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人教版（2024）九年级上册 26.4 实际问题与二次函数 题型专练
【题型1】用二次函数解决动点问题
【典例】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=12 cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1 cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2 cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（　　）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
【举一反三1】如图，点A在由函数y=（-1）2（x-3n）（x-3n-3）（3n≤x＜3n+3，为自然数）的图象组成的平滑曲线上，点B在x轴上，且AB⊥x轴，若点B从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则第2025秒时，点A的坐标是（　　）
A．（2025，0） B．（2025，2） C．（2026，0） D．（2025，-2）
【举一反三2】如图，在△ABC中，，，，动点P从点A开始沿边AB向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过__________秒，四边形APQC的面积最小．
【举一反三3】如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点和点关于过点的直线对称.将二次函数图象向右平移个单位.再向上平移个单位，平移后的二次函数图象上存在一点，其横坐标为，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点坐标：若不存在，请说明理由.
【题型2】用二次函数解决增长率问题
【典例】据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【举一反三1】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三2】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三3】某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为__________
【题型3】二次函数的综合题
【典例】第十五届中国国际航空博览会于2024年11月12日至17日在珠海举办，歼（图甲）是人民空军现役主力战斗机，是一把对空、对海作战，夺取制空权的利剑，它着陆后滑行的距离s与时间t的函数关系如图乙所示（图为抛物线的一部分，其中点P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．歼滑行6秒停止 B．歼滑行12秒停止
C．歼向前滑行的速度不变 D．歼向前滑行的速度越来越大
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO=，CO=BO，AB=3.则下列判断中正确的是 （ ）
A．此抛物线的表达式为y=x2+x-2
B．在此抛物线上的某点M，使△MAB的面积等于4，这样的点共有三个
C．此抛物线与直线y=-只有一个交点
D．当x>0时，y随着x的增大而增大
【举一反三2】如图，抛物线y=x2-2x与直线y=3相交于点A，B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为 （ ）
A．(-1，0) B．(0，0) C．(1，0) D．(3，0)
【举一反三3】如图，直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)交于A，B两点，且点A的横坐标是-2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y=ax2(a≠0)的图像的顶点一定是原点；
②x>0时，直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当-3其中正确的结论是__________ .
【举一反三4】如图，抛物线顶点C坐标(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B，则△ABC的面积=__________ .
【举一反三5】如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，拋物线的对称轴交x轴于点D，已知A，C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段BC上的一个动点(不与B，C重合)，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.
【题型4】用二次函数解决商品利润问题
【典例】服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x＞100)元出售，每天可销售(200﹣x)件，若想获得最大利润，则x应定为(　　)
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
【举一反三1】某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如表：
为获得最大利润，生产数量应为（　　）
A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件
【举一反三2】某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加2株，平均单株盈利就减少0.5元，则每盆植__________株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植__________株．
【举一反三3】某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人数平均增加2人.当每日销售收入最大时，票价下调__________元.
【举一反三4】某商品的进价为每个3元，已知该商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y＝ax2+16x+c，其图象如图所示.
(1)求a，c的值；
(2)销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(3)销售单价在什么范围时，该商品每天的销售利润不低于16元？
【举一反三5】某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系：
(1) 写出月产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2) 求每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间的函数关系式；
(3) 若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？
(4) 若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？
【题型5】用二次函数解决面积问题
【典例】用长6 m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户，使窗户的透光面积最大（如图），那么这个窗户的最大透光面积是（　　）
A． m2 B．1 m2 C． m2 D．3 m2
【举一反三1】如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：
①AB的长可以为6m；
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；
③菜园ABCD面积的最大值为200m2．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【举一反三2】如图，已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，其中AB＝AC＝20 cm，BC＝24 cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG，使EF在BC上，点D，G分别在边AB，AC上.问矩形DEFG的最大面积是__________ cm2.
【举一反三3】如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地ABCD，该基地一边靠墙（墙长a米），另三边用总长40米的栅栏围成．
（1）当a＝25时，劳动教育基地的最大面积为 __________m2；
（2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，a的值为 __________.
