交，则点在圆的外部
B．直线被圆所截得的最短弦长为
C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有
D．若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为
11．如图，圆锥内有一个内切球，球与母线分别切于点，若是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（ ）

A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为
B．平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线
C．四面体的体积的取值范围是
D．若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为
三、填空题
12．已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________．
13．如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，两点不重合）．若，，则的最小值为________．

14．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆外轴上一点，线段与交于点，，内切圆的半径为，则椭圆的离心率为______.
四、解答题
15．已知圆C与直线相切于点，且圆心C在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线过点且被圆C所截得的弦长为8，求直线的方程.
16．在中，内角的对边分别为，且．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的值．
17．已知抛物线的焦点是，点在上，以为圆心、为半径的圆交轴于两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点为抛物线上一点，为坐标原点，平面上一动点满足，求直线斜率的取值范围．
18．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为的中点．
（1）求证：．
（2）若，，，且与平面所成角为．
①当时，求三棱锥的体积；
②当取最大值时，求二面角的正弦值．
19．已知椭圆：的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆上不同的两点，
（ⅰ）若，关于直线对称，求实数的取值范围；
（ⅱ）若，关于轴对称，直线和交于点．过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】BCD
10．【答案】ABD
11．【答案】ABD
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）
（2）或.
16．【答案】（1）
（2）8
17．【答案】（1）
（2）
18．【答案】（1）已知平面，且平面，因此；
已知平面平面，且平面平面，在平面内作于，
根据面面垂直的性质定理，可得平面，结合平面，
可得；
由于，且平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面；
又因为平面，因此．
（2）①②
19．【答案】（1）
（2）（i）；（ⅱ）在轴上存在点，使得.

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