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2025-2026学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
1.sin45°的值等于（　）
A. B. C. D. 1
2.方程x2-2x=0的根是（　　）
A. x1=x2=0 B. x1=x2=2 C. x1=0，x2=2 D. x1=0，x2=-2
3.如图是“小孔成像”的示意图，燃烧的蜡烛AB到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是1：2.若AB的长是4cm,则像A′B′的长是（　　）
A. 2cm B. 4cm C. 8cm D. 12cm
4.中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（　　）
A. x（60-x）=864 B. x（x-60）=864 C. x（60+x）=864 D. 2[x+（x+60）]=864
5.已知一个圆锥底面圆的半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（　　）
A. 20 B. 20π C. 16π D. 12π
6.某班25名学生参加一分钟跳绳测试，成绩（单位：次）如表：
成绩 171及以下 172 173 174 175及以上
人数 1 4 8 □ 〇
因污损导致数据不完整，仍能分析出本次测试成绩的统计量是（　　）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
7.如图，⊙O与∠A的两边相交于点B，C，D，E（均不与点A重合），若∠A=30°，则的度数不可能是（　　）
A. 60° B. 62° C. 64° D. 66°
8.如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风.图2是其示意图，正八边形ABCDEFGH的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形ABCDEFGH与阴影部分的面积比是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.如图，每个小正方形的边长均为1，若在图中任取一点，则该点取自阴影部分的概率是 .
10.关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则tanA的值为 ．
12.已知等边三角形的边长为，则它的内切圆的半径为 ．
13.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为 米．
14.在纪念“一二 九”运动的合唱比赛中，对八（1）班的演唱曲目，6位评委的打分（单位：分）如图，这组数据的方差为，去掉一个最高分和一个最低分后，剩下数据的方差为，则 （填“＞”“＜”或“=”）.
15.如图是地球的示意图，其中AB和CD分别表示赤道和南回归线，∠DOB=23.5°，常州市某处E位于北纬31.5°（即∠EOB=31.5°）.冬至日正午时，太阳光线FD所在直线经过地心O，此时E处的太阳高度角∠GEH（即平行于FD的光线GE与⊙O的切线EH所夹的锐角）的大小为 °.
16.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，5），P和Q分别是x轴正半轴和线段AP上的动点，满足AQ AP=10，连接OQ，则sin∠AOQ的最大值是 .
三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1) 解方程：x2-4x-5=0
(2) 计算：°
18.(本小题8分)
某技术公司2023年缴税40万元，2025年缴税48.4万元，平均每年缴税增长的百分率是多少？
19.(本小题8分)
陈老师开车到学校，有A，B两条路线可选择，为了解上班路上所用时间，陈老师第一周选择路线A，第二周选择路线B，用时如下（单位：min），
路线A：20，18，19，18，15；
路线B：24，15，11，15，22
(1) 将两组数据进行整理、统计，得到下表，补全表格：
平均数（min） 众数（min） 中位数（min） 方差（min2）
路线A 18
路线B 17.4 15 23.44
(2) 结合上述表格中的统计量，请你帮陈老师选择合适的上班路线，并说明理由
20.(本小题8分)
“弹珠游戏”的装置如图所示，游戏时，将弹珠从M处投入，通过管道落入盒子A，B，C，已知弹珠从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的
(1) 若投入一个弹珠，求它落入盒子B的概率
(2) 若投入足够数量的弹珠直到某个盒子被填满为止，则下列说法正确的是 （填序号）．
①3个盒子中弹珠数量一样多；
②盒子A中弹珠数量小于盒子B中弹珠数量；
③盒子A中弹珠数量和盒子C中弹珠数量大致相等
21.(本小题8分)
如图，过⊙O上的点Q的切线与直径BA的延长线相交于点P，△PQA与△PBQ相似吗？请说明理由.
22.(本小题8分)
如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A在B的正西方向，AB=2.1km,从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏西37°的方向，求船C离海岸线的距离.（参考数据：）
23.(本小题8分)
如图，每个小方格均为正方形，A，B，C，D，O，F，G均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）
(1) 如图1，AB与CD相交于点E，则=
(2) 如图2，OF与方格线相交于点M．请用无刻度直尺，在OG上找一点N，使△OMN∽△OFG（保留作图痕迹）
24.(本小题12分)
定义：以等腰三角形的腰为一边，向外作直角三角形，若得到的四边形中有且只有一组对边平行，则称该四边形为“等直梯形”、如图1，AB=AC，∠DAC=90°，AB∥CD，AD与BC不平行，则四边形ABCD是“等直梯形”．
【概念辨析】
(1) 图2所示的4个四边形中，是“等直梯形”的有 （填序号）．
【性质探究】
(2) 如图3，在“等直梯形”ABCD中，AB=AC，∠DCA=90°，AD∥BC．写出BC AD与2AC2的数量关系，并说明理由．
【灵活应用】
(3) 如图4，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若平面内的点D使四边形ABCD是“等直梯形”，请直接写出CD的长
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】
10.【答案】4
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】2
14.【答案】＞
15.【答案】35
16.【答案】
17.【答案】【小题1】x2-4x-5=0，
（x-5）（x+1）=0，
x-5=0或x+1=0，
x1=5，x2=-1
【小题2】原式=
=
=

