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浙江省杭州学军中学2026 2027学年第一学期高二开学考试适应性数学试卷
一、单选题
1．在空间直角坐标系，点关于平面的对称点是（ ）
A． B． C． D．
2．已知一组数据，，…，的平均数为2，方差为1，则数据 ， ，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．1，4 B．2，1 C．1，1 D．2，4
3．“点在函数图象上”是“点在函数图象上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．无解
5．下列有关事件与概率的说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则A与B不独立
C．若A与B对立，则与互斥
D．若，则A与B对立
6．已知函数的图象向左平移（ ）个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．春节期间，佳怡准备去探望奶奶，她到商店买了一盒点心.为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎（如图（2）所示）包装更节省彩绳.点心盒是长宽高分别为20cm，20cm，10cm的长方体，如果不考虑花结用绳，如图所示的捆扎方式，需要最短的用绳长度是（单位：cm）（ ）

A．120 B．100 C． D．
8．已知实数满足，则（ ）
A． B．
C．的最大值为2 D．
二、多选题
9．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的最大值为
C．存在，使得
D．存在，使得在上的投影向量为
10．关于复数，下列说法正确的是（ ）
A．是实数 B．z的共轭复数对应的点与z关于实轴对称
C．若复数z满足，则 D．若，则
11．已知边长为的个全等的菱形如图所示进行排列（其中，当时，与重合），其中，下面说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为________．
13．已知函数，若函数恰有1个零点，则实数的取值范围为__________.
14．四面体满足，，，，设、、的中点分别为、、，则点到直线的距离为_______.
四、解答题
15．已知平面向量，，且．
（1）求在上的投影向量的坐标；
（2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
16．一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间分成5组，得到图所示的频率分布直方图．

（1）求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果
（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.
17．在中，，，．
（1）求角A的大小；
（2）求；
（3）若线段AB上点D满足，求CD的长．
18．如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角；
（3）若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置.
19．已知函数，（）．
（1）若，求函数的值域；
（2）若方程有两个不同的根，．
（i）若，求实数的取值范围；
（ii）证明：．
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】ABD
10．【答案】ABD
11．【答案】ACD
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）
（2）
16．【答案】（1）kg
（2）
（3）
17．【答案】（1）
（2）
（3）
18．【答案】（1）证明：延长，交于点，延长，交于点，连接，
平面，平面，，，
，即是线段上靠近的三等分点，
平面，平面，，，
，即是线段上靠近的三等分点，
为中点，是线段上靠近的三等分点，
，，，
平面，平面，平面；
（2）
（3）外接球半径的最小值为；为线段上靠近的三等分点
19．【答案】（1）
（2）（i）
（ii）记，则，
，
令，，即，
又，则，
，由于，则．
可得①，②
①式中，，即，
化简可得：，即．
②式中，，即，
化简可得：，即．
因此．

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