【举一反三4】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E是线段上的一个动点，平行于y轴的直线交抛物线于点F，求△FBC面积的最大值；
(3)设点P是抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【题型6】二次函数解决固定型抛物线问题
【典例】廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示.已知抛物线的函数表达式为y＝－x2＋10，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的C，D两处安装警示灯，则警示灯D距离水面AB的距离为 （ ）
A．8.4米 B．9.6米 C．10.4米 D．11.6米
【举一反三1】如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝20米，则函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
【举一反三2】某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为80米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为4米的景观灯杆EF的高度为 __________米．
【举一反三3】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)根据题意，填空：
①顶点C的坐标为　 　 ；
②B点的坐标为　 　 ；
(2)求抛物线的解析式；
(3)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h(t﹣19)2+8(0≤t≤40)，且当点C到水面的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
【举一反三4】开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，钢拱最高处C点与路面的距离OC为50米，若以点O为原点，OC所在的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于A、B两点，且AB两点间的距离为80米．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）钢拱最高处C点与水面的距离CD为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度；
（3）当﹣32＜x＜16时，求y的取值范围．
【题型7】二次函数解决运动型抛物线问题
【典例】某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中的运行路线是抛物线的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ）
A．5米 B．4米 C．3米 D．2米
【举一反三1】如图是王阿姨阿晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（　　）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
C．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50）
D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
【举一反三2】某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是S＝10t﹣0.25t2，此飞行器滑行的最大距离是 __________米．
【举一反三3】小宇同学周末与爸爸去钓鱼．爸爸钓到一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看成以A为顶点的抛物线一部分，鱼线AB长米，鱼隐约在水面上，估计鱼离鱼竿支点O有米，此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹角α恰好为60°，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为 　__________　．
【举一反三4】在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮筐中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米.篮球运行的轨迹为抛物线（如图），篮筐中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投中.
探究一：若出手的角度、力度和高度都不变的情况下，求小明朝着篮球架再向前移动多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮筐中？
探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变的情况下，但是抛物线的顶点等其他条件不变，求小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投入篮筐中？
人教版（2024）九年级上册 26.4 实际问题与二次函数 题型专练（参考答案）
【题型1】用二次函数解决动点问题
【典例】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=12 cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1 cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2 cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（　　）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：设P、Q同时出发后经过的时间为t s，四边形APQC的面积为S cm2，
则有 S=S△ABC-S△PBQ =×12×6-（6-t）×2t =t2-6t+36 =（t-3）2+27．
∴当t=3s时，S取得最小值．
【举一反三1】如图，点A在由函数y=（-1）2（x-3n）（x-3n-3）（3n≤x＜3n+3，为自然数）的图象组成的平滑曲线上，点B在x轴上，且AB⊥x轴，若点B从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则第2025秒时，点A的坐标是（　　）
A．（2025，0） B．（2025，2） C．（2026，0） D．（2025，-2）
【答案】A
【解析】解：∵函数y=（-1）2（x-3n）（x-3n-3）（3n≤x＜3n+3，为自然数），
∴函数图象与x轴的交点为（3n，0），（3n+3，0），
∵3n+3-3n=3，2025÷3=675，
∴当x=2025时，y的值为0，
∴A的坐标为（2025，0）．
【举一反三2】如图，在△ABC中，，，，动点P从点A开始沿边AB向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过__________秒，四边形APQC的面积最小．
【答案】3
【解析】解：S四边形APQC=S△ABC-S△PBQ=×12×24-(12-2t)4t=4t2-24t+144，
当t=3时，四边形 的面积最小，最小值为108.
【举一反三3】如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点和点关于过点的直线对称.将二次函数图象向右平移个单位.再向上平移个单位，平移后的二次函数图象上存在一点，其横坐标为，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】解：或.理由如下：
由题意，令，
∴.
∴，.
∴.
∴顶点D的横坐标为.
