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九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 单元测试题 华东师大版
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）把方程x（x+2）＝5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）
A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2
2．（3分）一元二次方程x2﹣x+2＝0的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
3．（3分）若方程x2﹣4x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x1x2的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
4．（3分）下列是一元二次方程的是（　　）
A．x2+x＝2y B．2x2＝1
C．ax2+bx+c＝0 D．x2+x+1
5．（3分）若x＝1是方程x2﹣x﹣a＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．0
6．（3分）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　）
A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮
7．（3分）一元二次方程x2＝x的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝x2＝1
8．（3分）若关于x的方程（x﹣m）2＝n有实数根，则n的取值范围是（　　）
A．n≥0 B．n＞0 C．n≤0 D．n＜0
9．（3分）是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0
C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0
10．（3分）已知两个多项式A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x，下列结论正确的有（　　）个．
①若关于x的代数式mA+B不含一次项，则；
②若A﹣B＝﹣10，则3x2﹣3x﹣1＝2；
③若|4A+6B|＝5，则或；
④若关于x的方程2A+3B＝ax+15的解为负整数，则符合条件的非负整数a有1个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）已知方程（m+1）x|m|+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 _____ ．
12．（3分）若x＝4是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则m的值是_______ ．
13．（3分）定义新运算，对于任意实数m、n满足mΔn＝m（m﹣n）+2n．若xΔ4＝8，当x＞0时，则x的值是_____ ．
14．（3分）定义一种运算：a b＝a2﹣ab，例如：1 2＝12﹣1×2＝﹣1．若m 3的值为5，则﹣2m2+6m的值为________ ．
15．（3分）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cdx﹣p2＝x的解为 ________ ．
16．（3分）关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为___________________ ．
17．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的两个实数根，则﹣x1+x2的值是_________ ．
18．（3分）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a、b、m均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣2）2+b＝0的解是 ______________ ．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣6x+6＝0；
（2）x2＝﹣4x．
20．（8分）已知：当x＝2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4．当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？
21．（8分）解方程：请从﹣3，﹣1，1中任选一个数作为m的值，解关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k﹣2＝0．求证：方程总有两个不相等的实数根．
23．（10分）已知关于x的方程x2﹣kx+k+1＝0有两个不相等的实数根α，β．
（1）直接写出实数k的取值范围；
（2）若β2﹣2α＝k，求k的值及两实根α，β的值．
24．（10分）根据下表，回答问题：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
x+2 … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
﹣2x﹣1 … 5 a 1 ﹣1 ﹣3 ﹣5 ﹣7 …
x2 … 9 4 1 0 1 b 9 …
（1）a＝_____ ，b＝_____ ；
