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2026—2027年上学期高二10月份月考练习卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.)
1．已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（ ）
A．0 B． C． D．
2．点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．若向量，，共面，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若、，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
5．已知球内部有一个正四棱锥，且顶点都位于球面上，，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线l的方程为，则到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则下列说法不正确的是（ ）
A．若在线段上，则的最小值为
B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆
D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为
8．已知正方体的棱长为1，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分.)
9．对于复数，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（ ）
A．若是棱的中点，则平面
B．点到直线的距离的最小值为
C．棱上存在点，使得
D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为
11．在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，直线与平面所成角的最大值为
C．当时，线段长度的范围是
D．当时，不存在点使得直线与直线所成的角为
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12．复数的模为________．
13．如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时，__________.

14．现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________.
四、解答题(本题共5小题，共77分.)
15．已知复数满足：
(1)求复数；
(2)求的值．
16．已知长方体中，其外接球的表面积为，用平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体.
(1)求的长；
(2)求几何体的体积；
(3)求几何体的表面积.
17．如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为的中点．
(1)求证：．
(2)若，，，且与平面所成角为．
①当时，求三棱锥的体积；
②当取最大值时，求二面角的正弦值．
19．如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面底面，分别为棱上的点，且，.

(1)若，证明：.
(2)在（1）的条件下，若，且是边长为的等边三角形，求二面角的正切值.
(3)在棱上是否存在一点，使得平面 若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B D B D C B ACD ACD
题号 11
答案 AC
12．3
13．
14．/
15．(1)
(2)
16．(1)
(2)160
(3)
17．(1)由题意知：，，平面，
∴平面，
又∵平面，所以．
又点C为的中点，所以，
又，平面，
所以平面，
又∵平面，所以．
(2)
18．(1)已知平面，且平面，因此；
已知平面平面，且平面平面，在平面内作于，
根据面面垂直的性质定理，可得平面，结合平面，
可得；
由于，且平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面；
又因为平面，因此．
(2)①②
19．(1)如图，过点作，交于点，则与相交，设，
因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，又，，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
(2)
(3)存在，

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