连接，，作交与C，
∵D，B关于对称，
∴，
∵D是顶点，
∴
∴是等边三角形，
∴，，
∵D点横坐标为，
∴，
∴，
∴
∴.
∴.
∴.
∴抛物线解析式.
又∵抛物线图象向右平移个单位，再向上平移个单位，
∴平移后解析式.
∴当时，，
∴.
如图，若以为直角边，点M是直角顶点，在上方作等腰直角，则，直线交y轴于F点，作轴，，
∴
∴
∴.
∵，
∴H点横坐标为，，
∴，
可知此时F与E重合，为；
若以为直角边，点M是直角顶点，在下方作等腰直角，
同理可得：，
设直线解析式：，
则，解得：，
∴，
当时，，即；
综上所述或.
【题型2】用二次函数解决增长率问题
【典例】据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：根据题意得：
关于的函数表达式是：，
故选：C．
【举一反三1】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放垃圾桶个，
则
故选：A.
【举一反三2】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵每次降价的百分率都是，
∴第一次降价后价格为，
第二次降价后价格为，
∴，
故选：B．
【举一反三3】某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为__________
【答案】
【解析】解：由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元，
依题意得，，
故答案为：．
【题型3】二次函数的综合题
【典例】第十五届中国国际航空博览会于2024年11月12日至17日在珠海举办，歼（图甲）是人民空军现役主力战斗机，是一把对空、对海作战，夺取制空权的利剑，它着陆后滑行的距离s与时间t的函数关系如图乙所示（图为抛物线的一部分，其中点P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（ ）
A．歼滑行6秒停止 B．歼滑行12秒停止
C．歼向前滑行的速度不变 D．歼向前滑行的速度越来越大
【答案】A
【解析】解：由函数图象可知，当时，滑行的距离最大，
∴歼滑行6秒停止，故A说法正确，B说法错误；
由函数图象可知，随着时间的推移，滑行的距离变化越来越平缓，即滑行的速度越来越小，故C、D说法错误，
故选A．
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO=，CO=BO，AB=3.则下列判断中正确的是 （ ）
A．此抛物线的表达式为y=x2+x-2
B．在此抛物线上的某点M，使△MAB的面积等于4，这样的点共有三个
C．此抛物线与直线y=-只有一个交点
D．当x>0时，y随着x的增大而增大
【答案】C
【解析】根据题意易得CO=2AO，而CO=BO，AB=3，故AO=1，BO=OC=2，
即A(-1，0)，B(2，0)，C(0，-2)，进而可得此二次函数的表达式为y=x2-x-2，故A错误；
要使△MAB的面积等于4，须使M到x轴的距离为，这样的点共有2个，故B错误；
此二次函数的最小值为-，故此抛物线与直线y=-只有一个交点，故C正确；
当x>0时，y随着x的增大先减小再增大，故D错误.
【举一反三2】如图，抛物线y=x2-2x与直线y=3相交于点A，B，P是x轴上一点，若PA+PB最小，则点P的坐标为 （ ）
A．(-1，0) B．(0，0) C．(1，0) D．(3，0)
【答案】C
【解析】如图，作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'与x轴的交点即为点P.
把y=3代入到抛物线表达式得x2-2x-3=0，
解得x=3或x=-1.
则由图可知点A(-1，3)，点B(3，3)，
∴B'(3，-3).
设直线AB'的表达式为y=kx+b.
代入A，B'求得y=-x+，
则该直线与x轴的交点，当y=0时，x=1.
∴点P(1，0).
【举一反三3】如图，直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)交于A，B两点，且点A的横坐标是-2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y=ax2(a≠0)的图像的顶点一定是原点；
②x>0时，直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当-3其中正确的结论是__________ .