（2）①若x+2＝x2，则x＝_________ ；
②代数式x+2的值随着x的变化规律是：x的值每增加1，x+2的值就随之增加1，类似地，﹣2x+1的值随着x的变化规律是____________________ ；
（3）当x的值从a增加到a+1时，猜想关于x的代数式kx﹣1（k为一次项的系数，且k≠0）的值会怎样变化，并通过计算加以说明．
25．（12分）关于x的方程x（x+m）＝n（其中x是未知数，m，n是已知数）可以用几何法来求它的正数解．下面以求解方程 x（x+2）＝3的正数解为示例，具体说明该方法：
第一步：如图1，把x和（x+2）看成一个长方形的宽和长；
第二步：如图2，把4个这样的长方形拼成一个“空心”大正方形（4个长方形彼此衔接不重叠），观察可知图中小正方形的边长为（x+2）﹣x＝2，则这个大正方形的面积为3×4+22＝16，所以大正方形的边长为4；
第三步：观察图2中大正方形的边长，可得方程x+（x+2）＝4，解得x＝1，即方程x（x+2）＝3的正数解为x＝1．
（1）示例中的长方形（即图1）的面积为_____ ；
（2）请仿照示例的方法，画图求方程2x（x+3）＝20的正数解（要求写出推理过程）；
（3）羊羊同学仿照此方法求关于x的方程（x﹣2）（x+m）＝3m的正数解时，构造出如图3所示图形，得到该方程的正数解为x＝3，求图3中的小正方形ABCD的面积．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：由方程x（x+2）＝5（x﹣2），得
x2﹣3x+10＝0，
∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；
故选：A．
2．解：因为一元二次方程为x2﹣x+2＝0，
则Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，
所以该方程没有实数根．
故选：A．
3．解：由根与系数的关系得：
x1x2＝＝﹣2．
故选：A．
4．解：选项A中含x，y两个未知数，不符合题意．
选项B中只含x一个未知数，x的最高次数为2，是整式方程，符合题意．
选项C中未说明a≠0，当a＝0时不是二次方程，不符合题意．
选项D中不是等式，不属于方程，不符合题意．
故选：B．
5．解：∵x＝1是方程x2﹣x﹣a＝0的一个根，
∴1﹣1﹣a＝0，
∴a＝0，
故选：D．
6．解：2x2﹣20x+25＝0，
方程左右两边同时除以2可得：，故小明正确；
由等式的性质可得，故小丽正确；
所以，
（x﹣5）2＝﹣+25，
，
故小红负责的式子出现错误；
故选：C．
7．解：∵x2＝x，
∴x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
∴x1＝0，x2＝1．
故选：C．
8．解：由题知，
因为关于x的方程（x﹣m）2＝n有实数根，
所以n≥0，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
9．解：A．方程2x2+3x+1＝0的解为：，故符合题意；
B．方程2x2﹣3x+1＝0的解为：，故不符合题意；
C．方程2x2+3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意；
D．方程2x2﹣3x﹣1＝0的解为：，故不符合题意．
故选：A．
10．解：①∵A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x，
∴mA+B
＝m（﹣3x2+2x﹣5）+2x2﹣3x
＝﹣3mx2+2mx﹣5m+2x2﹣3x
＝2x2﹣3mx2+2mx﹣3x﹣5m
＝（2﹣3m）x2+（2m﹣3）x﹣5m，
∵关于x的代数式mA+B不含一次项，
∴2m﹣3＝0，
2m＝3，
，
∴①的结论错误；
②∵A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x，A﹣B＝﹣10，
∴（﹣3x2+2x﹣5）﹣（2x2﹣3x）＝﹣10，
﹣3x2+2x﹣5﹣2x2+3x+10＝0，
﹣3x2﹣2x2+2x+3x+10﹣5＝0，
﹣5x2+5x+5＝0，
x2﹣x﹣1＝0，
x2﹣x＝1，
∴3x2﹣3x﹣1
＝3（x2﹣x）﹣1
＝3×1﹣1
＝3﹣1
＝2，
∴②的结论正确；
③∵A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x，
∴4A+6B
＝4（﹣3x2+2x﹣5）+6（2x2﹣3x）
＝﹣12x2+8x﹣20+12x2﹣18x
＝12x2﹣12x2+8x﹣18x﹣20
＝﹣10x﹣20，
∵|4A+6B|＝5，
∴|﹣10x﹣20|＝5，
﹣10x﹣20＝±5，
解得：x＝﹣2.5或﹣1.5，
∴③的结论正确；
④∵A＝﹣3x2+2x﹣5，B＝2x2﹣3x，
∴2A+3B
＝2（﹣3x2+2x﹣5）+3（2x2﹣3x）
＝﹣6x2+4x﹣10+6x2﹣9x
＝6x2﹣6x2+4x﹣9x﹣10
＝﹣5x﹣10，
∵2A+3B＝ax+15，
∴﹣5x﹣10＝ax+15，
ax+5x＝﹣25，
（a+5）x＝﹣25，
，
∵x的方程2A+3B＝ax+15的解为负整数，
∴a+5＝1或5或25，
解得：a＝﹣4或0或20，
∴符合条件的非负整数a有2个，
故④的结论错误，
综上可知：正确的是②③，共2个，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．解：∵方程（m+1）x|m|+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|+1＝2且m+1≠0，
解得：m＝1．
故答案为：1．
12．解：∵x＝4是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根，
∴42﹣3×4+m＝0，