18.【答案】解：设平均每年缴税增长的百分率是x,
根据题意得：40（1+x）2=48.4，
解得：x1=-2.1（不合题意，舍去），x2=0.1=10%，
答：平均每年缴税增长的百分率是10%．
19.【答案】【小题1】
18
18
2.8
15
【小题2】
选择路线A；理由如下：
根据两条路线的平均数及方差的大小可知：路线A的平均用时与路线B接近，但用时更稳定，故选择路线A

20.【答案】【小题1】
小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有4种，即（P，A），（P，B），（Q，B），（Q，C），它们出现的可能性相同．
所有的结果中，落入盒子B的结果有2种，分别是（P，B），（Q，B），
∴P（B）==，
【小题2】
②③

21.【答案】解：△PQA∽△PBQ，理由：
连接OQ，
∵PQ是⊙O的切线，
∴∠PQO=90°，即：∠PQA+∠AQO=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AQB=90°，即：∠BQO+∠AQO=90°，
∴∠PQA=∠BQO，
∵OB=OQ，
∴∠B=∠BQO，
∴∠B=∠PQA，
∵∠P=∠P，
∴△PQA∽△PBQ．
22.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠CAD=∠ACD=45°，
∴AD=CD，
设AD=xkm,则AC=x km,
∴BD=AB-AD=（2.1-x）km,
∵∠CBD=60°，
在Rt△BCD中，∵tan∠CBD=，
∴=，
解得x=0.3．
经检验，x=0.3是原方程的根．
∴AC=x==km.
答：船C离观测站A的距离为0.3km.
23.【答案】【小题1】
【小题2】
解：如图2，△OMN∽△OFG，N点为所求，
同理（1）可得，
在图中找出格点K、P，同理可得，
∴，即，
又∵∠FOG=∠MON，
∴△OMN∽△OFG

24.【答案】【小题1】
①
【小题2】
BC AD=2AC2；理由如下：
如图3，作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB=AC，
∴，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
又∵∠DCA=∠AHC=90°，
∴△ACH∽△DAC，
∴，
∴，
∴BC AD=2AC2
【小题3】
CD的长为或或或4．理由如下：
如图4.1，当∠ACD1=90°，AD1∥BC，四边形ABCD1是“等直梯形”，作AH⊥BC，垂足为H，
同理（2）可得：△ACH∽△D1AC，
∴，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴，
解得：，
在Rt△ACD1中，由勾股定理得：，
如图4.2，作CM∥BC，过点A作AD2⊥CM，∠AD2C=90°，则四边形ABCD2是“等直梯形”，
过C作CH⊥AB，垂足为H，
∴四边形AHCD2是矩形，
∴AH=CD2，，
在直角三角形ACH中，由勾股定理得：CH2=AC2-AH2，
在直角三角形BCH中，由勾股定理得：CH2=BC2-BH2，
∴52-AH2=62-（5-AH）2，
解得：，
∴；
过点A作AD3⊥AC，即∠CAD3=90°，四边形ABCD3是“等直梯形”，
∵∠ACD2=∠ACD3，∠CAD3=∠AD2C=90°，
∴△ACD2∽△D3CA，
∴，即，
解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）；
如图4.3，当∠ADC=90°，AD∥BC时，∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=90°．
过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFC=90°，
∴四边形AFCD是矩形，即AF=CD，
同理，得AF=4，
∴CD=4，
综上所述，CD的长为或或或4．

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