【答案】①②⑤
【解析】①抛物线y=ax2，利用顶点坐标公式，得顶点坐标为(0，0)，故①正确；
②根据图像得直线y=kx+b(k≠0)和抛物线y=ax2(a≠0)，当x>0时，y的值都随x的增大而增大，所以x>0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，故②正确；
③已知A，B横坐标分别为-2，3，若AB=5，可得出直线AB与x轴平行，即k=0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，故③错误；
④若OA=OB，得到直线AB与x轴平行，即k=0，与已知k≠0矛盾，
即△AOB不可能为等边三角形，故④错误；
⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称，如图所示.
可得出直线y=-kx+b与抛物线交点C，D横坐标分别为-3，2，
由图像可得当-3综上，正确的结论有①②⑤.
【举一反三4】如图，抛物线顶点C坐标(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B，则△ABC的面积=__________ .
【答案】3
【解析】∵抛物线顶点C坐标(1，4)，交x轴于点A(3，0)，
∴抛物线的顶点式为y=a(x-1)2+4，
∴0=a(3-1)2+4，
解得a=-1，
∴y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3，
∴当x=0时，
∴y=3，即C点坐标为(0，3)，
如图，S梯形BOEC=(BO+CE)·EO=×(3+4)×1=，
S△CEA=CE·AE=×4×(3-1)=4，
S△BOA=BO·AO=×3×3=，
∴S△ABC=S梯形BOEC+S△CEA-S△BOA=+4-=3.
【举一反三5】如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，拋物线的对称轴交x轴于点D，已知A，C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段BC上的一个动点(不与B，C重合)，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】解　(1)将A，C代入抛物线解析式，得
解得m=
抛物线解析式为y=-x2+x+2.
(2)抛物线的对称轴为直线x=-=，
∴D，B，
设直线BC的解析式为y=kx+p，将B，C点坐标代入，
得
解得
∴直线BC的解析式为y=-x+2，
如图，设F(0∴EF=-x2+x+2-
=-x2+2x，
∴S△BCF=×4=-x2+4x，
四边形CDBF的面积=S△BCF+S△BCD
=-x2+4x+×2×
=-x2+4x+
=-(x-2)2+，
当x=2时，四边形CDBF的面积最大，最大值为，此时E.
(3)∵C，D，
∴CD==，
当DP=DC时，P点坐标为或；
当CP=CD时，P点坐标为；
当PC=PD时，设P，
则+=p2，
解得p=，则P点坐标为，
综上所述，满足条件的P点坐标为，，，.
【题型4】用二次函数解决商品利润问题
【典例】服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x＞100)元出售，每天可销售(200﹣x)件，若想获得最大利润，则x应定为(　　)
A．150元 B．160元 C．170元 D．180元
【答案】A
【解析】设获得的利润为y元，由题意得
y＝(x﹣100)(200﹣x)
＝﹣x2+300x﹣20000
＝﹣(x﹣150)2+2500，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝150时，y取得最大值2500元.
【举一反三1】某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如表：
为获得最大利润，生产数量应为（　　）
A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件
【答案】B
【解析】解：设生产数量为x万件，生产成本为y1元/件，销售价格为y2元/件．
∵生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，
∴设y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2．
∵（1，9），（2，8）符合y1，
∴，
解得：．
∴y1＝﹣x+10．
∵（1，16），（2，14）符合y2，
∴．
解得：．
∴y2＝﹣2x+18．
设生产利润为w，则w＝[（﹣2x+18）﹣（﹣x+10）]x
＝（﹣x+8）x
＝﹣x2+8x．
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣＝4时，利润最大．
故选：B．
【举一反三2】某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利3元，以同样的栽培条件，若每盆增加2株，平均单株盈利就减少0.5元，则每盆植__________株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植__________株．
【答案】7； 7或9
【解析】解：设每盆花苗（假设原来花盆中有3株）增加a（a为偶数）株，盈利为y元，
则根据题意得y=（3-0.5×）（a+3）=-（a-）2+，
∵a为偶数，∴a=4，
∵当a=2时，y=12.5＜13
当a=4时，y=（2-0.5×）+（4+3）=14＞13，
当a=6时，y=（2-0.5×）+（6+3）=13.5＞13，
∴每盆植7株时能使单盆取得最大盈利；若需要单盆盈利不低于13元，则每盆需要植7或9株．
【举一反三3】某高档游泳健身馆每人每次游泳健身的票价为80元，每日平均客流量为136人，为了促进全民健身运动，游泳馆决定降价促销，经市场调查发现，票价每下降1元，每日游泳健身的人数平均增加2人.当每日销售收入最大时，票价下调__________元.