解得m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
13．解：∵xΔ4＝8，
∴x（x﹣4）+2×4＝8，
x（x﹣4）＝0，
∵x＞0，
∴x﹣4＝0，
解得：x＝4．
故答案为：4．
14．解：由题意得m2﹣3m＝5，
∴﹣2m2+6m＝﹣2（m2﹣3m）＝﹣2×5＝﹣10．
故答案为：﹣10．
15．解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，p的绝对值等于2，
∴a+b＝0，cd＝1，p＝±2，
∴p2＝（±2）2＝4，
将其代入关于x的方程（a+b）x2+3cdx﹣p2＝x中，
可得：3x﹣4＝x，
解得：x＝2．
故答案为：x＝2．
16．解：∵关于x的一元二次方程2x2+x﹣k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0．
∵a＝2，b＝1，c＝﹣k，
∴12﹣4×2×（﹣k）＝0，即1+8k＝0．
解得．
故答案为：﹣．
17．解：∵x1是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的根，
∴﹣2x1﹣2026＝0，
∴﹣2x1＝2026，
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2026＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，
∴原式＝（﹣2x1）+（x1+x2）＝2026+2＝2028．
故答案为：2028．
18．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m﹣2）2+b＝0变形为a[（x﹣2）+m]2+b＝0，即此方程中x﹣2＝2或x﹣2＝﹣1，
解得x＝4或x＝1．
故答案为：x1＝4，x2＝1．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．解：（1）x2﹣6x+6＝0，
移项，得x2﹣6x＝﹣6．
配方，得x2﹣6x+9＝﹣6+9．
即（x﹣3）2＝3．
两边开方，得．
∴，．
（2）x2＝﹣4x，
移项，得x2+4x＝0．
提公因式，得x（x+4）＝0．
∴x＝0或x+4＝0．
解得x1＝0，x2＝﹣4．
（1），；
（2）x1＝0，x2＝﹣4．
20．解：由题意得4﹣4m+4＝﹣4，即3﹣m＝0，
解得m＝3；（2分）
∴x2﹣6x+4＝﹣1，
∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，
得x1＝1，x2＝5．（4分）
21．解：当m＝﹣3时，方程化为x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x1＝3，x2＝﹣1；
当m＝﹣1时，方程化为x2﹣2x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8，
∴x＝＝1±，
∴，；
当m＝1时，方程为x2﹣2x+1＝0，
（x﹣1）2＝0，
x﹣1＝0，
所以x1＝x2＝1．
22．证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k+8
＝9＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
23．解：（1）由条件可知Δ＝（﹣k）2﹣4×1×（k+1）＞0，
k2﹣4k﹣4＞0，
（k﹣2）2﹣8＞0，
，
∴或，
解得：或．
（2）由条件可知α+β＝k，αβ＝k+1，
∵β2﹣2α＝k，且k＝α+β，
∴β2﹣2α＝α+β，
∴β2﹣β＝3α，即，
∵αβ＝α+β+1，
∴将代入得：
，
展开并移项整理得：
β3﹣2β2﹣2β﹣3＝0，
β3﹣3β2+β2﹣3β+β﹣3＝0，
β2（β﹣3）+β（β﹣3）+（β﹣3）＝0，
（β﹣3）（β2+β+1）＝0，
∵恒成立，
∴β﹣3＝0，即β＝3，
将β＝3代入得：
，
∴k＝α+β＝2+3＝5，
∵，满足k的取值范围，
∴k＝5符合题意．
答：k的值为5，α的值为2，β的值为3．
24．解：（1）当x＝﹣2时，a＝﹣2×（﹣2）﹣1＝3；
当x＝2时，b＝22＝4．
故答案为：3；4．
（2）①由表格知，x＝﹣1或2时，x+2＝x2．
故答案为：﹣1或2．
②x每增加1，﹣2x+1的变化量为[﹣2（x+1）+1]﹣（﹣2x+1）＝﹣2，
即﹣2x+1的值随着x的变化规律是：x的值每增加1，﹣2x+1的值就随之减少2．
故答案为：x的值每增加1，﹣2x+1的值就随之减少2．
（3）当x＝a时，代数式的值为ka﹣1；
当x＝a+1时，代数式的值为k（a+1）﹣1，差值为[k（a+1）﹣1]﹣（ka﹣1）＝k，
故当k＜0时，值减少|k|，当k＞0时，值增加k．
25．解：（1）由题知，
因为x＝1，
则x+2＝3，
所以长方形的面积为1×3＝3．
故答案为：3；
（2）因为2x（x+3）＝20，
所以x（x+3）＝10．
第一步：如图1，把x和（x+3）看成一个长方形的宽和长；
第二步：如图2，把4个这样的长方形拼成一个“空心”大正方形（4个长方形彼此衔接不重叠），观察可知图中小正方形的边长为（x+3）﹣x＝3，则这个大正方形的面积为10×4+32＝49，所以大正方形的边长为7；
第三步：观察图2中大正方形的边长，可得方程x+（x+3）＝7，解得x＝2，即方程x（x+3）＝10的正数解为x＝2；
（3）将x＝3代入（x﹣2）（x+m）＝3m得，
3+m＝3m，
m＝，
所以图3中正方形ABCD的边长为（x+）﹣（x﹣2）＝，
所以图3中的小正方形ABCD的面积为．

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