【答案】6
【举一反三4】某商品的进价为每个3元，已知该商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y＝ax2+16x+c，其图象如图所示.
(1)求a，c的值；
(2)销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(3)销售单价在什么范围时，该商品每天的销售利润不低于16元？
【答案】解(1)y＝ax2+16x+c图象过点(3，0)，(5，16)，
∴
解得
(2)∵y＝﹣x2+16x﹣39＝﹣(x﹣8)2+25，
∴当x＝8时，y最大＝25.
故销售单价为8元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.
(3)根据题意，当y＝16时，得﹣x2+16x﹣39＝16，
解得x1＝5，x2＝11，
即销售单价5≤x≤11时，该种商品每天的销售利润不低于16元.
【举一反三5】某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系：
(1) 写出月产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2) 求每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间的函数关系式；
(3) 若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？
(4) 若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？
【答案】解：
(1) 由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，
所以月产销量y（个）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，不妨设y=kx+b，
则（280，300），（279，302）满足函数关系式，得，解得，
产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=-2x+860．
(2) 观察函数表可知两个变量的乘积为定值9600，
所以固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间的函数关系，为Q=．
(3) 当Q=30时，y=320，由（1）可知y=-2x+860，所以x=270，
即销售单价为270元，
由于=，∴成本占销售价的．
(4) 若y≤400，则Q≥，即Q≥24，固定成本至少是24元，
400≥-2x+860，解得x≥230，即销售单价最低为230元．
【题型5】用二次函数解决面积问题
【典例】用长6 m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户，使窗户的透光面积最大（如图），那么这个窗户的最大透光面积是（　　）
A． m2 B．1 m2 C． m2 D．3 m2
【答案】C
【解析】解：设窗的高度为x m，宽为（）m，
故S=，∴=x（3- x），
即S=-x2+2x =-（x-）2+，
∴当x=m时，S最大值为m2．
【举一反三1】如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：
①AB的长可以为6m；
②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；
③菜园ABCD面积的最大值为200m2．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【解析】解：设AD边长为x m，则AB边长为m．
当AB＝6时，＝6，解得x＝28，
∵AD的长不能超过26m，
∴x≤26，故①不正确；
∵菜园ABCD面积为192m2，
∴x ＝192，
整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得x＝24或x＝16，故②正确；
设矩形菜园的面积为Sm2，根据题意得：S＝x ＝﹣（x2﹣40x）＝﹣，
∵﹣＜0，20＜26，
∴当x＝20时，S有最大值，最大值为200，故③正确；
∴选项正确的有2个．
故选：C．
【举一反三2】如图，已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，其中AB＝AC＝20 cm，BC＝24 cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG，使EF在BC上，点D，G分别在边AB，AC上.问矩形DEFG的最大面积是__________ cm2.
【答案】96
【解析】过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，如图，
∵△ABC是等腰三角形，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝12(cm)，
则AM＝＝16(cm).
设DE＝x cm，S矩形＝y cm2，
∵四边形DGFE是矩形，
∴DG∥BC，NM＝DE＝x cm，
∴△ADG∽△ABC，AN＝AM－NM＝(16－x)cm，
故即
故DG＝(16－x).
∴y＝DG·DE＝(16－x)x＝－(x2－16x)＝－(x－8)2＋96，
从而当x＝8时，y有最大值96.
即矩形DEFG的最大面积是96 cm2.
【举一反三3】如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地ABCD，该基地一边靠墙（墙长a米），另三边用总长40米的栅栏围成．
（1）当a＝25时，劳动教育基地的最大面积为 __________m2；
（2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，a的值为 __________.
【答案】10
【解析】解：（1）由题意，设BC的长为x m，
由四边形ABCD是矩形，得AB＝＝20﹣，
∴y＝x（20﹣）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣20）2+200．
∵a＝25，
∴x≤25．
又﹣＜0，
∴当x＝20时，劳动教育基地的最大面积为200 m2．
故答案为：200．
（2）由题意，令y＝150代入y＝﹣x2+20x，
得﹣x2+20x＝150，
∴解得x1＝10，x2＝30．
结合（1）当a≥20时，劳动教育基地面积最大值为200平方米，
又劳动教育基地的最大面积为150平方米时，
∴墙长为10 m．
∴a＝10，劳动教育基地面积能达到150平方米．
故答案为：10．
【举一反三4】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E是线段上的一个动点，平行于y轴的直线交抛物线于点F，求△FBC面积的最大值；
(3)设点P是抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】解(1)将，代入，
【题型6】二次函数解决固定型抛物线问题
【典例】廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示.已知抛物线的函数表达式为y＝－x2＋10，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的C，D两处安装警示灯，则警示灯D距离水面AB的距离为 （ ）
A．8.4米 B．9.6米 C．10.4米 D．11.6米
【答案】B
【解析】由题意得CD＝8米，
∴点D的横坐标为4.
又∵点D在函数y＝－x2＋10上，
∴当x＝4时，y＝－×16＋10＝9.6.
∴警示灯D距离水面AB的距离为9.6米.
【举一反三1】如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图2所示建立坐标系，在正常水位时水面宽AB＝30米，当水位上升5米时，则水面宽CD＝20米，则函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设函数表达式为y＝ax2（a≠0），
∵AB＝30，
设点B（15，p），
∵当水位上升5米时，则水面宽CD＝20米，
∴D（10，p+5），
把B（15，p），D（10，p+5）分别代入y＝ax2（a≠0），
得出，
解得，
∴函数表达式为，
故选：B．
【举一反三2】某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ACB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为80米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为4米的景观灯杆EF的高度为 __________米．
【答案】15.84
【解析】解：建立如图所示平面直角坐标系，
设抛物线表达式为y＝ax2+16，
由题意可知，B的坐标为（﹣40，0），A的坐标为（40，0），
∴1600a+16＝0，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+16，
∴当x＝4时，y＝15.84．
∴与CD的距离为4米的景观灯杆EF的高度为15.84米，
故答案为：15.84．
【举一反三3】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)根据题意，填空：
①顶点C的坐标为　 　 ；
②B点的坐标为　 　 ；
(2)求抛物线的解析式；
(3)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h(t﹣19)2+8(0≤t≤40)，且当点C到水面的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
【答案】解(1)由题意OC＝11米，OD＝8米，BD＝AE＝8米，
∴C(0，11)，B(8，8).
(2)设抛物线的解析式为y＝ax2+11，由题意得过点B(8，8)，
∴64a+11＝8，
解得a，
∴yx2+11.
(3)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至少为11﹣5＝6(米)，
∴6(t﹣19)2+8，
∴(t﹣19)2＝256，
∴t﹣19＝±16，
解得t1＝35，t2＝3，
∴35﹣3＝32(小时).
故需32小时禁止船只通行.
【举一反三4】开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，钢拱最高处C点与路面的距离OC为50米，若以点O为原点，OC所在的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于A、B两点，且AB两点间的距离为80米．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）钢拱最高处C点与水面的距离CD为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度；
（3）当﹣32＜x＜16时，求y的取值范围．
【答案】解：（1）∵OC＝50m，AB＝80m，
∴C（0，50），A（﹣40，0），B（40，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣40）（x+40），
把C（0，50）代入得：
50＝a×（﹣40）×40，
解得：，
∴抛物线解析式为．
（2）∵CD＝72m，OC＝50m
∴OD＝CD﹣OC＝22m，
∴D（0，﹣22），
把y＝﹣22代入得：，
解得：x1＝48，x2＝﹣48，
∴此时这条钢拱之间水面的宽度为48﹣（﹣48）＝96（m）；
（3）∵，
∴抛物线的顶点坐标为（0，50），
∴当x＝0时，y取最大值50，
∵，
∴抛物线开口向下，则离对称轴越远，函数值越小，
∵﹣32＜x＜16，
∴当x＝﹣32时，y取最小值，，
∴当﹣32＜x＜16时，18＜y≤50．
【题型7】二次函数解决运动型抛物线问题
【典例】某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中的运行路线是抛物线的一部分，则水喷出的最远水平距离是（ ）
A．5米 B．4米 C．3米 D．2米
【答案】B
【解析】解：令，
解得或，
∴抛物线与x轴交于点和，
∴水喷出的最远水平距离是（米）．
故选：B．
【举一反三1】如图是王阿姨阿晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（　　）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
C．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50）
D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
【答案】B
【解析】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A正确，不符合题意；
B、在A点的速度为＝105m/min，在A到B点的平均速度为＝＝45m/min，故B错误，符合题意；
C、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入得，，
解得：，
∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故C正确，不符合题意；
D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，即抛物线顶点为（20，1200），
将（5，525）代入s＝a（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得：525＝a（5﹣20）2+1200，
解得a＝﹣3，
∴曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20），故D正确，不符合题意；
故选：B．
【举一反三2】某种型号的小型飞行器着陆后滑行的距离S（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是S＝10t﹣0.25t2，此飞行器滑行的最大距离是 __________米．
【答案】100
【解析】解：由题意得，
s＝10t﹣0.25t2
＝﹣0.25（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣0.25（t﹣20）2+100，
即当t＝20秒时，飞行器滑行的距离最大，最大为100米．
故答案为：100．
【举一反三3】小宇同学周末与爸爸去钓鱼．爸爸钓到一条大鱼，鱼竿被拉弯近似可看成以A为顶点的抛物线一部分，鱼线AB长米，鱼隐约在水面上，估计鱼离鱼竿支点O有米，此时鱼竿鱼线呈一个平面，且与水平面夹角α恰好为60°，以鱼竿支点为原点，则鱼竿所在抛物线的解析式为 　__________　．
【答案】y＝﹣（x﹣3）2+6
【解析】解：由题意可得，
AB＝米，OB＝米，∠α＝60°，AC⊥OB，
∴∠CAB＝30°，
∴BC＝AB＝2米，AC＝6米，
∴OC＝OB﹣BC＝5﹣2＝3（米），
∴点A的坐标（3，6），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+6，
∵点O（0，0）在该抛物线上，
∴0＝a（0﹣3）2+6，
解得a＝﹣，
即该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+6，
故答案为：y＝﹣（x﹣3）2+6．
【举一反三4】在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮筐中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米.篮球运行的轨迹为抛物线（如图），篮筐中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投中.
探究一：若出手的角度、力度和高度都不变的情况下，求小明朝着篮球架再向前移动多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮筐中？
探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变的情况下，但是抛物线的顶点等其他条件不变，求小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投入篮筐中？
【答案】解　∵抛物线的顶点为(4，4)，
∴设抛物线的表达式为y=a(x-4)2+4，
∵过点(0，2)，
∴2=16a+4，
∴a=-，
∴y=-(x-4)2+4，
当x=7时，y=-+4=≠3.
∴此球不能投中.
探究一：设向前移动h米，
由题意可得y=-(x-4-h)2+4，
代入点(7，3)，得3=-(7-4-h)2+4，
解得h=3±2，
根据实际情况h=3-2，即向前移动(3-2)米，可投中篮筐.
探究二：设y=a(x-4)2+4，
∵投中篮筐，即代入x=7，y=3得3=a(7-4)2+4，
解得a=-，
∴y=-(x-4)2+4，
当x=0时，y=，-2=，即小明出手的高度要增加米，可将篮球投中.

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